数数 学学新课标（新课标（RJRJ） 八年级上册八年级上册新知梳理新知梳理新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究13.413.4课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题新新 知知 梳梳 理理 知识点知识点 最短路径问题最短路径问题 13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题类型：类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；两点一线型的线段和最小值问题；(2)两点两线型的线两点两线型的线段和最小值问题；段和最小值问题；(3)造桥选址问题造桥选址问题方法：借助轴对称或平移知识，化折为直，利用公理方法：借助轴对称或平移知识，化折为直，利用公理“两点之两点之间，线段最短间，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题重难互动探究重难互动探究探究问题一探究问题一两点一线型的线段和最小值问题两点一线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题例例1 如图如图1343，牧童在，牧童在A处放马，其家在处放马，其家在B处，处，A，B到到河岸的距离分别为河岸的距离分别为AC和和BD，且，且ACBD，若点，若点A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米，则牧童从米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？家，最短距离是多少米？ 13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题解析解析 根据轴对称的性质和根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，连，连接接AB，得到最短距离为，得到最短距离为AB，再根据全等三角形的性质和，再根据全等三角形的性质和A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米，即可求出米，即可求出AB的值的值13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题归纳总结归纳总结 依据：两点之间，线段最短；到平面内两个点依据：两点之间，线段最短；到平面内两个点距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上；三角距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上；三角形两边之和大于第三边形两边之和大于第三边方法：求两点的距离和最小应作出一点的对称点，然后连方法：求两点的距离和最小应作出一点的对称点，然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点探究问题二探究问题二两点两线型的线段和最小值问题两点两线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题例例2 如图如图1344，在锐角，在锐角AOB内有一定点内有一定点P，试在，试在OA，OB上确定两点上确定两点C，D，使，使PCD的周长最短的周长最短 13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题解解：PCD的周长等于的周长等于PCCDPD，要使，要使PCD的周长最的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得短，根据两点之间线段最短，只需使得PCCDPD的大小的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线关于直线OA和和OB的的对称点对称点E，F，则，则PCD的周长等于线段的周长等于线段EF的长的长作法：如图作法：如图1344，作点作点P关于直线关于直线OA的对称点的对称点E；作点作点P关于直线关于直线OB的对称点的对称点F；连接连接EF分别交分别交OA，OB于点于点C，D.则则C，D就是所要求作的就是所要求作的点点13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题证明：连接证明：连接PC，PD，则，则PCEC，PDFD.在在OA上任取异于点上任取异于点C的一点的一点H，连接，连接HE，HP，HD，则，则HEHP.PHD的周长的周长HPHDPDHEHDDFEDDFEF，而而PCD的周长的周长PCCDPDECCDDFEF，PCD的周长最短的周长最短归归纳纳总总结结 求求几几条条线线段段的的和和最最小小的的问问题题，往往往往利利用用轴轴对对称称将将这这几几条条线线段段转转化化到到同同一一条条线线段段上上，利利用用“两两点点之之间间，线线段段最最短短”选用最佳方案选用最佳方案探究问题三探究问题三造桥选址问题造桥选址问题13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题例例3 如图如图1345，荆州护城河在，荆州护城河在CC处直角转弯，河宽均处直角转弯，河宽均为为5米，从米，从A处到达处到达B处，须经两座桥：处，须经两座桥：DD，EE(桥宽不计桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使使ADDEEB的路程最短？的路程最短？解析解析 由于含有固定线段由于含有固定线段“桥桥”，导致，导致不能将不能将ADDEEB通过轴对称直接转化为通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答，将问题转化为平行四边形的问题解答，这就是这就是“造桥选址问题造桥选址问题”13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题解解：作：作AF CD，且，且AF河宽，作河宽，作BG CE，且，且BG河宽，连河宽，连接接GF，与河岸相交于，与河岸相交于E，D.过过D作作DD CD于于D，过，过E作作EE CE于于E，DD，EE即为桥即为桥证明：由作图可知，证明：由作图可知，AF DD，AFDD，则四边形则四边形AFDD为平行四边形，为平行四边形，于是于是ADFD，同理，同理，BEGE，由两点之间线段最短可知，由两点之间线段最短可知，GF最小最小即当桥建于如图即当桥建于如图1345所示位置时，所示位置时，ADDEEB最短最短13.4 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题归纳总结归纳总结 此类题考查了轴对称此类题考查了轴对称最短路径问题，由于有固最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是通过平移，构造平行四边形，将定长度的线段，常用的方法是通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答问题转化为平行四边形的问题解答(平行四边形的对边平行且平行四边形的对边平行且相等，反之亦成立相等，反之亦成立)