第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用2.1 函数及其表示2.2 函数的单调性与最值2.3 函数的奇偶性与周期性2.4 函数的图象2.5 二次函数与幂函数2.6 指数函数2.7 对数函数2.8 函数与方程2.9 函数模型及其应用2.10 变化率与导数、导数的计算2.11 导数的应用（一）2.12 导数的应用（二）知识点知识点考纲下载考纲下载函数及其表示1.了解构成函数的要素;了解映射的概念.2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法） 表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单的应用. 函数的定义域与值域1.会求一些简单的函数的定义域与值域.2.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 单调性理解函数的单调性及其几何意义. 奇偶性结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点.4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;了解对数在简化运算中的运用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1). 幂函数、函数与方程1.了解幂函数的概念.2.结合函数y=x，y=x2,y=x3,y= ,y=x 的图象,了解它们的变化情况.3.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的 零点与方程根的关系.4.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质. 函数的应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 导数及导数的运算1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的应用1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值.3.会利用导数解决某些实际问题.2.12.1函数及其表示函数及其表示 函数函数映射映射两集合A、B设A、B是两个非空. 设A、B是两个非空.对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个，在集合B中.的和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个，在集合B中.的与之对应名称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y=f（x），xA对应f：AB是一个映射数集集合任意数x都有唯一确定数f（x）任意元素x都有唯一确定元素yf:ABf：AB【思考探究思考探究】 1. 1.映射与函数有什么区别？映射与函数有什么区别？提示：提示： 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.2.2.函数的定义域、值域函数的定义域、值域在函数y=f（x），xA中,x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域.3.函数的构成要素为: 、 和 由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 相同,并且 .完全一致,我们就称这两个函数 .x的取值范围A函数值的集合f（x）|xA定义域对应关系值域.定义域对应关系相等【思考探究思考探究】 2. 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？提示：提示： 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为-1,1,显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系.4.4.函数的表示法函数的表示法: : 、 、 . .5.5.分段函数分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是 函数.解析法图象法列表法对应关系一个3.有以下判断：（1)f（x) 与g（x)1， x0， -1，x0表示同一函数；（2)函数yf（x)的图象与直线x1的交点最多有1个；（3)f（x)x22x1与g（t) t22t1是同一函数； （4)若f（x)|x1|x|，则f（ f（ )0.其中正确判断的序号是.【解析】【解析】对于（1)，由于函数f（x)|x|x的定义域为x|xR，且x0，而函数g（x)1， x0， -1，x0.若|f（x)|ax，则a的取值范围是（)A.（，0B.（，1C.2,1D.2,0【规范解答】分析条件一：f（x) -x2+2x,x0, ln（x+1),x0,转化为二次函数与对数函数的图象问题，如图（1).分析条件二：|f（x)|ax，由f（x)的图象得到|f（x)|的图象如图（2).分析图形：观察知要使yax的图象总在y|f（x)|的下方，则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时，若x0，f（x)x22x0，所以|f（x)|ax化简为x22xax，即x2（a2)x，所以a2x恒成立，所以a2.综上2a0.【答案】D【阅后报告】 （1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨 论分类需有明确的标准、全面的考虑2.（2013全国大纲卷）已知函数f（x)的定义域为（1，0)，则函数f（2x1)的定义域为（ )A.（1，1)B.1，12C.（1，0)D.12，1【解析】 对于f(2x1)，12x10，解得1x12，即函数f(2x1)的定义域为1，12.【答案】B3.（2014江西卷） 将连续正整数1，2，n（nN*)从小到大排列构成一个数123n，F（n)为这个数的位数（如n12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F（12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p（n)为恰好取到0的概率.（1)求p（100)；（2)当n201 4时，求F（n)的表达式；（3)令g（n)为这个数中数字0的个数，f（n)为这个数中数字9的个数h（n)f（n)g（n)，Sn|h（n)1，n100，nN*，求当nS时p（n)的最大值.【解析】（1)当n100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100)11192.（2)F（n) n,1n9, 2n-9,10n99, 3n-108,100n999, 4n-1 107,1 000n2 014. （3)当nb（1b9，bN*)，g（n)0；当n10kb（1k9，0b9，kN*，bN)时，g（n)k；当n100时，g（n)11，即g（n) 0,1n9, k,n=10k+b-1,1k9，0b9，kN*，bN， 11,n=100.同理有f（n) 0,1n8, k,n=10k+b-1,1k8,0b9,kN*,bN, n-80,89n98, 20,n=99,100. 由h（n)f（n)g（n)1，可知n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n100时，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90.当n9时，p（9)0.当n90时，p（90) .当n10k9（1k8，kN*)时，p（n) ，由y 关于k单调递增，故当n10k9（1k8，kN*)时，p（n)的最大值为p（89) .又8169119，所以当nS时，p（n)的最大值为