2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 1. .两点两点间距离公式距离公式 已知已知P P1 1（x x1 1,y,y1 1）, P, P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，则要化为一般式要化为一般式xyP0 (x0,y0)OSRQd2. .点到直点到直线的距离公式的距离公式一石激起千层浪一石激起千层浪奥运五环奥运五环福建土楼福建土楼乐在其中乐在其中小憩片刻小憩片刻生生活活掠掠影影定点定点定长定长圆心圆心半径半径rC初中学习的圆的定义初中学习的圆的定义: :平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的集合的点的集合. .在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？1.1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程的标准方程. .（重点）（重点）2.2.会用待定系数法求圆的标准方程会用待定系数法求圆的标准方程（难点）（难点） 思考思考1 1：直线可以用一个方程来表示，圆是否也直线可以用一个方程来表示，圆是否也可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为A(a,bA(a,b) )，半径为，半径为r r的圆的方程吗？的圆的方程吗？探究点探究点 圆的标准方程圆的标准方程A AM Mr rx xo oy y( (x,yx,y) )(a,b)设点设点M (M (x,yx,y) )为圆为圆A A上任一点，上任一点，|MA|= r|MA|= r则则P = M|MA|=r P = M|MA|=r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合圆的标准方程圆的标准方程xyOCM(x,yM(x,y) )圆心圆心C(a,bC(a,b),),半径半径r r若圆心为若圆心为O O（0 0，0 0），则圆的方程为：），则圆的方程为：x x +y+y =r=r x,yx,y的系数相同的系数相同思考思考2 2：圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2中有几个待中有几个待确定的量确定的量? ?要求它们需几个独立的条件？要求它们需几个独立的条件？提示：提示：三个待确定的量三个待确定的量a,b,ra,b,r；要求它们需三个独；要求它们需三个独立的条件立的条件. .例例1. 1. 求以求以C(4,-6)C(4,-6)为圆心，半径等于心，半径等于3 3的的圆的方程的方程. .解解: :将圆心将圆心C C（4 4，-6-6）、半径等于）、半径等于3 3代入圆的标准代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为方程，可得所求圆的方程为(x+3)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=5=5【变式练习变式练习】写出下列各写出下列各圆的方程：的方程：(1)(1)圆心在点心在点C(-3,4 )C(-3,4 )，半径是，半径是(x-8)(x-8)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25=25(2)(2)经过点点P(5,1),P(5,1),圆心在点心在点C(8,-3)C(8,-3)解：解：根据已知条件，圆心根据已知条件，圆心C C（a,ba,b) )是是M M1 1M M2 2的中点，那的中点，那么它的坐标为么它的坐标为例例2.2.已知两点已知两点M M1 1(4, 9)(4, 9)和和M M2 2(6, 3)(6, 3)，求以，求以M M1 1M M2 2为直直径的径的圆的方程的方程. .所求圆的方程为所求圆的方程为圆的半径为圆的半径为温馨提示：温馨提示：中点坐标：中点坐标：A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为的中点坐标为例例3.3. 的三个的三个顶点的坐点的坐标分分别A(5,1), B(7,A(5,1), B(7,3)3)，C(2, C(2, 8)8)，求它的外接，求它的外接圆的方程的方程分析：分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆圆，三角形有唯一的外接圆因为因为A(5,1), B(7,A(5,1), B(7,3)3)，C(2, C(2, 8) 8) 都在圆上，所都在圆上，所以它们的坐标都满足方程以它们的坐标都满足方程. .解：解：设圆方程为设圆方程为 则则 所以所以得得 所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为y y-8-8【变式式练习】已知已知圆心心为C C的的圆经过点点A(1A(1，1)1)，B(2B(2，-2)-2)，且，且圆心心C C在直在直线l：x-y+1=0x-y+1=0上，求上，求圆心心为C C的的圆的的标准方程准方程. . 解：解：因为因为A(1,1),B(2A(1,1),B(2，-2),-2),所以所以ABAB的中点的中点所以所以ABAB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为即即由由得得所以所以C(-3,-2),C(-3,-2),所以所求圆的标准方程为所以所求圆的标准方程为 x xy yO O【提升总结提升总结】待定系数法求圆的方程的步骤待定系数法求圆的方程的步骤(1)(1)根据题意根据题意, ,设所求的圆的标准方程为设所求的圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. .( (2)2)根据已知条件根据已知条件, ,建立关于建立关于a,b,ra,b,r 的方程组的方程组. .( (3)3)解方程组解方程组, ,求出求出a,b,ra,b,r 的值的值, ,并把它们代入所设的方并把它们代入所设的方程中去程中去, , 就得到所求圆的方程就得到所求圆的方程. .探究点探究点2 2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系思考思考1 1：点与圆的位置关系有几种点与圆的位置关系有几种? ?提示：提示：三种三种. .分别为点在圆内，点在圆上和点在分别为点在圆内，点在圆上和点在圆外三种情形圆外三种情形. .思考思考2 2：在直角坐在直角坐标系中，已知点系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0) )和和圆C C： , ,如何判断点如何判断点M M在在圆外、外、圆上、上、圆内？内？(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内. .提示：提示：解：解：由由P P1 1P P2 2为直径可知圆心的坐标为为直径可知圆心的坐标为(4,6)(4,6)，半径为，半径为 ，所以圆方程为所以圆方程为(x(x4)4)2 2(y(y6)6)2 25 5，把把M M，Q Q两点坐标代入圆的方程两点坐标代入圆的方程(6(64)4)2 2(3(36)6)2 213135 5(8(84)4)2 2(1(16)6)2 241415 5所以所以M M，Q Q两点均在圆外两点均在圆外例例4.4.已知两点已知两点P P1 1(3,8)(3,8)和和P P2 2(5,4)(5,4)，求以，求以P P1 1P P2 2为直径的直径的圆的方程，并判断的方程，并判断M(6,3)(6,3)，Q(8,1)(8,1)是在是在圆上上, ,圆外外还是是圆内？内？圆心圆心 (2, (2, 4) 4) ，半径，半径 1.1.求下列求下列圆的的圆心与半径心与半径圆 (x(x1)1)2 2+ (y+ (y1)1)2 2=9.=9.圆 (x(x2)2)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2.=2.圆(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=m=m2 2. .圆心圆心 (1, 1)(1, 1)，半径，半径3.3.圆心圆心 ( (1, 1, 2) 2) ，半径，半径|m|.|m|.2. 2. 你能快速你能快速说出下列出下列圆的的标准方程准方程吗？（1 1）圆心心C C（-3-3，4 4），半径），半径为5.5.（2 2）圆心心C C（2 2，-1-1），半径），半径为3.3.3.3.点点(1,1)(1,1)在圆在圆(x-a)(x-a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部，则的内部，则a a的取值的取值范围是范围是( )( )A.-1A.-1a a1 B.01 B.0a a1 1C.aC.a1 1或或a a-1 -1 D.aD.a= =1 1【解析解析】由于点由于点(1,1)(1,1)在圆在圆(x-a)(x-a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部的内部, ,所所以以(1-a)(1-a)2 2+(1+a)+(1+a)2 24 4，a a2 21 1，所以，所以-1-1a a1.1.A A5.5.写出下列各写出下列各圆的方程：的方程：(1)(1)经过点点P(5P(5，1)1)，圆心心为点点C(6C(6，-2)-2)；(2)(2)过A(2,5),B(0,-1)A(2,5),B(0,-1)点，且以点，且以 为直径的直径的圆. .答案答案: :(1) (1) (2) (2)6.6.写出写出圆心心为A A（2 2，-3-3），半径），半径长等于等于5 5的的圆的方程，的方程，并判断点并判断点M M（5 5，-7-7），），N N（ 0 0，-1-1）是否在）是否在这个个圆上上？ 点点M M在圆上，点在圆上，点N N在圆内在圆内. .7.7.过点点A A（1 1，-1-1），），B B（-1,1-1,1）且）且圆心在直心在直线x+y-2=0x+y-2=0上上的的圆的的标准方程准方程. .解：解：设圆的标准方程为（设圆的标准方程为（x-ax-a）+ +（y-by-b）=r=r，根据，根据已知条件可得已知条件可得（1-a1-a） + +（-1-b-1-b） =r=r ，（-1-a-1-a） + +（1-b1-b） =r=r ， a+b-2=0a+b-2=0， 联联 立立 ， ， ， 解解 得得 a a= = 1 1， b b= =1 1， r r= = 2 2所所以以所所求求圆圆的的标标准准方方程程为为（ x x- -1 1） + +（y y- -1 1） = =4 41.1.圆的方程的推导步骤：圆的方程的推导步骤：建系设点建系设点写条件写条件列方程列方程化简化简说明说明2.2.圆的方程的特点：的方程的特点：点点( (a,ba,b) )、r r分分别表示表示圆心坐心坐标和和圆的半径的半径. .3.3.求圆的方程的两种方法：待定系数法和直接法求圆的方程的两种方法：待定系数法和直接法. .4.4.点与圆的位置关系点与圆的位置关系. . 不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉. 培根