3.3 空间两点间的距离公式 ABABDCCD 建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线ACAC的长度呢？直接测量比较困难，我们可以用间的长度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量接的方法去测量. .如果有三块砖，你如何测量如果有三块砖，你如何测量ACAC的的长度，两块呢？长度，两块呢？1.1.掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式. . （重点）（重点）2.2.会应用距离公式解决有关问题会应用距离公式解决有关问题. .（难点）（难点）3.3.通过对空间两点间距离公式的探究与推导通过对空间两点间距离公式的探究与推导, ,初步初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法的基本思想方法. . 思考思考1:1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A A（x x，0 0，0 0），），B B（0 0，y y，0 0），），C C（0 0，0 0，z z），），与坐标原点与坐标原点O O的距离分别是多少？的距离分别是多少？xyzOABC|OA|=|x|OB|=|y|OC|=|z|思考思考2:2:在空间直角坐标系中，坐标平面上的在空间直角坐标系中，坐标平面上的点点A A（x x，y y，0 0），），B B（0 0，y y，z z），），C C（x x，0 0，z z），），与坐标原点与坐标原点O O的距离分别是什么？的距离分别是什么？xyzOABC思考思考3:3:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 P P（x x，y y，z z）在在xOyxOy平面上的射影为平面上的射影为M M，则点，则点M M的坐标是什么？的坐标是什么？|PM|,|OM|PM|,|OM|的值分别是什么？的值分别是什么？xyzOPM思考思考4:4:基于上述分析，你能得到点基于上述分析，你能得到点 P P（x x，y y，z z）与坐标原点与坐标原点O O的距离公式吗？的距离公式吗？xyzOPM如果如果是定长是定长r,r,那么那么表示什么图形？表示什么图形？ O Ox xy yz zP P在空间中，到定点的距离在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是等于定长的点的轨迹是以原点为球心，以原点为球心，半径长为半径长为 r r 的球面的球面 探究探究思考思考5 5：如果是空间中任意一点如果是空间中任意一点到点到点之间的距离公式会是怎样呢？之间的距离公式会是怎样呢？如图，设如图，设是空间中任意两点，且是空间中任意两点，且在在xOyxOy平面上的射影分别平面上的射影分别为为M,N,M,N,那么那么M,NM,N的坐标为的坐标为在在xOyxOy平面上平面上, ,过点过点作作 的垂线，垂足为的垂线，垂足为H,H,则则所以所以因此，空间中任意两点因此，空间中任意两点之间的距离之间的距离所以点所以点P P的坐标为的坐标为(9,0,0)(9,0,0)或或(-1,0,0).(-1,0,0).解解: :设点设点P P的坐标是的坐标是(x,0,0),(x,0,0),由题意由题意, , 所以所以(x-4)(x-4)2 2=25.=25.解得解得x=9x=9或或x=-1.x=-1. .P PP P0 0. .解：解：求下列两点的距离求下列两点的距离【变式练习变式练习】例例2. 2. 在在xOyxOy平面内的直线平面内的直线x+yx+y=1=1上确定一点上确定一点M M, ,使使M M到点到点N(6,5,1)N(6,5,1)的距离最小的距离最小. .解：解：由已知由已知, ,可设可设M(x,1-x,0),M(x,1-x,0),则则 所以，当所以，当x=1时，时，|MN|min= , ,故点故点M为为(1,0,0).在在z z轴上求一点轴上求一点M M，使点，使点M M到点到点A A（1,0,21,0,2）与点与点B B（1 1，-3-3，1 1）的距离相等的距离相等. .解：解：设设M(0,0,z)M(0,0,z)，根据题意：，根据题意：|MA|MA| =|MB|=|MB| ， 故故1 1 +0+0 +(z-2)+(z-2) =1 =1 +(-3)+(-3) +(z-1)+(z-1) 解得解得z=-3z=-3，故，故M(0,0,-3).M(0,0,-3).【变式练习变式练习】2.2.已知空间两点已知空间两点P P（-1,2-1,2，-3-3），），Q Q（3 3，-2-2，-1-1），则则P P，Q Q两点间的距离为（两点间的距离为（ ）A.6 B.2 C.36 D.4A.6 B.2 C.36 D.4A3.3.在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，A A（1,-31,-3，0 0），），Q Q（2 2，0 0，4 4）之间）之间的距离是的距离是 . . 5.5.已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A A(1,5,2)(1,5,2)，B B(2,3,4)(2,3,4)，C C(3,1,5)(3,1,5)，求，求: :三角形三边的边长三角形三边的边长. .解解: :1.1.已知点写出其空间直角坐标已知点写出其空间直角坐标. .2.2.空间直角坐标系中的距离公式空间直角坐标系中的距离公式. .3.3.空间直角坐标系中的距离公式的应用空间直角坐标系中的距离公式的应用. . 不要害怕批评.当你提出新的观念时，就要准备接受别人的批评.