线线 性性 代代 数数Linear Algebra20121线性代数11n阶行列式q办公室办公室 博学楼博学楼13051305q电子邮箱电子邮箱 q电话电话 q教学辅助平台教学辅助平台( (tas) ) 线性代数线性代数( (许静许静) )q答疑时间答疑时间 每周四下午每周四下午2 2：30305 5：00002线性代数11n阶行列式q教材及参考书教材及参考书v经济数学基础第二分册经济数学基础第二分册 线性代数线性代数 第第4 4版版 龚德恩等编龚德恩等编 四川人民出版社四川人民出版社v高等代数高等代数 北京大学几何代数教研室编北京大学几何代数教研室编 高等教育出版社高等教育出版社v线性代数题型归纳与练习题集线性代数题型归纳与练习题集 黄先开主编黄先开主编 文灯系列文灯系列 v线性代数线性代数解题思路和方法解题思路和方法 世界图书出版公司世界图书出版公司3线性代数11n阶行列式q关于作业关于作业v从主观上要重视作业。从主观上要重视作业。v独立完成；抄答案按不交处理。独立完成；抄答案按不交处理。q加强课堂秩序管理加强课堂秩序管理v随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。v关闭手机，或设为震动。关闭手机，或设为震动。q怎样学好数学怎样学好数学v信心信心v方法：模仿方法：模仿理解理解提问提问会用会用掌握掌握v坚持坚持4线性代数11n阶行列式线性代数课程的地位和作用线性代数课程的地位和作用 线性代数主要处理线性代数主要处理线性关系线性关系的问题，其理论不仅渗透到的问题，其理论不仅渗透到数学的许多分支中，而且在物理、化学、工程技术、经济、数学的许多分支中，而且在物理、化学、工程技术、经济、管理、生物技术等领域有着广泛的应用，如莱斯利人口模管理、生物技术等领域有着广泛的应用，如莱斯利人口模型、投入产出数学模型、线性规划模型等。型、投入产出数学模型、线性规划模型等。 该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常用的象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组矩阵、线性方程组等基本知识等基本知识,本课程是后继课程的基础，本课程是后继课程的基础，如运筹学，经济计量学，投资与决策如运筹学，经济计量学，投资与决策,线性规划线性规划等。等。 随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代数随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代数中的工具，如中的工具，如Matlab等应用软件。数学建模的首选软件。等应用软件。数学建模的首选软件。5线性代数11n阶行列式线性代数的特点 抽象 “难得糊涂”: 忽略差别忽略差别, ,提取共同点提取共同点例如例如：切线斜率、速度、经济学中的边际量：切线斜率、速度、经济学中的边际量.，共，共同点是导数；同理，线性代数中的不同问题有可能同点是导数；同理，线性代数中的不同问题有可能都归结为解一个线性代数的问题。都归结为解一个线性代数的问题。6线性代数11n阶行列式第一章第一章 行列式行列式学习要求学习要求理解行列式的定义及性质。理解行列式的定义及性质。掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算行掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算行 列式的方法。列式的方法。掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开), 并会用于简化行列式的计算。并会用于简化行列式的计算。掌握克莱姆法则。掌握克莱姆法则。7线性代数11n阶行列式1.1 n阶行列式阶行列式一一 、二阶、三阶行列式、二阶、三阶行列式二、排列及其逆序数二、排列及其逆序数三、三、n阶行列式阶行列式8线性代数11n阶行列式例例1：求解二元一次线性方程组：求解二元一次线性方程组由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .用消元法求解得用消元法求解得一、一、二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式9线性代数11n阶行列式 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即(1)(1)10线性代数11n阶行列式二阶行列式计算方法：（对角线法则二阶行列式计算方法：（对角线法则）取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（主（主对角线对角线）记记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式11线性代数11n阶行列式对系数行列式对系数行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为12线性代数11n阶行列式例例2：求解三元一次线性方程组：求解三元一次线性方程组13线性代数11n阶行列式取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（主（主对角线对角线）三阶行列式计算方法：对角线法则三阶行列式计算方法：对角线法则【注注】三阶行列式包括三阶行列式包括3!6项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。14线性代数11n阶行列式例例3 3 计算行列式计算行列式15线性代数11n阶行列式例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式16线性代数11n阶行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:17线性代数11n阶行列式问题问题 如何计算四阶行列式？如何计算四阶行列式？说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式思考思考 为什么不能用类似的对角线法则计算？为什么不能用类似的对角线法则计算？18线性代数11n阶行列式n级排列级排列：由：由n个自然数，个自然数，n组成的有序组成的有序 数列数列 称为一个称为一个n级（阶、元）排列级（阶、元）排列.逆序：逆序： 一个排列中的任意一个排列中的任意两数两数，如大数在小数，如大数在小数 之前排列，则构成一个逆序。之前排列，则构成一个逆序。逆序数：逆序数： n 级排列级排列 中逆序的总个数，中逆序的总个数， 记做记做 。二、二、 排列及其逆序数排列及其逆序数例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 (32514)=519线性代数11n阶行列式奇排列奇排列：逆序数为奇数的排列。逆序数为奇数的排列。偶排列偶排列：逆序数为偶数的排列。逆序数为偶数的排列。对换：对换：某某两数两数位置互换称为排列的一次对换。位置互换称为排列的一次对换。例例1 求求 i, j 使六级排列使六级排列 2 5 i 4 j 1 为偶排列。为偶排列。2 5 3 4 6 1 2 5 6 4 3 1（3,6）【注注】 逆序数为逆序数为0的排列的排列称作偶排列称作偶排列, 如如 . 该排列称为该排列称为自然序排列。自然序排列。解解 当当i=3, j=6时，时， (253461)= 7，不对不对当当i=6, j=3时，时， (256431)= 10，正确。正确。20线性代数11n阶行列式证明证明相邻两个数对换相邻两个数对换除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.（ ， ）结论结论 对换相邻两个元素，排列改变奇偶性对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.排列奇偶性的两条性质排列奇偶性的两条性质定理定理1 1：一个排列经过任意一个排列经过任意一次一次对换，改变其奇偶性。对换，改变其奇偶性。21线性代数11n阶行列式次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以所以,一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性.不相邻两个数对换不相邻两个数对换22线性代数11n阶行列式证明证明 设这设这n!个个n级排列中级排列中共有共有s个奇排列个奇排列,t个偶排列个偶排列，现现证证s=t.故必有故必有奇排列奇排列偶排列偶排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个偶排列偶排列奇排列奇排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个定理定理2:n个元素个元素( (n) )共有共有n!个个n级排列级排列, ,其中奇、偶排其中奇、偶排列各占一半列各占一半, ,即各有即各有 个个. .23线性代数11n阶行列式先分析三阶行列式的计算先分析三阶行列式的计算归纳每项内容及符号的归纳每项内容及符号的规律规律三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即 项项（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（2 2）符号符号： 当行标按当行标按1，2，3排列时，每项都可写成排列时，每项都可写成每项符号决定于列标排列的逆序数，即每项符号决定于列标排列的逆序数，即其中其中 为列标全排列为列标全排列. .三、三、 n阶行列式阶行列式24线性代数11n阶行列式定义定义 n 阶行列式阶行列式是所有不同行、不同列的是所有不同行、不同列的n个元素的个元素的乘积乘积的的代数代数和和。一般项一般项符号符号25线性代数11n阶行列式n阶行列式的特点阶行列式的特点(1)一般项一般项：取自不同行不同列的取自不同行不同列的n个元素之积，个元素之积， 行号按自然序行号按自然序1,2,n排列排列。(2)求和项数求和项数：所有不同行不同列的元素的乘所有不同行不同列的元素的乘积共有积共有n!项。项。(3)各项符号各项符号：当行号按自然序当行号按自然序1,2,n排列，列排列，列号构成奇排列，取号构成奇排列，取“”，偶排列，取，偶排列，取“”。(4)行列式记号行列式记号：第第i行第行第j列的元素记做列的元素记做aij, 行行列式简记为列式简记为|aij|，det(aij).(5)一阶行列式一阶行列式：|a11| a11 。26线性代数11n阶行列式例例1 判断下列各项是否为判断下列各项是否为 四四 阶行列式中的项，若阶行列式中的项，若是，求符号。是，求符号。 27线性代数11n阶行列式n阶行列式的等价定义阶行列式的等价定义（1 1）行、列下标任意排列行、列下标任意排列（2 2）列按自然序排列）列按自然序排列行号行号逆序逆序数数列号列号逆序逆序数数行号行号逆序逆序数数视情况灵活选用定义视情况灵活选用定义28线性代数11n阶行列式 主对角线主对角线例例2 2：计算计算下三角形下三角形行列式行列式解：解：记住结论记住结论29线性代数11n阶行列式主对角线主对角线上三角形行列式上三角形行列式对角形行列式对角形行列式30线性代数11n阶行列式例例3 3：计算行列式的值计算行列式的值30605497406830002000100000000067245831线性代数11n阶行列式一般的，一般的，32线性代数11n阶行列式易见易见33线性代数11n阶行列式例例4已知已知34线性代数11n阶行列式解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于35线性代数11n阶行列式例例5 计算行列式计算行列式思考：思考：Dn与某些三角形行列式非常接近，能否借助三与某些三角形行列式非常接近，能否借助三角形行列式来计算呢？角形行列式来计算呢？解解 用定义计算用定义计算36线性代数11n阶行列式小结小结37线性代数11n阶行列式是所有不同行、不同列的是所有不同行、不同列的n个元素的个元素的乘积乘积的的代数代数和。和。n 阶行列式阶行列式38线性代数11n阶行列式作业：作业： 习题一习题一 P28 1（7）3（4）5（2）6（3）7（1）（）（3）39线性代数11n阶行列式