第第七七章章立立体体几几何何第八第八节节立体立体几何几何中的中的向量向量方法方法( (理理) )抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么1.理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直、平行关系面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命 题题4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成 角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何 问题中的应用问题中的应用. 怎怎 么么 考考 利用向量法求空间角的大小是命题的热点着重考利用向量法求空间角的大小是命题的热点着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力题型查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力题型多为解答题，难度中档多为解答题，难度中档.2在空间中，给定一个点在空间中，给定一个点A和一个向量和一个向量a，那么以向量，那么以向量a为为 法向量且经过点法向量且经过点A的平面是的平面是 一、平面的法向量一、平面的法向量1所谓平面的法向量，就是指所在的直线与所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的的向量，显然一个平面的法向量有向量，显然一个平面的法向量有 多个，它们是多个，它们是 向量向量平面垂直平面垂直无数无数共线共线唯一的唯一的二、利用向量求空间角二、利用向量求空间角1两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法设两条异面直线设两条异面直线a，b的方向向量为的方向向量为a，b，其夹角为，其夹角为，则，则cos|cos| (其中其中为异面直线为异面直线a，b所成的角所成的角)3求二面角的大小求二面角的大小(1)如图如图，AB、CD是二面角是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂垂 直的直线，则二面角的大小直的直线，则二面角的大小 (2)如图如图，n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个半平的两个半平面面，的法向量，则二面角的小大的法向量，则二面角的小大 n1，n2 (或或n1，n2)答案：答案：A1若平面若平面1，2垂直，则下面可以是这两个平面的垂直，则下面可以是这两个平面的 法向量的是法向量的是 ()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn(1,2,1)，n2(0，2，2)解析：解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直中的两个向量垂直2(教材习题改编教材习题改编)已知已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若若c与与a及及b都垂直，则都垂直，则m，n的的值分别为值分别为()A1,2B1，2C1,2 D1，2答案：答案： A答案：答案： A4在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为直角梯形，为直角梯形，ABCD，BAAD，PA平面平面ABCD，ABAPAD3，CD6.则直线则直线PD与与BC所成的角为所成的角为_解析：解析：以以A为坐标原点，为坐标原点，AD、AB、AP所在的直线分别为所在的直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)答案：答案： 601平面的法向量的求法平面的法向量的求法设出平面的一个法向量设出平面的一个法向量n(x，y，z)，利用其与该平面，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一坐标不唯一2利用向量法求空间角利用向量法求空间角利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别，特别地二面角的大小与向量夹角取值范围的区别，特别地二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小是锐角还是要根据题目的具体情况看二面角的大小是锐角还是钝角钝角巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关锦囊冲关锦囊 利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直1设直线设直线l1的方向向量的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量的方向向量v2(a2，b2，c2)则则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.2设直线设直线l的方向向量为的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面，平面的法向的法向量为量为n(a2，b2，c2)，则，则lvna1a2b1b2c1c20.lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)3设平面设平面的法向量的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量为的法向量为n2(a2，b2，c2)，则则n1n2，n1n2.精析考题精析考题 例例2 (2011大纲版全国高考大纲版全国高考)如图，四棱如图，四棱锥锥SABCD中，中，ABCD，BCCD，侧面侧面SAB为等边三角形为等边三角形ABBC2，CDSD1.(1)证明：证明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成的角的正弦值所成的角的正弦值2(2011湖州第一次质检湖州第一次质检)如图，正方如图，正方形形ADEF和等腰梯形和等腰梯形ABCD垂直，垂直，已知已知BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求证：求证：AC平面平面ABF；(2)求异面直线求异面直线BE与与AC所成的角的余弦值所成的角的余弦值解：解：(1)证明：因为平面证明：因为平面ADEF平面平面ABCD，平面，平面ADEF平面平面ABCDAD，AFAD，AF平面平面ADEF，所以所以AF平面平面ABCD.故故AFAC，又，又BFAC，AFBFF，所以所以AC平面平面ABF.3.(2012广州调研广州调研)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形， PA平面平面ABCD，PAAD2， AB1，BMPD于点于点M. (1)求证：求证：AMPD； (2)求直线求直线CD与平面与平面ACM所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：(1)证明：证明：PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面平面PAD.PD平面平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB，PD平面平面ABM.AM平面平面ABM，AMPD.冲关锦囊冲关锦囊2利用向量法求线面角的方法利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角就是斜线和平面所成的角.解：解：如图，以如图，以D为坐标原点，线段为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线的长为单位长度，射线DA为为x轴轴的正半轴建立空间直角坐标系的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)4. （2012南通模拟）一个几何体是南通模拟）一个几何体是由如图所示的圆柱由如图所示的圆柱ADD1A1和三和三棱锥棱锥E ABC组合而成，点组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆在圆柱上底面圆O的圆周上，的圆周上，且且BC过圆心过圆心O，EA平面平面ABC. (1)求证：求证：ACBD； (2)求锐二面角求锐二面角ABDC的大小的大小解：解：(1)证明：因为证明：因为EA平面平面ABC，AC平面平面ABC，所，所以以EAAC，即，即EDAC.又因为又因为ACAB，ABEDA，所以所以AC平面平面EBD.因为因为BD平面平面EBD，所以所以ACBD.冲关锦囊冲关锦囊1利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为二面角的两个半平面的法向量分别为n1和和n2，则二面，则二面角的大小等于角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角是锐角还是钝角答题模板答题模板 向量法求空间角的规范解答向量法求空间角的规范解答模板建构模板建构1本题中易忽略的步骤为本题中易忽略的步骤为(2)中求出中求出cosm，n而直接下而直接下结论，但本题求其正弦值结论，但本题求其正弦值2本题易错点是学生在建立坐标系时，不能明确指出坐标本题易错点是学生在建立坐标系时，不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范同时，将向量的夹角原点和坐标轴，导致建系不规范同时，将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错转化，否则易错点击此图进入点击此图进入