考试要求：考试要求：了解基本不等式的证明过程；了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.能够利用基本不等式求一些特定函数的极值能够利用基本不等式求一些特定函数的极值.复习回顾复习回顾aabbb几何解释几何解释1重要不等式：重要不等式：算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解释几何解释OabDACB 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 可以用来求最值可以用来求最值( (积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大) ) 结论：结论：已知已知x, y都是正数都是正数.1. 如果积如果积xy是定值是定值p,那么当那么当x=y时时, 和和x+y有最小值有最小值2 ；2. 如果和如果和x+y是定值是定值s, 那么当那么当x=y时时, 积积xy有最大值有最大值 3.三个正数的基本不等式三个正数的基本不等式类比得：类比得： 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.， 基本不等式的应用基本不等式的应用考点考点1.利用基本不等式求函数的最值问题利用基本不等式求函数的最值问题 例例11 ( 1)已知点（已知点（x,yx,y）在直线）在直线x x+2y y=3上移动上移动，求求 2 2x x+ +4y y的最小值的最小值; （2）已知）已知x x0,1，求函数，求函数y y=3x x-4x x2的最大值的最大值;（3）x x0,y y0，且，且 ,求求x+yx+y的最小值的最小值.注意条件注意条件：一正二定三相等：一正二定三相等另注意另注意: :(1)(1)项的配凑项的配凑;(2);(2)“1 1”的代换的代换;(3);(3)公式的变形公式的变形. .（3 3）已知已知a1，b1，log2alog2b=4，求，求ab的最小的最小值值.练习练习1例例2 2 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值. 练习练习22 （1）求函数）求函数 在在 上的最大值上的最大值.用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；有一个为定值；(3)函函数数的的解解析析式式中中，含含变变数数的的各各项项均均相相等等才才能能取得最值取得最值.即即用用均均值值不不等等式式求求某某些些函函数数的的最最值值时时，应应具具备备三三个条件：个条件：一正二定三相一正二定三相等。等。小结：小结： 例例.设矩形设矩形ABCD（ABAD）周长是）周长是24，把它关于，把它关于AC折起来，折起来，AC折过去后交折过去后交CD于点于点P，如图，设，如图，设AB=x，求，求ADP的最大面积及相应的的最大面积及相应的x值值. 点评点评 折叠问题要注意折叠前后位置与量的分析，哪些量不变，折叠问题要注意折叠前后位置与量的分析，哪些量不变，哪些量改变了，挖掘几何关系，需要把哪些量改变了，挖掘几何关系，需要把的另一边也用的另一边也用x表示，把表示，把DP用用x表示是解题的关键表示是解题的关键.考点考点2.基本不等式在几何图形问题中的应用基本不等式在几何图形问题中的应用练习练习. . 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a a 的正方形铁片的各的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形角切去大小相同的小正方形, ,再把它的边沿着虚再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子线折转作成一个无盖方底的盒子, ,问切去的正方问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax题题例例 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m3,深为深为3m，如果池底每如果池底每1m2的造价为的造价为150元，元，池壁每池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？造价最低，最低总造价是多少元？ 分分析析：此此题题首首先先需需要要由由实实际际问问题题向向数数学学问问题题转转化化，即即建建立立函函数数关关系系式式，然然后后求求函函数数的的最最值值，其中用到了均值不等式定理。其中用到了均值不等式定理。考点考点3.基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用解：设水池底面一边的长度为解：设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为则水池的宽为 ,水池的总造价为水池的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得 因因此此，当当水水池池的的底底面面是是边边长长为为40m的的正正方方形形时时，水水池池的总造价最低，最低总造价是的总造价最低，最低总造价是297600元元 评评述述：此此题题既既是是不不等等式式性性质质在在实实际际中中的的应应用用，应应注注意意数数学学语语言言的的应应用用即即函函数数解解析析式式的的建建立立，又又是是不不等等式式性性质质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 练习练习11如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方下边缘分别在学生的水平视线上方a米和米和b米，问学米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大生距离墙壁多远时看黑板的视角最大? 点评点评 求角的问题，联系起三角知识，求解三角形，出现求角的问题，联系起三角知识，求解三角形，出现x=形式考虑用均值不等式形式考虑用均值不等式.解题中通过恒等变换转化成可用均值不等解题中通过恒等变换转化成可用均值不等式的形式也是一种重要能力式的形式也是一种重要能力.练练习习2某某商商品品计计划划两两次次提提价价，有有甲甲、乙乙、丙丙三三种种方方案，其中案，其中pq0 甲甲p%q%乙乙q%p%方案次丙第一次提价第一次提价第二次提价第二次提价经过提价后经过提价后,哪种方案提价的幅度较大哪种方案提价的幅度较大?为什么为什么?小结：小结：用用均均值值不不等等式式解解决决实实际际问问题题时时，应应按按如如下下步步骤骤进行进行：(1)先先理理解解题题意意，设设变变量量，设设变变量量时时一一般般把把要求最大值或最小值的变量定为函数；要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建建立立相相应应的的函函数数关关系系式式，把把实实际际问问题题抽抽象为函数的最大值或最小值问题；象为函数的最大值或最小值问题；(3)在在定定义义域域内内，求求出出函函数数的的最最大大值值或或最最小小值；值；(4)正确写出答案正确写出答案.111221ABCDPEG