第三章第三章 体体 的的 表表 面面 交交 线线 第二节第二节 平面与回转体相交平面与回转体相交 第三节第三节 两立体表面相交两立体表面相交第一节第一节 平面立体被截切平面立体被截切第四章第四章 体的表面交线体的表面交线截平面概念：概念： 截切截切用一个与立体相交的平面， 截去立体的一部分。 截断面截交线截平面截平面用以截切物体的平面。 截交线截交线截平面与物体表面的交线。 截断面截断面因截平面的截切，在物体上形成 的平面。相贯线相贯线两回转体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线 截交线的截交线的性质性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。 实质：实质：求两平面的交线。 求截交线的方法求截交线的方法 ： 空间分析：空间分析：截平面与体的相对位置，确定截交线的形状； 截 平面与投影面的相对位置，确定截交线 的投影特性。 作图方法：作图方法：1）交点法：）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点 为所求。2）表面取点法：）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影有积聚性的特点求之。3）辅助线法：）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。4）辅助平面法）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。4-1 平面立体被截切平面立体被截切例例1：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。分析：截平面为正垂面分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直棱线相交，从正面可直接找出交点。接找出交点。111222(4)4333作出各对应点的投影，作出各对应点的投影，依次连接各点。依次连接各点。 补全棱锥体的外形投影。补全棱锥体的外形投影。41、单一平面与平面立体截交、单一平面与平面立体截交 被截切后的投影图：被截切后的投影图：例2、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截线都积聚在六边形上。112 （3）234 （5）45123456（7）6767完成后的投影图例3、如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。a(b)baab分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。BA2、多个平面与平面立体截交、多个平面与平面立体截交 完成后的投影图a(b)baab截交线的性质：截交线的性质： 截交线截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。 截交线截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。 截交线截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。求截交线的方法和步骤求截交线的方法和步骤： 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。4-2 平面与回转体相交平面与回转体相交一、平面与圆柱体相交一、平面与圆柱体相交 截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。线的相对位置。P 截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形平行截交线为矩形PHPPv截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆倾斜截交线为椭圆PPv截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆垂直截交线为圆 例1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。1 2 1 2 12 3(4) 4 343a a(b) b abc(d) cd cd 作图过程：作图过程： 求特殊点求特殊点 即找最高、最低、即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。定出椭圆长短轴的端点。 求一般点从正面投影上选取求一般点从正面投影上选取A、B、C、D四点分别求出水平面和四点分别求出水平面和侧面投影。侧面投影。 光滑地连接各点。光滑地连接各点。例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。 水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1 1 2 2(3) 2 33 4 (5) 4 4 5 56(7 )766 7 8 (9 ) 89 8 9 a (b ) a b a b 1 cdcdc (d)( )( )完成后的投影图例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1（2） 12 1 2 3（4） 3 4 3 45（6） 56 5 6 完成后的投影图二、平面与圆锥体相交二、平面与圆锥体相交截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同。形状不同。截平面垂直于圆锥轴截平面垂直于圆锥轴线，倾角为线，倾角为=90，截交线为圆形。截交线为圆形。Pv截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线倾斜，倾角倾斜，倾角截交线为椭圆。截交线为椭圆。PvPvPvPv 截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角倾斜面，倾角= 截交线为抛物线。截交线为抛物线。截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线平行或倾角平行或倾角，截交线为双曲线。截交线为双曲线。截平面过锥顶截截平面过锥顶截交线为三角形。交线为三角形。例例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。锥体的水平投影和侧面投影。 圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线。面投影为直线。 aa b b a b c(d ) c cd kl kkl d l 作图：作图：1、求特殊点、求特殊点: 最高点最高点B最最低点低点A；圆锥体的前后素；圆锥体的前后素线与截交线的正面投影的线与截交线的正面投影的交点交点cd重影为一点，其重影为一点，其余两面投影根据投影关系余两面投影根据投影关系求出；截交线的最前点求出；截交线的最前点K和最后点和最后点L，正面投影重，正面投影重影于影于ab的中点。的中点。2、求一般点。、求一般点。3、光滑连接各点的同面、光滑连接各点的同面投影。投影。完成后的三视图例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。分析：顶尖头是由相连的圆锥分析：顶尖头是由相连的圆锥体和圆柱体被两个平面截切体和圆柱体被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面而成，轴线为侧垂线，截平面 分别为侧平面和水平面。分别为侧平面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面与圆柱的截交线为圆弧，正面投影为直线，侧面投影为圆弧投影为直线，侧面投影为圆弧的实形。的实形。 水平面与圆柱的截交线为水平面与圆柱的截交线为开口矩形，与圆角度的截交线开口矩形，与圆角度的截交线为双曲线，其正面和侧面投影为双曲线，其正面和侧面投影均为直线均为直线 。a b (c) a a b c b Cdede e d f f f gh g h g h三、平面与球体相交三、平面与球体相交 球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。线的投影可能是圆、直线或椭圆。Ph1、截平面为平行面、截平面为平行面 截平面为正平截平面为正平面，正面投影为截面，正面投影为截交线圆的实形。交线圆的实形。PvPv截平面为水平面，水平截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形投影为截交线圆的实形。截平面为正垂面，截交线的截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。水平投影及侧面为椭圆。3、截平面为垂直面、截平面为垂直面2、截平面为水平面、截平面为水平面例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。ab ba e (f ) efc(d) cd g(h ) gh分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。为直线，水平投影为椭圆。作图：作图：1、求特殊点、求特殊点 截交线的最低点截交线的最低点A和最高点和最高点B是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投影轮在其正面投影轮廓线的水平投影上廓线的水平投影上。 a b的中点的中点c d是截交线水平是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影cd投影投影在辅助纬圆上。在辅助纬圆上。 e f是截交线与球的水平投影轮廓是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投在球的水平投影轮廓线上。影轮廓线上。2、求一般点、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与选择适当位置作辅助水平面，与ab的交点的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水平为截交线上两个点的正面投影，其水平投影投影g、h投影在辅助纬圆上。投影在辅助纬圆上。例例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。分析：半球的通槽由三个平面构成，分析：半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球一个水平面和两个侧平面截切圆球它们与球面的截交线都是分别平行于它们与球面的截交线都是分别平行于投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧的半径；可根据截平面位置确定。的半径；可根据截平面位置确定。1、通槽的水平投影作图：过槽底部、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。两段圆弧。2、通槽侧面投影的作图：两侧平面、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。段圆弧的侧面投影重合。4-3 两立体表面相交两立体表面相交概概 念念两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。 相贯线性质：相贯线性质： 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。 封闭性封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线。相贯线一般是封闭的空间曲线。 共有性共有性相贯线是两立体表面的共有线。相贯线是两立体表面的共有线。 作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。 作图方法：作图方法： 交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。辅助平面法辅助平面法：根据三面共点原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的共有点。 作图步骤作图步骤： 分析两立体表面性质，即两立体的相对位置和相交情况。 求相贯线上的特殊点。 求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交线的交点是相贯线上的点。 选择辅助平面的原则：选择辅助平面的原则： 使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。一、平面立体与平面立体相交一、平面立体与平面立体相交 两平面立体的相贯线在一般情况下是一条封闭的折线 由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。ACDBa(e)b(f)d(g)ca(c)bfegdaecf(g)b(d)二、平面立体与曲面立体相交二、平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。ACDEa(b)e(f)c(d)c(e)ad(f)bacebdf相贯线投影三、曲面立体与曲面立体相交三、曲面立体与曲面立体相交 两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。相贯线上的点，两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。是两曲面立体表面上的共有点。1、两圆柱相交、两圆柱相交 相交两回转体的相互位置不同可分为相交两回转体的相互位置不同可分为正交正交、偏交、斜交、偏交、斜交。相贯线投影相贯线投影分析：两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积聚在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。作图：求特殊点：a、b就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c、d，由从属关系求出其余两面投影。求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影1、2和水平面投影1、2分别在圆周与平面投影的交点上。a ba b a b cdc (d)cd12 1 (2 ) 12例例1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。、如图示，求两圆柱正交的相贯线。完成后的投影图例2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。a b a ba (b) cd c (d)cd1 2 1(2) 12完成后的相贯线投影图2、圆柱与圆锥相交圆柱与圆锥相交 例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。分析：圆柱与圆锥的轴线相分析：圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是侧垂互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。线，圆锥的轴线是铅垂线。相贯线的侧面投影积聚在圆相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。用辅柱侧面投影的圆周上。用辅助平面法作图。助平面法作图。作图：求特殊点作图：求特殊点 A、B是最是最高点和最低点；过圆柱的最高点和最低点；过圆柱的最前、最后转向轮廓线作辅助前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相贯线最前、水平面，可求得相贯线最前、最后点的投影。最后点的投影。 a b a a bb d ccd cd 求一般点求一般点 作辅助水平面。作辅助水平面。12 12 12 34 3 4 34连相贯线，判别可见性。连相贯线，判别可见性。完成后的相贯线三视图 3 43、圆柱与球相交例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。分析：圆柱轴线不能过球心，因此圆柱与球是偏交。圆柱的轴线是铅垂线，则相贯线的水平投影必积聚在圆柱水平投影的圆周上。求特殊点： 由于圆柱和球下面投影的转向轮廓线在同一平面上，交点ab是最高和最低点的正面投影。作辅助侧平面求出最前、最后点的投影。 a ba b a bd c dc(d) 求一般点： 作辅助水平面，与圆柱交线的水平投影都积聚在圆柱水平投影的圆周上，与球交线的水平投影为不同直径的圆，两个圆的交点为相贯线上的一般点。12 12 12 34 34 连相贯线判别可见性。 c完成后的相贯线投影图4、相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况1）、两回转体共轴线相交 两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是平面曲线圆。圆柱与圆锥共轴圆锥与圆球共轴圆柱与球共轴2）、两圆柱体直径相等且轴线相交相贯线为两个相同的椭圆，椭圆平面垂直于两轴线所决定的平面。例：如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线。 小小 结结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。三、解题方法与步骤1、 空间及投影分析2）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置以确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性。1）分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状确定截交线的形状。 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点找特殊点, ,再补充中间再补充中间 点点，最后光滑连接各点。2、 求截交线3、 当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交进行截交线线 的分析与作图的分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体被截切按整体被截切求出截交线求出截交线，然后再取局部。 4、 求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出分别求出这些基本回转体的截交线基本回转体的截交线，并依次将其连接次将其连接。四、两回转体相交，相贯线具有共有性、表面性和封闭性共有性、表面性和封闭性，求相贯线的方法用辅助平面法辅助平面法。