第5讲 椭圆考纲要求考点分布考情风向标1.掌 握 椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理 解 数形结合的思想.3.了 解 椭圆的简单应用2011年新课标第4题考查椭圆的概念及离心率的计算；2012年新课标第4题以求椭圆的离心率为背景，考查椭圆的几何性质；2013年新课标第10题以椭圆的中点弦为背景，考查椭圆方程的求法(点差法)；第21题考查椭圆方程的求法(定义法，直线、圆、椭圆的综合应用)；2015年新课标第5题以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线的几何性质；2016年新课标第5题考查椭圆的概念及离心率的计算；2017年新课标第12题考查椭圆的标准方程、新课标第11题考查离心率椭圆作为解析几何知识的一个重点，每年都是高考重点考查的内容.主要考查椭圆的基础知识椭圆的定义、几何性质、标准方程以及直线与椭圆的结合问题，考查常见的数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等.考查解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题1.椭圆的概念在平面内到两定点 F1 ，F2 的距离之和等于常数 2a( 大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数.ac(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 a0，n0，mn )，这样可以避免分【规律方法】(1)在求曲线的方程时，应从“定形”“定焦”“定式”“定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要清楚所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在x 轴上还是在 y 轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的参数.(2)求椭圆方程的关键是确定 a，b 的值，常利用椭圆的定义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆方程的影响.当椭圆的焦点位置不明确时，应有两种情况，亦可设方程为类讨论.考点 3 椭圆的几何性质例 3：(1)(2016 年新课标)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一 心率为()A.13B.12C.23D.34所以椭圆的离心率 e .故选 B.解析：如图 D44，在椭圆中，|OF|c， 在 Rt OFB 中 ， |OF|OB| 图 D44|BF|OD|，代入解得 a2c， 1 2答案：B解析：以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 ra，圆的方程为 x2y2a2.因为直线 bxay2ab0 与圆相切，所答案：A综合所述，m 的取值范围为(0,19，).故选 A.答案：A【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c 的值，直接代入用b2a2c2 消去b，转化成关于关于e 的方程(或不等式)求解.思想与方法利用函数与方程的思想求椭圆的方程(1)求椭圆的离心率；于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PMQN，且直线 PM 与直线 QN间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.求直线 FP 的斜率；求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为 e.由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QNFP，【互动探究】已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()C