第五节微分 学习要求学习要求了解微分的概念以及导数了解微分的概念以及导数 与微分的关系与微分的关系 掌握微分的计算方法掌握微分的计算方法 微分的概念微分的概念例例1 求求 在点在点 处的微分。处的微分。解解 因为函数增量为因为函数增量为而而所以所以 设函数设函数 在点在点 的邻域内有定义，给的邻域内有定义，给 以以 的增量，的增量，若函数增量若函数增量 可表示为可表示为 ，其中其中 是不依赖于是不依赖于 的常数，的常数， 是比是比 高阶的无穷小，高阶的无穷小，则称函数在点则称函数在点 处可微，处可微， 是函数在是函数在 处的处的微分微分，记作，记作 ，即即可微与可导的关系可微与可导的关系可微可微 可导可导证明证明 如果函数如果函数 在在 点可微点可微则函数增量可表示为则函数增量可表示为所以所以反过来，如果函数反过来，如果函数 在在 点可导点可导则则所以所以则有则有所以所以所以，如果函数所以，如果函数 在在 点可微点可微结论：结论：可导可导 可微，可微，且且 一般形式一般形式基本微分公式基本微分公式与基本导数公式一一对应与基本导数公式一一对应微分的四则运算法则微分的四则运算法则导数运算导数运算微分运算微分运算证明证明复合函数的微分法则和微分形式不变性复合函数的微分法则和微分形式不变性例例2解解令令 无论无论 是是自变量还是中间变量自变量还是中间变量，微分公式，微分公式 总是成立的，这一性质称为微分的形式不变形。总是成立的，这一性质称为微分的形式不变形。则则 在括号中填入适当的函数，使等式成立在括号中填入适当的函数，使等式成立例例3解解例例4解解在括号中填入适当的函数，使等式成立在括号中填入适当的函数，使等式成立复合函数的微分复合函数的微分例例5 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程。处的切线方程。解解 将方程两边同时微分，得将方程两边同时微分，得可得可得所以切线斜率为所以切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为即即 利利用用微微分分的的形形式式不不变变性性求求隐隐函函数数的的导导数数更更为为方方便便。微分的几何意义微分的几何意义MNxyoQP在点在点M的附近，的附近， 可以用切线段近似代替曲线段。可以用切线段近似代替曲线段。以以直直代代曲曲当当 是曲线是曲线 上的纵坐标的增量时，上的纵坐标的增量时， 就是曲线就是曲线的切线上的纵坐标的相应增量。的切线上的纵坐标的相应增量。微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用以直以直 代曲代曲 近似计算中用近似计算中用 的线性函数的线性函数来近似表达函数来近似表达函数例例6 计算计算 的近似值，精确到的近似值，精确到0.01。解解 令令 则则所以所以工程中常用的近似公式（当工程中常用的近似公式（当|x|x|很小时）很小时）比较直接开方的结果比较直接开方的结果误差小于误差小于0 .001例例6解解作业：作业：P62-P6341（4，5）、）、42（3）、）、43（4）复习第一章复习第一章