第10讲 函数的图象1.掌握基本初等函数的图象，能够利用函数的图象研究函数的性质.2.理解基本函数图象的平移、伸缩和对称变换，会求变换后的函数解析式.1.函数图象的作图方法以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.2.三种图象变换(1)平移变换：yf(x)b 的图象，可由 yf(x)的图象向上(b0)或向下(b0)或向右(a1) 或缩短(0A0，A1)的图象.把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长(0w1)到原来的_倍，纵坐标不变，就得到 yf(wx)(w0，w1)的图象.1w(3)对称变换：1.函数 f(x)ln(x21)的图象大致是()AABCDx3x32.已知函数 f(x)的图象如图 2101，则 f(x)的解析式可能是(A)A.f(x)12x1B.f(x)12x1x3C.f(x)12x1x3D.f(x)12x1图 2101exe的图象大致为(xB3.(2018 年新课标)函数 f(x)x2)ABCD4.方程|x|cos x 在(，)内()CA.没有根C.有且仅有两个根B.有且仅有一个根D.有无穷多个根解析：构造两个函数 y|x|和 ycos x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，如图 D10，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根.故选 C.图 D10考点1函数图象的辨析sin 2x1cos x的部分图象大例1：(1)(2017年新课标)函数 y致为()ABCD解析：函数 ysin 2x1cos x为奇函数，故排除 B；当 x时，y0，排除 D；当 x1 时， ysin 21cos 10，排除 A.故选 C.答案：C(2)(2016 年新课标)函数 y2x2e|x|在2,2上的图象大致为()ABCD解析：函数 f(x)2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图象关于 y 轴对称，因为 f(2)8e2，08e21，所以排除 A，B 选项；当 x0,2时，f(x)4xex 有一零点，设为 x0，易得 x0(0,1)，当 x(0，x0)时，f(x)为减函数，当 x(x0,2)时，f(x)为增函数.故选 D. 答案：D(3)(2018 年新课标) 函数 y x4 x2 2 的图象大致为()ABCD答案：D(4)(2018 年浙江)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是()ABCD答案：D (5)已知函数：yxsin x，yxcos x，yx|cos x|，yx2x 的部分图象如图 2102，但顺序被打乱，则按照图象从左到右，从上到下的顺序，对应的函数序号正确的一组是()图2102A.B.C.D.解析：函数 yxsin x 是偶函数，所以对应图象应为第 1 个图象；函数 yxcos x 是奇函数，且在区间(0，)上函数值有正有负，对应图象为第 3 个；函数 yx|cos x|是奇函数，且在区间(0，)上函数值 y0，所以对应图象为第 4 个；当 x0 时，yx2x0 时，yx2x0.所以函数 yx2x 的图象为第 2个.故选 A.答案：A【规律方法】函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图.作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现.考点2函数图象的应用例 2：(1)(2014 年山东)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()解析：先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图 D11，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A12故选 B.图 D11答案：B点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(2)(2015 年安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2a与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_. 图 D12答案：12【互动探究】答案：B例3：(1)已知 f(x) 2考点3函数图象的变换x1，x1，0)，x 1，x0，1，则下列选项错误的是()A.是 f(x1)的图象C.是 f(|x|)的图象B.是 f(x)的图象D.是|f(x)|的图象解析：作出函数 f(x)的图象如图 D13，f(x1)的图象是由函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，故 A 不符合题意；f(x)的图象是由 f(x)的图象关于 y 轴对称后得到的，故 B 不符合题意；把函数 yf(x)在 y 轴左边的图象去掉，y 轴右边的图象保留，并将 y 轴右边的图象沿 y 轴翻折到 y 轴左边，就得到 yf(|x|)的图象，故 C 不符合题意.故选 D.图 D13答案：D(2)(2015年新课标)设函数 yf(x)的图象与 y2xa 的图象关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则 a()A.1B.1C.2D.4解析：设(x，y)是函数 yf(x)的图象上任意一点，它关于直线 yx 的对称点为(y，x)，由已知，得(y，x)在函数y2xa 的图象上，x2ya.解得 ylog2(x)a.即 f(x)log2(x)a.f(2)f(4)log22alog24a1.解得 a2.故选 C.答案：C(3)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()A.f(x)ex1C.f(x)ex1B.f(x)ex1D.f(x)ex1答案：D解析：与yex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得yex的图象，f(x)的图象由yex的图象向左平移1个单位长度得到.f(x)e(x1)ex1.【规律方法】本题考查的是作图，作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；函数图象的变换主要有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换.要特别注意平移变换与伸缩变换顺序不同而带来的不同结果.思想与方法用数形结合的思想求参数的取值范围解析：方程有3个不同的实数根，即ya与函数有3个不同的交点，如图2103，画出函数的图象，根据图象可得实数a的取值范围为(0,1).图2103答案：D【互动探究】解析：作出 f(x)的大致图象如图 D14.图 D14由图象知，要使 f(a)f(b)f(c)，不妨设 abc，lg alg b0.ab1.abcc.由图知 10c12，abc(10, 12).故选 C.答案：C