6.2 6.2 一阶微分方程一阶微分方程变量分离的微分方程变量分离的微分方程. .解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法6.2.1 6.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程例例1 1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例1例例2解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义6.2.6 6.2.6 齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解* *可化为齐次的方程可化为齐次的方程为齐次方程为齐次方程. .（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .2.解法解法1.1.定义定义有唯一一组解有唯一一组解（h,k）.得通解再代回得通解再代回未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.解解代入原方程得代入原方程得分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为例例5 5 求解微分方程求解微分方程解解令令再令再令两边积分后得两边积分后得变量还原得变量还原得例例6 6 求解微分方程求解微分方程解解令令令令令令两边同时积分得两边同时积分得变量还原后得通解变量还原后得通解6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为例例6例例7例例7伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.6.2.4 伯努里方程伯努里方程贝努里贝努里求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解所求通解为所求通解为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解*6.2.5 黎卡提方程与黎卡提方程与初值问题解的存在唯一初值问题解的存在唯一性性形式上最简单的非线性方程形式上最简单的非线性方程由上述定理及例子，下述问题有重要意义由上述定理及例子，下述问题有重要意义2.一个微分方程的初值问题的解是否存在？如果一个微分方程的初值问题的解是否存在？如果有解，解是否唯一？如何从方程本身不求解直接有解，解是否唯一？如何从方程本身不求解直接推断其解的性质？推断其解的性质？(微分方程的基本理论问题微分方程的基本理论问题)1.那些微分方程可用初等积分法求出精确解那些微分方程可用初等积分法求出精确解?(困难困难)3.如果求不出精确解，但解存在时，如何求其近似如果求不出精确解，但解存在时，如何求其近似解（数值解）？解（数值解）？(解的近似计算方法解的近似计算方法)分离变量法步骤分离变量法步骤: :1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.小小 结结3、齐次方程、齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程齐次方程齐次方程4.线性非齐次方程线性非齐次方程5.伯努利方程伯努利方程思考题思考题2、方程、方程是否为齐次方程是否为齐次方程?1、求解微分方程、求解微分方程3、求微分方程、求微分方程 的通的通解解.思考题思考题1解答解答为所求解为所求解.思考题思考题2解答解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.思考题解答思考题解答练练 习习 题题3（一阶线性）（一阶线性）练习题答案练习题答案J.BernouliJ.BernouliD.Bernouli