回首往事：回首往事：1.什么样的图形是什么样的图形是全等三角形全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件答：至少要有三个条件边边边公理边边边公理： 有有三边三边对应相等的两个三角形全等。对应相等的两个三角形全等。边角边公理边角边公理： 有有两边两边和它们和它们夹角夹角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。ABCABC问题：问题： 如果已知一个三角形的如果已知一个三角形的两角及一边两角及一边，那，那么有几种可能的情况呢？么有几种可能的情况呢？答：答：角边角（角边角（ASA） 角角边（角角边（AAS） 先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画一个再画一个A/B/C/，使使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使两角和它们的夹边对应相等即使两角和它们的夹边对应相等)。把画把画好的好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等上，它们全等吗？吗？探究探究5B BA AC C画法：画法：1、画、画A/B/AB；2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点交于点C/。通过实验你发现了什么规律？通过实验你发现了什么规律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，画一个画一个 A/B/C/，使使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要画的三角形。就是所要画的三角形。A=A （已知已知 ） AB=AC（已知已知 ）B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABEACD（ASA）用数学符号表示用数学符号表示: 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：如图，应填什么就有如图，应填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知）（已知） ,1=2, （已知）已知）AOCBOD (ASA)AO=BO 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。12例题讲解例题讲解例例3.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于点于点O，AB=AC，B=C。 求证：求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE。 证明证明 ：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACDABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知已知） BD=CE 小明踢球时不慎把一块小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块三角形玻璃打碎为两块,他他是否可以只带其中的一块碎是否可以只带其中的一块碎片到商店去片到商店去,就能配一块于就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢原来一样的三角形玻璃呢? 如果可以如果可以,带哪块去合适带哪块去合适呢呢?为什么为什么?(2)(1)CBEAD利用利用利用利用“ “角边角角边角角边角角边角” ”可知可知可知可知, ,带第带第带第带第(2)(2)块去，块去，块去，块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。(1)(2)(2)探究探究6 如下图，在如下图，在ABC和和DEF中中,A D, BE, BCEF, ABC与与DEF全等吗？能利用全等吗？能利用角边角角边角条件证明你的结论吗？条件证明你的结论吗？E EF FD DB BA AC C在在ABC和和DEF中中,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）AE=AD（已知已知 ）A=A （已知已知 ） B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABEACD（AAS）用数学符号表示用数学符号表示:两个角两个角和其中和其中一个角的对边一个角的对边对应相等的两个三角对应相等的两个三角形全等形全等（可以简写成（可以简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是： 到目前为止到目前为止, ,我们一共探索出判定三我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是角形全等的四种规律，它们分别是: :1 1、边边边、边边边 ( (SSS)3 3、角边角、角边角 ( (ASA) )4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)练一练：练一练：1、如图、如图ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根据，根据SAS,ASASAS,ASA或或AASAAS， 那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使ABCDEF.ABCDEF.2、如图，、如图，BE=CD，1=2，则，则AB=AC吗？为什么？吗？为什么？ABCDEFAC=DFAC=DF或或B=EB=E或或A=DA=DCAB12ED例例: 如图如图,O是是AB的中点，的中点，A= B， AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和夹边两角和夹边对应相等对应相等BODAOCDD(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中例例: 如图如图,O是是AB的中点，的中点，C= D， AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角两角和对边和对边对应相等对应相等BODAOCDD(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中C= D(AAS)知识应用知识应用1. 如图，要测量河两岸相对的两点如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以的距离，可以在在AB的垂线的垂线BF上取两点上取两点C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂线的垂线DE，使，使A， C，E在一条直线上，在一条直线上，这时测得这时测得DE的长就是的长就是AB的长。为什么？的长。为什么？ABCDEF在在ABC和和EDC中中, B=EDC=900 BCDC, 12, ABC DEF （ASA） ABED.12证明：证明：2.2.如图如图, ,ABABBC, ADBC, ADDC, 1=2.DC, 1=2. 求证求证: AB=AD.: AB=AD. 知识应用知识应用在在ABC和和ADC中中, B=D, 12, ACAC, ABC ADC （AAS） ABAD.证明：证明： ABABBC, ADBC, ADDC, DC, B=D=900, , 练习练习:= = =A AB BE EC CF FD D已知已知已知已知: :如图如图如图如图B=B=DEF, BC=EF, DEF, BC=EF, 求证求证求证求证: :ABCABC DEFDEF(1)(1)若要以若要以若要以若要以“ “SAS”SAS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ； (2)(2)若要以若要以若要以若要以“ “ASA”ASA”为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件； (3)(3)若要以若要以若要以若要以“ “SSS” SSS” 为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；ACB= ACB= DEFDEFAB=DEAB=DEAB=DEAB=DE、AC=DFAC=DF 三步走：三步走：要证什么；要证什么；已有什么；已有什么；还缺什么。还缺什么。(4)(4)若要以若要以若要以若要以“ “AAS” AAS” 为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；A= A= D D(1) 图中的两个三角形全等吗图中的两个三角形全等吗? 请说明理由请说明理由.全等全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两个三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDD(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)(3) 如图，如图，AC、BD交于点交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：求证：ABCDO证明证明: (1)连接连接AD, 在在ADC和和DAB中中AD=DA（公共边公共边）AC=DB（已知已知）DC=AB（已知已知）ADCDAB （SSS）C=B（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等） (2) 在在 AOB 和和 DOC中中 B = C （已证已证）1=2 （对顶角相等对顶角相等）DC=AB（已知已知）DOCAOB （AAS）OA=OD（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）12(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成简写成“角边角角边角”或或“ASA”.(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成简写成“角角边角角边”或或“AAS”.知识要点：知识要点：（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。探究探究7 三角对应相等的两三角对应相等的两个三角形全等吗？个三角形全等吗？ 作业：作业：1、第、第15页页,习题习题11.2:第第5,6题。题。2、第、第16页页,习题习题11.2第第11、12题。题。