第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质主讲人：小蔡老师学习目标：学习目标：1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系；2.了解不等式（组）的实际背景；3.理解不等式一些基本的性质.重点、难点：重点、难点：用作差法比较两个式子大小，理解不等式性质的应用学习目标学习目标明确方向，把握重、难点明确方向，把握重、难点问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%；(1)某公路限速40km/h；自主探究自主探究 预习教材，解决问题预习教材，解决问题(1)某公路限速40km/h；(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%；思考思考1:1:“限速限速40km/h”40km/h”是什么意思是什么意思？“不少于不少于”呢？呢？“最短最短”呢？呢？“限速40km/h”就是要求速度的大小不超过40km/h；不少于就是大于或等于。(1)设汽车的速度为vkm/h，则0v40(2)由题意得自主探究自主探究 预习教材，解决问题预习教材，解决问题(1)某公路限速40km/h；(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%；(1)0v40(2)思考2：为什么(1)用的是不等式，(2)要用不等式组？(1)中只有1个不等关系，而(2)中要求2个不等关系同时成立。自主探究自主探究 预习教材，解决问题预习教材，解决问题(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(4)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(3)设设ABC的三边分别为的三边分别为a,b,c，则，则 ABCabc(4)设设C是直线是直线AB外的任意一点，外的任意一点，CD垂直垂直AB于点于点D，E是直线是直线AB上不同于上不同于D的任意一点，则的任意一点，则 CDABEa+bc,a-bcCD”、“b，那么，那么ab是正数；是正数；如果如果aba0a-b0a-b=0新新知知:比较大小的依据比较大小的依据如何刻画实数a,b的大小关系？形形数数自主探究自主探究 预习教材，解决问题预习教材，解决问题不等式比较大小自主探究自主探究 预习教材，解决问题预习教材，解决问题【例例1】比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小解：解：(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10 x+21)-(x2+10 x+24)=-3-30,(x+3)（x+7）2aba2+b2=2abE(FGH)当a=b时，正方形ABCD的面积等于S四个直角三角形的面积和S，即aba=b时综上，a2+b22ab以上的a,b均为正数，实际上，a,b为任意实数时，此不等式也成立。证明：重要不等式证明：重要不等式证明：证明：思考：你能证明这个不等式吗？合作探究合作探究 究其根本，把握核心究其根本，把握核心例3 已知ab0,cb1 abbabb2 ab，bcbcacac；（传递性）（传递性）性质性质3 ab3 aba acbcbc c；（可加性）（可加性）性质性质4 4 如果如果ab,c0,acbcab,c0,acbc；（可乘性）（可乘性）性质性质5 5 如果如果ab,cd,ab,cd,a acbcbd d；（同向可加性）；（同向可加性）性质性质6 6 如果如果ab0,cd0,ab0,cd0,acbdacbd；（正数同向不等式的可乘性）（正数同向不等式的可乘性）性质性质7 ab07 ab0a an nbbn n(n(nN N*)；（可乘方性）（可乘方性）性质性质1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb.性质性质1表明，把不等式的左边和右边交表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的们把这种性质称为不等式的对称性对称性。a ab bb ba a（对称性）（对称性）新新知知:不等式的性质不等式的性质性质性质2：如果如果ab，bc，那么，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得证明：根据两个正数之和仍为正数，得(ab)+(bc)0 ac0 ac.这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为cb，ba，则，则cb，则，则a+cb+c.证明：因为证明：因为ab，所以，所以ab0，因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，即即 a+cb+c.a ab a+cb a+cb+cb+c（可加性可加性）性质性质3表明，不等式的表明，不等式的两边都加上同一两边都加上同一个实数个实数，所得的不等式与原不等式同向，所得的不等式与原不等式同向.新新知知:不等式的性质不等式的性质由性质由性质3可以得出可以得出推论推论1：不等式中的任意一项都可以把它不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。一边移到另一边。（移项法则移项法则）a+bc a+b+(b)c+(b)acb.a+bcacb.新新知知:不等式的性质不等式的性质性质性质4：如果如果ab，c0，则，则acbc；如果；如果ab，c0，则，则acb，cd，则，则a+cb+d.证明：因为证明：因为ab，所以，所以a+cb+c，又因为又因为cd，所以，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 a+cb+d.几个几个同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相加相加，所，所得的不等式与原不等式得的不等式与原不等式同向同向。a ab b，c cd a+cd a+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性）新新知知:不等式的性质不等式的性质证明：因为证明：因为ab，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。几个两边都是正数的几个两边都是正数的同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相乘相乘，所得的不等式与原不等式，所得的不等式与原不等式同向同向。性质性质6：如果如果ab0，cd0，则，则acbd.a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbd bd(正数同向不等式的可乘性正数同向不等式的可乘性)新新知知:不等式的性质不等式的性质性质性质7：如果如果ab0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 个，个，根据性质根据性质6，得，得anbn.a ab b0 a0 an nb bn n(nN(nN*)(可乘方性可乘方性)新新知知:不等式的性质不等式的性质1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（）A.5x+4y200B.5x+4y200C.5x+4y200D.5x+4y200D课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结