人教版九年级上册人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角仙桃九中仙桃九中 朱慧朱慧OOBACD 观察与发现观察与发现 圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗? ?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里? ?一、思考一、思考圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心. .NO把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON 把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON 定理定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，由此可以看出，由此可以看出，点点NN仍落在圆上。仍落在圆上。 圆心角圆心角：我们把：我们把顶点在圆心顶点在圆心的角的角叫做叫做圆心角圆心角. .OBAAOBAOB为圆心角为圆心角 圆心角圆心角AOBAOB所对所对的弦为的弦为ABAB，所对的弧，所对的弧 为为ABAB。二、概念二、概念判别下列各图中的角是不是圆心角，并说判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。明理由。任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？三、探究三、探究 如图，将圆心角如图，将圆心角AOBAOB绕圆心绕圆心O O旋转到旋转到A AOBOB的位置，你能发的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角 AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到 AOB的位置时，显然的位置时，显然 AOB AOB，射线，射线OA与与OA重合，重合，OB与与OB重合而同圆的半径相等，重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点，从而点A与与A重合，重合，B与与B重合重合OABOABABAB因此，弧因此，弧AB与弧与弧A1B1 重合，重合，AB与与AB重合重合ABA1B1=OABA1O1B1 如图，如图，O与与O1 1是等圆，是等圆，AOB AOB =A A1 1OBOB1 1=60=600 0，请问上述结论还成立吗？为请问上述结论还成立吗？为什么什么? ? AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1 ，AB=AAB=A1 1B B1 1 . .OABA1 1B1 在在同圆同圆或或等圆等圆中，相等的圆心角所对的中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等弧相等，所对的弦相等. AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1 ，AB=AAB=A1 1B B1 1 . .四、定理四、定理思考：思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？能得什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角圆心角_， 所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角圆心角_，所对的弧，所对的弧_这样，我们就得到下面的推论：这样，我们就得到下面的推论：相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两两个圆心角、两条弧、两条弦中条弧、两条弦中有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相余各组量也相等等1.如图，如图，AB、CD是是O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 = ，那么，那么_，_（3）如果）如果 AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OE AB于于E，OF CD于于F，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD相相 等等 因为因为ABAB= =CDCD ，所以，所以AOB=AOB=COD.COD. 又因为又因为AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO， 所以所以AOB AOB COD.COD. 又因为又因为OEOE 、OFOF是是ABAB与与CDCD对应边上的高，对应边上的高，所以所以 OEOE = = OF.OF.CDABABCD=ABCD=巩固巩固(1) (1) 圆心角圆心角(2) (2) 弧弧(3) (3) 弦弦知知一一得得二二定理整体理解：定理整体理解：OABA1 1B1证明：证明： AB=AC AB=ACAB=AC, , ABC ABC 等腰三角形等腰三角形又又 ACB=60， ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA. AOB BOC AOC.ABCO五、例题五、例题例例1 如图在如图在O中，中，AB=AC ， ACB=60，求证求证: AOB=BOC=AOC. 2.如图，如图，AB是是O的直径，的直径， , COD=35，求求 AOE的度数的度数AOBCDE解：解：BCCD=DEBCCD=DE3 3、如图、如图7 7所示，所示，ABAB为为O O的弦，在的弦，在ABAB上取上取AC=BDAC=BD，连结，连结OCOC、ODOD，并延长交，并延长交O O于点于点E E、F.F.（1 1）试判断）试判断OCDOCD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AE=BFAE=BF EFOABCD圆心角定理的应用圆心角定理的应用圆心角定理圆心角定理圆心角的定义圆心角的定义圆的旋转不变性圆的旋转不变性