第1课时 等腰三角形的性质5.3简单的轴对称图形情境引入认识等腰三角形：认识等腰三角形：ABC底边腰腰顶角底角定义：定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形两条边相等的三角形叫做等腰三角形.定义：定义：(顶角顶角腰腰腰腰底边底边（底角底角底角底角) )有有两条边相等两条边相等的三角形叫的三角形叫等腰三角形等腰三角形按下面的步骤做一做按下面的步骤做一做1 1、将长方形纸片对折、将长方形纸片对折2 2、然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开、然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开请拿出一张的请拿出一张的长方形长方形纸片，试一试，纸片，试一试，通过折叠一次，剪一次，是否可以剪出通过折叠一次，剪一次，是否可以剪出一个一个等腰三角形等腰三角形呢？呢？合作探究按下面的步骤做一做按下面的步骤做一做1 1、将长方形纸片对折、将长方形纸片对折2 2、然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开、然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开ABDC等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等. .BC观察你所得到等腰三角形，你能发观察你所得到等腰三角形，你能发现等腰三角形具有哪些性质？现等腰三角形具有哪些性质？对折演示已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求求证证： B= C.ABC12证明：证明： 作作顶顶角的平分角的平分线线AD. 在在BAD和和CAD中中，AB=AC ( 已知已知 ), 1= 2 ( 辅辅助助线线作法作法 )，AD=AD (公共公共边边) , BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等).证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线作顶角的平分线D证明：证明： 作底作底边边中中线线AD. 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ),BD=CD ( 辅辅助助线线作法作法 )，AD=AD (公共公共边边) , BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求求证证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线作底边中线证明：证明： 作底作底边边高高线线AD. 在在RtBAD和和RtCAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ),AD=AD (公共公共边边) , Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求求证证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线作底边的高线等腰三角形的性等腰三角形的性质质： 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简简写成写成“等等边对边对等角等角”）注意：等注意：等边对边对等角是指等角是指 在在 三角形中三角形中 。一个一个 用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在ABC中，中， AB=AC B=C ( ）等边对等角等边对等角CAB 2、等腰三角形一个底角、等腰三角形一个底角为为70,它的它的顶顶角角为为_.3、等腰三角形一个角、等腰三角形一个角为为70,它的另外两个角它的另外两个角为为 _.4、等腰三角形一个角、等腰三角形一个角为为100,它的另外两个角它的另外两个角为为_.4040,40 70 ,40或或55,55 1、等腰三角形一个、等腰三角形一个顶顶角角为为70,其它两个角其它两个角为为_.55，55如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC 时，时，(1)因为因为AD BC所以所以 _= _;_=_(2) 因为因为AD是中线是中线所以所以_; _=_(3) 因为因为 AD是角平分线是角平分线所以所以_ _;_=_BADCADCDBDADBCBADCADADBCBDCDABCD三线合一的符号语言三线合一的符号语言AD是是底底边边上的高上的高AD垂直于垂直于BCAD是底是底边边上的中上的中线线性性质质2: 等腰三角形的等腰三角形的顶顶角平分角平分线线、底、底边边上的中上的中线线、底、底边边上的上的高相互重合。高相互重合。(等腰三角形三等腰三角形三线线合一合一)AD平分平分BACAD是是BC的中的中线线AD是是顶顶角平分角平分线线ABDC观察我们刚才的探索与证明过程，你发现等腰三角观察我们刚才的探索与证明过程，你发现等腰三角形两底角相等外，形两底角相等外，你还发现了哪些等量关系？你还发现了哪些等量关系？1= 2ADB= ADC=900BD=CD21 根据等腰三角形性根据等腰三角形性质质定理定理2,在在ABC中，中， AB=AC时时， (1)ADBC，_ = _，_= _. (2) AD是中是中线线，_ ，_ =_.(3) AD是角平分是角平分线线，_ _ ，_ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD典例解析1 1、若等腰三角形的一个内角为、若等腰三角形的一个内角为 5050, ,则它的另外两个内角为则它的另外两个内角为_2 2、一等腰三角形的两边长为、一等腰三角形的两边长为3 3和和6 6，则该等腰三角形的周长为，则该等腰三角形的周长为_3、ABCABC中中AB=AC，AD BC，BC=10cm，则，则BD=_。6565,65,65或或5050,80,80 155ABCD1、等腰三角形的、等腰三角形的 、 、 互相重合。互相重合。4、等腰直角三角形的顶角是、等腰直角三角形的顶角是 度，度，两底角各是两底角各是 度度2、等腰三角形的两个底角、等腰三角形的两个底角 。A、基础填空、基础填空顶角的平分线顶角的平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高底边上的高90904545相等相等3、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，AD BC ， BC =6，则，则BD=_3ABCD例例1 如如图图，在，在 ABC中，中，AB=AC，点，点D在在AC上，上，且且BD=BC=AD。求。求 ABC各角的度数。各角的度数。ABCD解：解： AB=AC BD=BC=AD ABC= C= 3 A= 1(等等边对边对等角等角) 设设 A=x，则则 3= A+ 1=2x 从而从而 ABC= C= 3=2x 于是在于是在 ABC中，有中，有 A+ ABC+ C=x+2x+2x=1800 解得解得 x=360在在 ABC中，中， A=360， ABC= C=720123 1 1. .等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形等腰三角形有一条对称轴，它既是顶角角平分线所在直线，又是底边上的中线所在直线，还是底边上的高所在直线.3 3. .等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。2 2. .等腰三角形的顶角平分线、底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合边上的中线、底边上的高重合（也称（也称“三线合一三线合一”），它们所），它们所在的直线都是等腰三角形的对称在的直线都是等腰三角形的对称轴。轴。 等等等等腰腰腰腰三三三三角角角角形形形形的的的的性性性性质质质质等等边边对对等等角角等等边边对对等等角角等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一三线合一三线合一ABCD课堂小结 一、填空：一、填空： 1、 ABC中，中，AB=AC,A= 36,则则B=_，C=_。 2、 ABC中，中，AB=AC,B= 36,则则A=_，C=_。 3、 ABC中，中，AB=AC,若一个角是若一个角是 36,则则另两角的度数是另两角的度数是_。 4、 ABC中，中，AB=AC,若一个角若一个角为为100,则则另两角的度数是另两角的度数是_。 二、二、R t ABC，BA=100，AB=AC，求，求BA， A ，B，的度数，的度数，图图中由哪些相等的中由哪些相等的线线段？段？巩固训练已知：如已知：如图图， ABC中，中， ABC=50 , ACB=80 ,延延长长CB至至D,使使BD=BA,延延长长BC至至E,使使CE=CA .连结连结AD、AE.求求D、E、DAE的度数的度数 .ABCDEBD=CDD=DAB ABC=D+DABD= ABC=25012_CE=CAE=CAE ACB=E+CAEE= ACB=40012_ DAE+E+D=1800DAE= 1800-250-400=1150 解：解：小明小明练习练习册上的一个等腰三角形被墨迹册上的一个等腰三角形被墨迹污污染了，染了，只有它的底只有它的底边边AB和和B还还保留着。你怎保留着。你怎样样画出画出练练习习册上原来的等腰三角形形状呢？册上原来的等腰三角形形状呢？ABC三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形也叫正三角形（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴（2）你能发现它的哪些特征？折叠一下折叠一下试试！试试！想一想等边三角形的性质：等边三角形的性质：1 1. .等边三角形是轴对称图形。等边三角形是轴对称图形。2 2. .等边三角形每个角的平分线和这个角的对等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（边上的中线、高线重合（“三线合一三线合一”），），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。等边三角形共有三条对称轴。3 3. .等边三角形的各角都相等，都等于等边三角形的各角都相等，都等于6060议一议你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。1.按下面的步骤做一做：按下面的步骤做一做：（1）将长方形纸片对折）将长方形纸片对折（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。2.你能尝试用圆规吗？ 如图，是由大小不等的等边三角形组成如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。的图案，请找出它的对称轴。随堂练习11.1.如图，在等腰如图，在等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC顶角顶角A=100A=100那么底角那么底角B=_B=_C =_C =_ . . 404040402 2. . 在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=72B=72，那么那么 A=_ A=_3 3. . 在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，有一个角为中，有一个角为5050，那么另外两个角分别是多少？那么另外两个角分别是多少？B BC CA A3636随堂练习2 每一幅图画后面都有一道习题，选择一幅你喜欢的图画吧！如果如果ABCABC是轴对称图形，则它的对是轴对称图形，则它的对称轴一定是（称轴一定是（ ）A. 某一条边上的高。B. 某一条边上的中线。C. 平分一角和这个角的对边的直线。D. 某一个角的平分线。 C如果如果ABCABC是轴对称图形，则它的对是轴对称图形，则它的对称轴一定是（称轴一定是（ ）A. 某一条边上的高。B. 某一条边上的中线。C. 平分一角和这个角的对边的直线。D. 某一个角的平分线。 C1、若等腰三角形的一个内角为、若等腰三角形的一个内角为 40,则它的另则它的另外两个内角为外两个内角为_2、 若等腰三角形的一个内角为若等腰三角形的一个内角为120,则它的另则它的另外两个内角为外两个内角为_7070,70,70或或4040，100100 3030,30,301.1.一等腰三角形的两边长为一等腰三角形的两边长为2 2和和4 4，则，则该等腰三角形的周长为该等腰三角形的周长为_2.2.一等腰三角形的两边长为一等腰三角形的两边长为3 3和和4 4，则该等，则该等腰三角形的周长为腰三角形的周长为_1010或11已知等腰三角形的腰长比底边长多已知等腰三角形的腰长比底边长多2 2cm,cm,并且它的周长为并且它的周长为1616cm,cm,求这个等腰三角求这个等腰三角形的各边长。形的各边长。解：设三角形的底边长为解：设三角形的底边长为xcm,xcm,则其腰长为则其腰长为 ( (x+2)cmx+2)cm，根据题意得：根据题意得： 2(x+2)+x=16 2(x+2)+x=16 解得解得 x=4x=4等腰三角形三边长为等腰三角形三边长为4 4cmcm，6cm6cm，6cm6cm。已知等腰三角形的腰长比底边长多已知等腰三角形的腰长比底边长多2 2cm,cm,并且它的周长为并且它的周长为1616cm,cm,求这个等腰三角求这个等腰三角形的各边长。形的各边长。解：设三角形的底边长为解：设三角形的底边长为xcm,xcm,则其腰长为则其腰长为 ( (x+2)cmx+2)cm，根据题意得：根据题意得： 2(x+2)+x=16 2(x+2)+x=16 解得解得 x=4x=4等腰三角形三边长为等腰三角形三边长为4 4cmcm，6cm6cm，6cm6cm。1. 等腰三角形的性质。2. 等边三角形的性质。3. 相关计算。 同学们，学了这节课你最想说什么？同学们，学了这节课你最想说什么？认识了等腰三角形和等边三角形认识了等腰三角形和等边三角形1 1、等腰三角形是轴对称图形，、等腰三角形是轴对称图形， 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。2 2、如果一个三角形有两个角相等，、如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。那么它们所对的边也相等。谈一谈谈一谈