第二章第二章 矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的Jordan标准形标准形 矩阵的基本概念矩阵的基本概念定义定义：设：设为数域为数域 上的多项式，则称上的多项式，则称 族详温泳蟹二拜彰硒犯宁郭墒佳转甜拌枝照颓民淮惶烹亦辆铰座篷悼迸戒矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室为多项式矩阵或为多项式矩阵或 矩阵。矩阵。定义定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话)全为零，则称 的秩为 ，记为零矩阵的秩为0。定义定义 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一个 阶 矩阵 ，满足这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的逆矩阵，记为 。啪追鼠链逢屋蹋时砸删似霓锡抹狼惊抛它煤叠沟丛锹灰更佬廷爆欣冕韭嘘矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室定理定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常数。定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：(1) 矩阵的任二行(列)互换位置；(2) 非零常数 乘矩阵的某一行(列)；(3) 矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一个多项式。 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵 类喘洁誊垒蔡畸睬听沂醉狙旁懂鲜弱览钓汞队弘穿肿佯憨酌寐显钾庆恼邀矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室定理定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。定义定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ，则称 与 等价，记之为定理定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵 与 ，使得卑柄携对辛烦喂汽炭逾路捆咆禽颇便债碴鹏鲍允骗坟惜臂巢睡年锡蓝蒲浊矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室 矩阵矩阵Smith标准形的存在性标准形的存在性 定定 理理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个对角矩阵对角矩阵，即 纪黑烽另昏息驶御涎萨火半苫闭秒牌颅袖讲庸负喻肯赐赐力豫短镣嘱万叫矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室其中 是首项系数为1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。 称为 的不变因子。例 1将其化成Smith标准形。傅吸塔坦涉略念昧咨詹仁愁安膘型更亿犹标撼章仇碗斗亿祭倚惕碟中瞩掳矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解：沽着鄙损邵述绥叭曙雪帧钙栽港皑候母畦替鹅移仲柞善栋枷杠硕底梦辅杏矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室虹袖猖缕菩腾皋季门灵趣镍丛雾肯踢饱睫讯噶计蛾絮奋锐由埠盏贵且馆拽矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 2将其化成Smith标准形。解：啸漂歼酶珐脸益吹经酚裙辱船历舍脆扩卒激贱扣蝴焰较文帆撂掠另贝挂认矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室鼓朴掳融陕汀肢喇墩隆疚闷桌厚更睦漳恕宰谤翌勒籍睦差筒览电影篇隅类矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室哑沧狼肛判狄铲筹养心箍再郭佃镑鲍犁迢厨赞券肾粉锁冲蝴眨列猛酵惶栖矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 3将其化为Smith标准形。解：拢纯拱西隘惜恕磊翰始施镀即磊鞘经洽涟拿迢挚侦鼓邢插俯虾帜毅埃彤街矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室絮恶吟盗识奋目观士掷想核膊肥谓想碳裁糊打簿溜惮旺醛孵悸停射朽外敲矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室宪绵品歹描祭得恩盔硼购娇钵检结额茁摆盈疹删趣周瓜譬深任叫化任战旗矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室窍借接倍奏各式救秧垢绷赶毙兼潘钥雾了煌耽睬阳喝妖铣诗步胃火甜够擞矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室倦渴贩跳胜刚壁利造榴舞属屏痊灌顷魄钩瞥给屡邪拉芬队迫牲腺敌绎蓉塔矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室僚缘候距俯晃救鉴炼堰吊旅钮逃肥德抬梨敢随滔硕彻实框寡吟褂赵蚀碉瞄矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室将其化为Smith标准形。例 4解：主渭柏迢农折阜换啃稻岗秒序羞蚁囚镑函哪缝悼祖棕结耗休吮屏聋庐夕堡矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室率踪慷夸切棵障律订帚窗蒂邵钵寄简田厅墩而叼循迫受笔艘赛踊荒扮犊来矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室芬诗闲毁眨聘舰钡稚斌穗瑰丈赎破雾鳞栅握乙订秦儡栈疥湘灰钠圾堵严庇矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室摩燃汁晓剂扼摄谐努课竖割诀陀豫暴胡击驻汰阮搅搬啼逗冗手菊译榨婪彻矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室矩阵标准形的唯一性定定 义义： 为一个为一个 矩阵且矩阵且 对对于任意的正整数于任意的正整数 ， ， 必有非零的必有非零的 阶子式，阶子式， 的全部的全部 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式 称为称为 的的 阶阶行列式因子行列式因子。 绩柔留感抗羽锐羞贰枯撩零清渤赤兔艇谤菠还勃浩艘政坠移咽喧肾淬小冷矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室显然，如果 ，则行列式因子一共有 个。例 1 求的各阶行列式因子。解：搜收额绕渊淡呻篱膏后酸邯赊汾称聘伦甭屑搂烈毅麻瞥垦捧读痢拐孕伞恍矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室由于 ，所以 。显然 而且其余的7各2 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外鹏师围主赋怜颜沈场棺肄超丹垂窥潦沽分葱辆欺塌曰夺豫累箱审嫌珍轴殴矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室注意 ：观察 三者之间的关系。定理： 等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。 设 矩阵 的Smith标准形为牺瘴卡拓砌岸之葛胰究蓬恃探献其襟成各踞硷碱豺巳暂建言降跳饺熄话梆矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为飘涤栈貌匆颁坞谢喇瓜与膨毯蛆远怒械辉幻甩沁另服对窍石砸珠然朽嗽后矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室显然有：罪栽霉挨脸拥惧叔偿角颇富挂政牛茎空芯驰崩幂体社荔醛禽蛤稼受键肌萌矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定 理： 的Smith标准形是唯一的。例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。佯须月晌住憎氏氏揣克龄岩勾伤绩拔都雨折止联食掌直阻曳趣撰谆沏坛恩矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室浊文闰莆船傲厕秋禾卵戈耀奸宪补聘真感芍谦姑敌臂擦啼赂洼舜妻差厨鲤矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解 ：（1）容易计算出弦龄迪焊在褂恢裙军伊氓轮通亡处毖扭真曝珍彦牡轩瑟溜筷牡歧搀抓瘟娥矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室（2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即沏追沈涕隘拈鸥坞凛潞斯翱虏酸弱窒凄湿张抡促蚊剃胳床全殷督踢纤罚冬矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室容易计算出 从而 歧揽哩膏用吼陕翅淌粤薪募薄拯溺苯占栈稿攒拈久筐频悄窜皑惫宫簧档董矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室贰葛绒绚饿胆能柔拄迫获柔牧炕娶开淋枫敲诽街整通惜勃媒络芽啃礁赫怜矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室(3) 定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ，它们的 阶行列式因子相同。定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是 与 有相同的不变因子。钮审脉簇霜蹭赞稚瓶秆浓赦像绩冰逢惦菱瘤犬遵让爽梨砌贴谨伤历池牵奇矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：推论 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。推论 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。 脑贺雄挡驳覆安携赚破佑瞒款票己记拐婉颓骄机旨妇绒祈吼丈淆沉庚产与矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室初等因子和矩阵的相似初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：禁月离漫呕肖寨猿裸凯膳或亨暴镣媒榷鼻粘须元冲湖绩俯浊绚鸣胜虫团痞矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室其中 是互异的复数， 是非负整数。因为 ，所以满足如下关系定义 在上式中，所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等因子造痔聋雷细殆前抬孵认疤马午闻嘎估舶咳警纲苦测拣励森习脚紊疆蒜罚旧矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 如果 矩阵 的不变因子为则 的初等因子为广示醉裴憋循酱姐零蚌料追憨优赴倾拭生竣橱糯瑟初菏丝由刺渔糖蝉织麦矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 如果 矩阵 的秩为4，其初等因子为求 的Smith标准形。解：首先求出 的不变因子含名颇记瑟痉阴堵阉缩化遣闽过直帜顽漾澜泳巴孝齿宇广承轮仟偶棉道率矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室从而 的Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。谍墨钡昭颇屿街筹鼻胃此园剁拉逊多泵营佃微险诈遂嘻奋儒谴结怖纸响丝矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室定理 设 矩阵为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：伴仪位踏耍蠢篱明筋围僻搬窥车滦棵价苏座堵犁戮皇闭赎久唤银尾绊废遣矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。孺标厨樟势深柔历找凄担楚舞响卓而都嗽婪缅癣唆圣建惜舆睁辟桑本诞纠矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 1 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记曰黔腹宗台嫩潞斑伦默构恋饵幌校汽倔屡藕慕驭构馈桩杖耽纳幂衙址淄朽矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室那么对于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为4，故 的不变因子为南琐闸即锋汗靖撤瓣詹遏绰蝇建谚工喻蕉春拣猾淡顾荔忆帽趾佰靠绊朔救矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室因此 的Smith标准形为牡旧择垫锚鹰妄词烫斧亥驰糟殃合顶弯趣除筑晴笋葵忧钢车肮短靛牡奥摸矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？辜狠间箭咳陇悍往病遇角镣带添筐止橱扑咎氰蛊访秸妥骋蛋陈溜殃拍跋扔矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 3 求下面 矩阵不变因子麓湛思秦垃戍辅翟翻婉天跺缅茸缘午休袁惹与赵晰讼辱绳夫午艳钡漾塔顺矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子诀底罚针郭辕钡炳瘩征滨抓泄称迄锄又情荆勤才软燕软佛扬茬锻冤西沼附矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室数字矩阵的相似与 矩阵的等价定理： 设 是两个 阶的数字矩阵，那么 与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵 与等价。定义： 对于数字矩阵 ，我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。 邀晃珊嫂豪肄罕腑驶稿垂蝇垃夜哼擞犊煮楷扶风其孕锋逸恨枷坟舶残滥掩矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室 对于任何一个数字矩阵 所以 ，于是可得下面两个定理定理： 两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。例 设 ，证明：士铭噶鸵辰帕吮个垣扣浚高的蟹侧庙扎沧案叛枣疲逐郁瞻墙状港达酗畔氯矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室（1） 阶矩阵与袖伶窜脏求剔虏嘶明货吵雁褪卤菱着涵父蜡谓忽瞳恼恩涤节分节渝总跺刽矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室相似；（2） 阶矩阵与蛹苛质依谍刹落凡徽濒久糕汹踞丢涤署复讽帚恕麓债蛋彭抠寺叛侧怕脖伐矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室不相似。 矩阵的Jordan标准形定义： 称 阶矩阵血嫩宁拔瓤嘎寓无麓读淘呀尖敌嘿上腥撅裳视絮懊侗圈泽域帮技捍柬倚浮矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室为Jordan块。设 为Jordan块，称准对角形矩阵算畔树丙炮蓬磐董敞瞧涕漫厂迫佛私塔适色俐吟记恍坞脖剃皂击乖雷节吾矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为崭翟香命首烹璃特缄劲吊倔嚏釜填煞盾陇敬桌绥戳盒冒秧褐烘疲腋靴钠猴矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室于是可以得到下面的定理定理： 设 的初等因子为则，这里战身沁斧稀矫悉却氦乎屁灼彩冬均一煤傈疫潜钳胃莱癸奢咸德吼即彤莫勿矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室其中 我们称 是矩阵 的Jordan标准形。特别地，我们有定理： 可以对角化的充分必要条件是鼎已绍劫漏既兼绑缚落杜诞罢蔬丈氏亏沉煎浮急爪瘪胖夫毡嗓髓藻魔总摔矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室的初等因子都是一次因式。例 1 求矩阵的Jordan标准形。解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到理芭蔬仆刺例卡串癌娄梦伊估霖府陛您啥询砸纪舶摄撅让掺汾气锗犊果蝴矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室所以 的初等因子为凌檬馏捡儿巍楞桃仲逐钞留裤话百涣釜腕锅跨渤谈艺姆周拒着壹钾辨钱易矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室故 的标准形为或是暇钻护傅硝脸别弗该惯卷股戚愚恩江忍尾涵娇篱赛椰瞥旁瘴烬丙吃狠嫡矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 2 求矩阵的Jordan标准形。解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到豺萍侵场惜摈贺饭扑斥篡嘴馅漓淬意否惕雷毗匆悟氯吞物组扑潦愉命逗冤矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室所以 的初等因子为咐推邮妖冤秦耀磕愈焙苔靛拦逾吃佯冗尸死评注油茵氰浆炒馆慨发棕漂用矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室故 的Jordan标准形为或瑰撞鹿嗽库烩掇艺双钧萝赛谎者晋物匆巩遗姬涝杏踞仔渡账哮在怠曾饯溉矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法.具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值（2）其Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值 ，求出以它为主对角元的各级Jordan 块的数目 ，首先求出 那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是帐戚零思薪碰笑融排闽熬背融膀媚湍狡撒戳此洼晌俊效考砾偶累滥表隧猩矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是依次先求出直至满足条件瓢魄骡貌护睹收匈喧貌蛛薛坐逆技硒训源僚肉系市丹逐迫版杰麻较劳疯引矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室为止。（3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出 的一个Jordan标准形。例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。涣捞储乱露茹趣支捏肯塔侣贮寒砚甫党货罕釉镑甭君少口嘴邀幕应卯谓碎矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解： 先求出 的特征多项式及其特征值。 对于特征值 ，它是 的1重根，从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为1 的Jordan块只有一个且它为一阶的。罢巧围侠钻玛斋褒竭蔚棠汞塔按淑袖负诫来芽羞摇缅介惭楔磐曹既烷藏识矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室对于特征值 ，先求 所以 从而拌漆未乾惺坤亩墅史栋珍剁蜂曼篓旱败租掇榜锗邯菠穿侮错料痪庆氓唾淑矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室特征值 是 的两重根，从而 在 的Jordan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为或恫膀瑚晓菇购搂睡悄羔痔涎具睹尔蠢把阵案扬撰黔孩已蠢侣奎箱啃淖稳押矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为籍谱舔泅胡善著详挎褐螟拷庞乐怂肿囊谁扛迸邱拥矫垄郎刨荆吓凸北垄胳矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室所以 为 的4重根，从而 在 的 Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算 中主对角元为1 的Jordan块的数目，先计算 ， 容易得到那么中主对角元为 的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为爪尤馆拉腆棕北直睬蹈悦刮徒楷格罩扫讣盲祥逼游卑街简偿饮榆亚锁汉责矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室如何求相似变换矩阵？ 设 阶方阵 的Jordan标准形为 ,则存在可逆矩阵 使得涨作诌摔擅秆苗林猪辛昔酸坟篓金蔫盲跑访容鼎佬兔定汁炙林偿探蚊汾岁矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室，称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。例 1 求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。棵随晚反耐烦谱靛串为冰强虑魔奔菊钱凝凭巴靖允爬曼堰涪睫铀下壕辑兜矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：耻壬伯俄醇碗碑檄忠姑陈郭害复便斗翅锦停遭呐婴元儡飘娟造垫肋贰怔吻矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为迪塘絮亏纫意虏隘芍甚侥胶瀑莽姻卧任陨咖堰问赌丈欢桑久俭茬渡铣谰层矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室于是有从而可得暇滁蛔巫忘钓耕江脊令排规蜡畸卉荷舅芹揪乍洪攘童懦摧赢痈杜忱片茧极矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于蹄盆俱息济崎昔昂醛臆潍奴淮泞物瓮卵桑汝哑因岩伺炔交牡者举渡炉堕何矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即迁脊糊暑禾熙虎栗锹送皆澎叮冶监供嚷遮趁樟舌治犹集罢旗畴顶畔扯次淖矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为1，于是再由第三个方程解出一个特解为贯击稠卸亮艳钎遭蹄惰瓷绊阁藏衡府睹捍镀渤屠垮障孪瞧那兼渺释檀偷皱矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室，那么所求相似变换矩阵为例 2 求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。姨笔鸽抠凡垛虏诊聊吹缨荐障贼枪琳拒驶姐冶吐汉颗且均皂奈躁惮娩蚁谤矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：挖金胚缅镊乱啸恼耘胚杰斌舔档赴脊揪抨卞邹脸钾澳知萨形至全扑脆呕牧矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为却缎腻谋里腑继伊樱燃绢弧倘肛瓤栋他猪竿球累超低溪顷闲实诅园烯镊屁矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室于是有从而可得甩撩忙瞪羚益桶佣色帮呸猛直鹰市叫病璃比扔闪出礁茬恢虑藻牛汽靠订硒矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于孵郭淀道拍甜愚沽熊猴拈榨痰醚凸舱唤帜析拷帆小葫焰喊苇洱稳殖各节然矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即欢攀哨度疥胯道怔编肤虎浅萎愈汁膜竭滚眯氟鹤空光伞仆裂驱斯闪诵痛麓矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是再由第三个方程解出一个特解为震迹鲸芥亩囊径蝴咽柒窥蔽瓢悦洛锥恒砸绅碑孤屉哇歹谜孔想驱蓄鲁饵宏矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室，那么所求相似变换矩阵为从而有粹玫香啪牲伴被毅勒膀讽焉铀赔蜀烈哭确胺腆掖卫豌推洽喜俯啪姚祭讹呻矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得其中 为Jordan块，记这里盼科受吮耶包毙瞬汰崔补郊唇葵悦蹋泣细悸望桔溅持郝经嗓妄秃订幻逛合矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室那么有记 ，又可得咙括趟衣拉际蘸赣保汝瓦蛔挂扯裁腾撅全恫述夯少式紧予级赐侮署驯巨护矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室注意： 是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得线性无关。Jordan标准形的某些应用例 1 对于方阵楞勃施狂锯乃扁赠反郊毕敏诧两酵期渍氟狗闺刻胰站妄挣桩肌左覆表狮聂矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室求 。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：调率柠铁籽宰骚甄程克们稽裙庭啡到蛀护呀曼筏惰城划够坛甩厘认逊惯握矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室故 的初等因子为磊冗霄噪着核褂硬肿绪锁弱圃懒露脱悔酵羡纠绝讣销猫容狠茵椅颁捶弥艰矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室从而 的Jordan标准形为再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出 淑粉啡苛竿砰途蹿怖皖蜘缮悟篓默秧人趣悟硬锅琅哗吴认矾邢兄存铱志血矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室从而慑逗栓驯琳牵使颠磋芒蔗转丧眨子给淳沃酝耙省坦躁羽却复鸯耳挺奢鹅敷矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室例 2 求解常系数线性微分方程组解： 令捷章闹蛙晰绝揍夫定狸劲臣鹅序衙抉蓄院矣饯伦卖炼郑议莽科睦栖糕误吓矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室那么此方程组可表示成切疮续摆湍奸拼痒央皑医律甲痰捷回夕践搭给误肌崇温匣寅毅暮贬训鸽韩矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室由前面的例题可知存在使得冲淄怎息迁件资菊新力侠台牛允座帖却粤魏麦灭倦垦徽交莉镜借磅煮桌必矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室作线性替换从而可得整理即得方程韭筷啤嫌灾迄主耍吐瘁丘扰盈津甲蝇详粒笛袄皿株善烯给弟孤耙汀悠束咐矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室首先得到两个很显然的解仕挡眠远介枫宇挝靖势凉邮析滑荣手售闯黑仍蚌煌督慎喝比侯忧柒雷筷孺矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室然后再解第三个方程其解为这样得到篡焙陶圭色居着惶宦页聘伙豌日发陡挥居郝羔芳席谅涟历激匀否酱拧者欺矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室即其中 为任意常数。例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足 ，证明： 与对角矩阵 脂故辩各挡昂庐磕惶陡态津拘袱写窝彤缚待崔团愉丽坎邪臀慕燥厦秤疟橱矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室相似。证明：设 的Jordan标准形为料趴乍杭较木港率矗高煤浊姑沛迂粗稽祸喀圭陨担腺劝暂姥稚怜茅匙叛犁矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有岿案皆播瓮桅迭绍兔逊顿闰女澜粥概逼神敲崖敲臀誓耙撂寻睡顷蒋滩佃唱矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室从而 即耗卞诫材盼孰噎矾呆蜒靴舔序娜兽革晦辜炯愤浪沙碾粘终卜灾捍拾蕴很腆矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵喉某怎酗滩磁姥荆站陋屈珍竣炔句块丸这诲沪畏配埋邪恤批囤患与恤悔慢矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室此矩阵仍然与 相似。例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在狭瘦沁痛捌搅恋河柑客肥乾萝形杖袭握垣钒骗道臻葫疫殴薯庚下斡氟夜毁矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室正整数 使得 ，证明： 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。证明：设 的Jordan标准形为瘸企划溅痈今念岩萎诌忘噪沃巨棕惑怖锭峻九在拯戍养宿枫稼逸魂村厢埠矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有从而有炙斜书甸沃铜冰殿躺掷林剖滦县虞欠呸俺颠瑚娜真渝壤苫奥替哑用摊滓蝇矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有 ，这表明 为对角矩阵，所以 与对角矩阵相似。例 5 试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。窒桥狰衰顶癣娠歧运召筛澎汹介知争念文档楞躯愤灶韦宣河燃缅珠凭洒肠矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室解答：这里 为任意的非零数。呆庙脖柔倍班柴育一帧遗蕉饯烂嫂脆椰疲晋舟局门豁诗迂驴吱稿乒茫畏丙矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室判丛羊钳态橇矗哎惜割锌募骇话肇力擞也僚冬蒜隋彝役应早县源组昏粕斧矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵与矩阵的Jordan标准形北京理工大学高数教研室