第二十五章第二十五章 动力学普遍方程动力学普遍方程和和 拉格朗日方程拉格朗日方程 25.1 动力学普遍方程例题125.2 第二类拉格朗日方程例题2例题3例题4例题5动力学普遍方程和拉格朗日方程课件第二十五章第二十五章 动力学普遍方程动力学普遍方程 和和拉格朗日方程拉格朗日方程根据根据达朗伯原理达朗伯原理和和虚位移原理虚位移原理，可，可以导出非自由质点的以导出非自由质点的动力学普遍方程动力学普遍方程。利用它解决问题时，可以避免约束反力利用它解决问题时，可以避免约束反力在动力学方程中的出现，比较方便在动力学方程中的出现，比较方便!第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的用直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程非自由质点系的拉格朗日方程-模拟和求解复杂系统的动力学问题模拟和求解复杂系统的动力学问题动力学普遍方程和拉格朗日方程课件第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动：将完整约束系统的动力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以推得。推得。-可以直接写出个数与系统自由可以直接写出个数与系统自由度相同的独立运动方程度相同的独立运动方程。25.1 动力学普遍方程设一个质点系由n个质点组成，在任意瞬时,加速度为第i个质点的质量为动力学普遍方程和拉格朗日方程课件根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力作用于此质点上作用于此质点上的主动力的合力的主动力的合力约束反力的合力约束反力的合力达朗伯惯性力达朗伯惯性力(25.1)则动力学普遍方程和拉格朗日方程课件点积虚位移对这n个式子求和若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知(25.2)(25.3)动力学普遍方程和拉格朗日方程课件在具有理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用在其上的主动力系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零。动力学普遍方程或者达朗伯拉格朗日原理说明(25.4)上式变为：动力学普遍方程和拉格朗日方程课件例例25.1如图所示，有两个半径皆为如图所示，有两个半径皆为r的轮子的轮子A，B，轮心通过光滑圆柱铰链，轮心通过光滑圆柱铰链与直杆与直杆AB相连，在倾角为相连，在倾角为的固定不的固定不动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P，重心都在轮上，对轮心的转动惯量为，重心都在轮上，对轮心的转动惯量为J，连杆重，连杆重Q。求连杆运动的加速度。求连杆运动的加速度。解解:(1)以两轮和连杆组成以两轮和连杆组成的系统为研究对象的系统为研究对象系统所受约束为理想约束系统所受约束为理想约束aABPPQ动力学普遍方程和拉格朗日方程课件若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,则轮心的虚位移也为则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角轮子相应的虚转角(3)轮子作纯滚动轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化其达朗伯惯性系可以简化为为通过轮心的达朗伯惯性力通过轮心的达朗伯惯性力达朗伯惯性力偶矩达朗伯惯性力偶矩其中其中连杆作平动连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其其达朗伯惯性力系可简化为过其质心的一个达朗伯惯性力质心的一个达朗伯惯性力(2)系统所受的主动力为重力系统所受的主动力为重力P,P和和Q动力学普遍方程和拉格朗日方程课件（5）根据动力学普遍方程根据动力学普遍方程得得：方向平行于斜面向下方向平行于斜面向下.25.2 第二类拉格朗日方程直接用质点系的广义坐标的变分来表示各质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推得与系统自由度相同的一组独立的运动微分方程动力学普遍方程和拉格朗日方程课件设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自由度为k,广义坐标为各点的虚位移可表示为代入各质点相对于定点O的矢径可表示为(25.5)（25.6)动力学普遍方程和拉格朗日方程课件得（25.7）交换上式 求和顺序得广义主动力：广义达朗伯惯性力：先引入两个经典的拉格朗日关系式：（1）第一个经典拉格朗日方程由 对时间求导再对 求偏导数动力学普遍方程和拉格朗日方程课件得到（2）第二个经典拉格朗日方程在上式对s个广义坐标 求偏导数得即动力学普遍方程和拉格朗日方程课件也可以写为或对于不变质点系由得引入系统动能对 求偏导数动力学普遍方程和拉格朗日方程课件将以上公式代入得由以上将改写为因为的相互独立性得第二类拉格朗日方程若质点系所受的全部的主动力为有势力动力学普遍方程和拉格朗日方程课件系统的势能只是系统广义坐标的函数 可得引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为动力学普遍方程和拉格朗日方程课件应用动力学普遍方程解题时的注意事项：（1）系统中各质点的加速度与各刚体的角速度都必须是绝对加速度于绝对角速度。（2）计算主动力与惯性力的虚功时所涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。拉格朗日方程得解题步骤（1）以整个系统为研究对象，分析系统的约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选取同样数目的广义坐标动力学普遍方程和拉格朗日方程课件（2）写出广义坐标，广义速度表示的系统的动能（3）计算广义力。比较方便而且常用得式由公式计算。当主动力均为有势力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，并写出拉氏函数。（4）计算各相应的导数（5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系的运动微分方程。动力学普遍方程和拉格朗日方程课件例例252一质量为一质量为m的小球与弹簧的一端相连，的小球与弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹性系数为性系数为k，在平衡位置式的长度为，在平衡位置式的长度为L。是求小。是求小球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。okmr(1)取小球和取小球和弹簧组成的系统为弹簧组成的系统为研究对象，系统由研究对象，系统由两个自由度，选取两个自由度，选取小球的极坐标小球的极坐标为为广义坐标广义坐标动力学普遍方程和拉格朗日方程课件(2)系统的动能为系统的动能为（3）设衡位置时系统的势能为零，）设衡位置时系统的势能为零，则系统的势则系统的势能为能为其中其中（4）系统的拉格朗日函数）系统的拉格朗日函数（5）分别计算导数）分别计算导数动力学普遍方程和拉格朗日方程课件（6）由保守系统的第二类拉格朗日方程）由保守系统的第二类拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程课件得得动力学普遍方程和拉格朗日方程课件例例25.3图是一质量为图是一质量为M的均质圆盘，半径为的均质圆盘，半径为R,其中心其中心A与弹性系数为与弹性系数为k，弹簧原长为，弹簧原长为，且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧的另一端固定。质量为的另一端固定。质量为m，长为，长为的均质杆的均质杆AB通过以光滑铰链通过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆与圆盘中心相连。若圆盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的拉式方程。拉式方程。BPC动力学普遍方程和拉格朗日方程课件(2)圆盘和杆的动能分别为圆盘和杆的动能分别为解解（1）系统的自由度为系统的自由度为2，以图中的，以图中的 x，为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。设杆的质心为设杆的质心为C，圆盘的速度瞬心为，圆盘的速度瞬心为P动力学普遍方程和拉格朗日方程课件故系统的动能为故系统的动能为（3）设过）设过A的水平面为重力势能的零势能面，的水平面为重力势能的零势能面，弹簧原长为弹性势能的零势能点弹簧原长为弹性势能的零势能点则系统的势能为则系统的势能为（4）系统的拉格朗日函数为）系统的拉格朗日函数为L=T-V(5)计算导数计算导数动力学普遍方程和拉格朗日方程课件（6）由拉氏方程由拉氏方程动力学普遍方程和拉格朗日方程课件可得到可得到动力学普遍方程和拉格朗日方程课件例例25.4质量为质量为M的均质圆柱再三角块斜边上作的均质圆柱再三角块斜边上作纯滚动，如图所示。三角块的质量也为纯滚动，如图所示。三角块的质量也为M，置于光滑水平面上，其上有刚度系数为置于光滑水平面上，其上有刚度系数为k的弹簧的弹簧平行于斜面系在圆柱体轴心平行于斜面系在圆柱体轴心O上。设角上。设角试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。解：解：取整个系统为研究对象取整个系统为研究对象三角块作平动，三角块作平动，圆柱作平面运动，圆柱作平面运动，系统具有两个自由度。系统具有两个自由度。ok动力学普遍方程和拉格朗日方程课件选三角块的水平位移选三角块的水平位移和圆柱中心和圆柱中心O沿三角块沿三角块斜面的位移斜面的位移为广义坐标，其中为广义坐标，其中由静止由静止时三角块任一点位置计起，时三角块任一点位置计起，由弹簧原长处计起由弹簧原长处计起如图如图。因为作用在系统上的主动力。因为作用在系统上的主动力mg和弹性力和弹性力均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解mgmgok动力学普遍方程和拉格朗日方程课件取圆柱中心取圆柱中心O为动点，动系与三角块固连，为动点，动系与三角块固连，定系与水平面固连，则定系与水平面固连，则O点的绝对速度点的绝对速度其中其中所以，系统的动能所以，系统的动能动力学普遍方程和拉格朗日方程课件将以上表达式代入将以上表达式代入整理得到系统的整理得到系统的微分方程微分方程动力学普遍方程和拉格朗日方程课件例例25.5如图所示系统中，均质圆柱如图所示系统中，均质圆柱B的质量的质量，半径，半径R=10cm,通过绳和弹簧与通过绳和弹簧与质量质量的物块的物块M相连，弹簧的刚度系数相连，弹簧的刚度系数,斜面的倾角斜面的倾角。假设圆柱。假设圆柱B滚滚动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，不计定滑轮不计定滑轮A，绳子和弹簧的质量，以及轴承，绳子和弹簧的质量，以及轴承A处摩擦，试求系统的运动微分方程处摩擦，试求系统的运动微分方程解：取整个系统为研究解：取整个系统为研究对象。圆柱对象。圆柱B作平面运动作平面运动物块物块M作作平动，定滑轮作作平动，定滑轮A作定轴转动作定轴转动MAB动力学普遍方程和拉格朗日方程课件系统有两个自由度，选圆柱系统有两个自由度，选圆柱B的质心沿斜面向的质心沿斜面向上坐标上坐标及物块及物块M铅垂向下的的坐标铅垂向下的的坐标为广为广义坐标，其原点均在静平衡位置。如图义坐标，其原点均在静平衡位置。如图AMB因为作用在系统因为作用在系统上的主动力重力上的主动力重力和弹和弹性力均为有势力性力均为有势力所以可用拉格朗日方程式求解所以可用拉格朗日方程式求解动力学普遍方程和拉格朗日方程课件若选弹簧原长处为势能零点，则系统的若选弹簧原长处为势能零点，则系统的势能势能故系统的拉氏函数故系统的拉氏函数求各偏导数：求各偏导数：动力学普遍方程和拉格朗日方程课件系统的动能系统的动能选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形的势能与重力势能相互抵消，的势能与重力势能相互抵消，于是系统的势能于是系统的势能故系统的拉氏函数故系统的拉氏函数动力学普遍方程和拉格朗日方程课件求各偏导数求各偏导数将以上的表达式代入将以上的表达式代入动力学普遍方程和拉格朗日方程课件整理得到系统的微分方程整理得到系统的微分方程代入已知值代入已知值动力学普遍方程和拉格朗日方程课件