矩阵的运算矩阵的运算n行数相同、列数也相同的矩阵行数相同、列数也相同的矩阵可以作加法可以作加法 矩阵加法满足交换律矩阵加法满足交换律: 结合律结合律: 存在零矩阵、负矩阵存在零矩阵、负矩阵: 矩阵的运算矩阵的运算数可以和矩阵作数乘数可以和矩阵作数乘注注: 向量空间大多数定理的推导不需要用到向量空间大多数定理的推导不需要用到向量加法、数乘运算的具体形式向量加法、数乘运算的具体形式, 而只用而只用到向量运算的八条性质到向量运算的八条性质. 如果某一集合上有两种运算如果某一集合上有两种运算, 那么不管这那么不管这两种运算的具体形式如何两种运算的具体形式如何, 只要它们也满足只要它们也满足以上八条性质以上八条性质, 向量空间的结果就可以搬到向量空间的结果就可以搬到这个集合上去这个集合上去.例例: 给定一个集合给定一个集合 V 取定一个数域取定一个数域 K R, C , Q 在在V上定义两种运算上定义两种运算: : 加法和数乘加法和数乘 运算满足八条公理运算满足八条公理: 线性空间线性空间 给定数域给定数域 K 与非空集合与非空集合 V . 如果如果 V 上有上有两种运算两种运算 ( 也称为向量加法和数乘也称为向量加法和数乘 ) 满足上述满足上述八条性质八条性质, 则称则称 V 是数域是数域 K 上的线性空间上的线性空间.例例: 向量空间向量空间 Kn , Mm,n(K) 都是线性空间都是线性空间 1) k K , 有有 k 0 = 0 .证证: k 0 = 0 + k 0 性质性质 (3) = ( ( k 0 ) + k 0 ) + k 0 性质性质 (4) = k 0 + ( k 0 + k 0 ) 性质性质 (2) = k 0 + k ( 0 + 0 ) 性质性质 (7) = k 0 + k 0 性质性质 (3) = 0 性质性质 (4)例例: 仅由八条性质就可推出仅由八条性质就可推出2) k = 0 k = 0 或或 = 0 .证证: 若若 k 0 , 则则 = 1 法则法则 (5) = ( k -1 k ) = k -1 ( k ) 法则法则 (8) = k -1 0 已知条件已知条件 = 0 推论推论 (1)简单推论简单推论: 给定一组向量给定一组向量 1 , 2 , , s Kn 及系数及系数 k1 , k2 , , ks K , 表达式表达式 k1 1 k2 2 ks s 称为称为 1 , 2 , , s 的一个线性组合的一个线性组合, k1 , k2 , , ks 称为组合系数称为组合系数. 由向量组由向量组 1 , 2 , , s 的全体线性组合的全体线性组合构成的构成的集合记为集合记为 矩阵的运算矩阵的运算n矩阵的加法、数乘矩阵的加法、数乘n矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 矩阵乘法的条件矩阵乘法的条件kk mk kn mnm mnn 左一行，右一列，对应相乘再求和左一行，右一列，对应相乘再求和 熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘熟练以后可以一列一列乘 也可以一行一行乘也可以一行一行乘 也可以一行一行乘也可以一行一行乘 也可以一行一行乘也可以一行一行乘 也可以一行一行乘也可以一行一行乘 矩阵乘法矩阵乘法不满足不满足交换律交换律 A B = B A = A B B An如果如果 A B = B A，则称矩阵，则称矩阵 A、B 可交换可交换. 此时，此时， A 行数行数 = B 行数行数 = A 列数列数 = B 列数，列数， A、B 必为同级方阵必为同级方阵n只有当只有当 A 为方阵时为方阵时, A A 有意义，有意义， A 与与 A 可交换可交换 . I A = A ； A I = An数量矩阵数量矩阵 k In 与任意与任意 n 级方阵可交换级方阵可交换:n当当 A 为方阵时，记为方阵时，记n对整数对整数 k，l 0，n若若 A，B 可交换，有可交换，有n若若 A，B 不可交换，则没有上述等式不可交换，则没有上述等式, 只有只有例例: 求所有与求所有与 A 可交换的矩阵可交换的矩阵. 显然显然, 及其线性组合与及其线性组合与 A 可交换可交换, 除此之外还有其它的矩阵吗除此之外还有其它的矩阵吗?解：设解：设 与与 A 可交换可交换,结论：结论： 矩阵矩阵 B 与与 A 可交换可交换, 当且仅当当且仅当 n数的乘法满足消去律：数的乘法满足消去律： 若若 k 0， 则则 k a k b a b n矩阵乘法不满足消去律：矩阵乘法不满足消去律： C 0，CA = CB A = B 矩阵乘法性质：矩阵乘法性质：n（A B）C = A（B C）（结合律）（结合律）如果没有结合律如果没有结合律, ABCD 有几种结果有几种结果?n A B C Dn A B C Dn A B C Dn A B C Dn A B C D 矩阵乘法性质：矩阵乘法性质：n（A B）C = A（B C）（结合律）（结合律）n A（B + C）= A B + A C n（A + B）C = A C + B C （分配律）（分配律）n k（A B）（）（k A）B A（k B）；）； （与数乘的关系）（与数乘的关系）作业作业4.1 4 (4 -14), 7(4, 5, 8), 8, 94.2 1, 4, 6补充题补充题: 将将 A 写成写成 P J 形式形式, 其中其中 P 是一些是一些初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积, J 是是 A 的简化阶梯形矩阵的简化阶梯形矩阵.实验课题实验课题: 利用利用 Matlab 软件将以下软件将以下图片中的试卷变成标准形式图片中的试卷变成标准形式Matlab实验实验: 矩阵运算矩阵运算, 观察图像的变化观察图像的变化F35.jpg 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式% 将照片将照片 F35.jpg ( jpeg, bmp格式格式.) 拖入拖入 Matlab 的的% Workspace 区域区域, 直接点击直接点击 Workspace 区域的区域的 % F35.jpg 文件名文件名, 按弹出窗口提示输入按弹出窗口提示输入% 或在或在 Command Window 输入输入 F35 = imread( F35.jpg );% 将将unit8 格式改成格式改成 double 才好做算术运算才好做算术运算 X = im2double( F35 ); % 注意命令结尾加分号注意命令结尾加分号 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式 whos Name Size Bytes Class F35 444x640x3 852480 uint8 array X 444x640x3 6819840 double array% 选红色灰度矩阵做运算选红色灰度矩阵做运算 X1=X( : , : , 1 ); imshow(X1)第四章第四章 矩阵运算矩阵运算 1 矩阵运算矩阵运算 2 特殊矩阵特殊矩阵 3 矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩 4 可逆矩阵可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法 6 正交矩阵正交矩阵 对角矩阵对角矩阵主对角线以外全是零的方阵称为对角矩阵主对角线以外全是零的方阵称为对角矩阵 = diag d1 ，d2 ， ，dn 对角阵相加、相乘对角阵相加、相乘, 还是对角阵还是对角阵 对角阵对角阵左乘左乘一个矩阵一个矩阵 = 用对角元乘矩阵相应的用对角元乘矩阵相应的行行 对角阵对角阵右乘右乘一个矩阵一个矩阵 = 用对角元乘矩阵相应的用对角元乘矩阵相应的列列例例: 那些矩阵与那些矩阵与 可交换可交换? 上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵主对角线以下全为零的方阵称为上三角矩阵主对角线以下全为零的方阵称为上三角矩阵 上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵n上三角阵相加上三角阵相加、数乘、数乘，仍是上三角阵，仍是上三角阵n两个上三角矩阵相乘，还是上三角阵两个上三角矩阵相乘，还是上三角阵 基本矩阵基本矩阵n ( i , j ) 元为元为 1，其余元素都为零的矩阵，其余元素都为零的矩阵 称为基本矩阵称为基本矩阵, 记作记作 Ei j ；n Mm n(K) 中的矩阵都可唯一地写成中的矩阵都可唯一地写成 Ei j ( 1 i m, 1 j n) 的线性组合的线性组合 矩阵的转置（矩阵的转置（transpose） 转置运算的性质转置运算的性质 对称矩阵对称矩阵 若矩阵若矩阵 A = ai j 满足满足 AT = A , 即即 ai j = aj i , i , j , 则称则称 A 为对称矩阵为对称矩阵 实对称矩阵实对称矩阵 元素都为实数的对称矩阵称为实对称矩阵元素都为实数的对称矩阵称为实对称矩阵 ;实对称矩阵有非常好的性质实对称矩阵有非常好的性质, 在实际问题里在实际问题里有广泛的应用有广泛的应用. A 实矩阵实矩阵 ATA , AAT 实对称矩阵实对称矩阵 反对称矩阵反对称矩阵若若 A = ai j 满足满足 AT = A , 即即 ai j = aj i , i , j , 则称则称 A 为反对称矩阵为反对称矩阵 设设 n 是大于是大于 1 的奇数的奇数, A 为为 n 阶对称矩阵阶对称矩阵, 其每行每列均由整数其每行每列均由整数 1, 2, 3, , n 的某个的某个排列构成排列构成. 证明证明: 整数整数 1, 2, 3, , n 都出现在都出现在 A 的的主对角线上主对角线上. 初等矩阵初等矩阵 对单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵对单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵叫初等矩阵叫初等矩阵 . 1）对换第）对换第 i 与第与第 j 行行 P( i, j ) P(1, 3)用用 P( i, j ) 左乘矩阵左乘矩阵 = 交换矩阵的交换矩阵的 i, j 行行P(1, 3)P(1, 3)用用 P( i, j ) 左乘矩阵左乘矩阵 = 交换矩阵的交换矩阵的 i, j 行行用用P( i, j )右乘矩阵右乘矩阵 = 交换矩阵的交换矩阵的 i, j 列列 初等矩阵初等矩阵对单位矩阵作一次初等行变换得到初等矩阵对单位矩阵作一次初等行变换得到初等矩阵. 1）交换第）交换第 i 与第与第 j 行行 P( i, j ) 2）第）第 i 行加上第行加上第 j 行的行的 k 倍倍 P( i, j(k) ) kP( 3, 1 (k) )用用 P( i, j(k) ) 左乘矩阵左乘矩阵 用用 P( i, j(k) ) 左乘矩阵左乘矩阵用用 P( i, j(k) ) 左乘矩阵左乘矩阵用用 P( i, j(k) ) 左乘左乘 = 第第 i 行加上第行加上第 j 行行 k 倍倍 kP( 3, 1 (k) ) 初等矩阵初等矩阵对单位矩阵作一次初等行变换得到初等矩阵对单位矩阵作一次初等行变换得到初等矩阵. 1）交换第）交换第 i 与第与第 j 行行 P( i, j ) ； 2）第）第 i 行加上行加上 k 倍第倍第 j 行行 P( i, j(k) ) ； 3）第）第 i 行乘非零的数行乘非零的数 c P( i (c) ) ；c = P(2(c) 初等行变换初等行变换 初等矩阵初等矩阵n初等行变换作用在单位矩阵上初等行变换作用在单位矩阵上 , 得到得到 相应的初等矩阵相应的初等矩阵 n用初等矩阵左乘一个矩阵用初等矩阵左乘一个矩阵 , 相当于对相当于对 矩阵作相应的初等行变换矩阵作相应的初等行变换 有用的公式有用的公式n P( i, j ) P( i, j ) = I ;n P( i, j (k) ) P( i, j (- k) ) = I ;n P( i (c) ) P( i (1/c) ) = I .-k k例例: 将将 A 写成写成 P J 形式形式 , 其中其中 P 是一组初等是一组初等 矩阵的乘积矩阵的乘积, J 是是 A 的简化阶梯型矩阵的简化阶梯型矩阵. -22 矩阵都能分解成矩阵都能分解成 P J 形式形式P = 初等矩阵乘积初等矩阵乘积 , J = 简化阶梯阵简化阶梯阵 矩阵都能写成矩阵都能写成 P J 形式形式P = 初等矩阵乘积初等矩阵乘积 , J = 简化阶梯阵简化阶梯阵 矩阵都能写成矩阵都能写成 P J 形式形式P = 初等矩阵乘积初等矩阵乘积 , J = 简化阶梯阵简化阶梯阵= P J 矩阵都能写成矩阵都能写成 P J 形式形式P = 初等矩阵乘积初等矩阵乘积 , J = 简化阶梯阵简化阶梯阵推论推论: : 满秩方阵都是初等矩阵的乘积满秩方阵都是初等矩阵的乘积 . .证证: 若若 A 是满秩方阵是满秩方阵, 可作有限次初等可作有限次初等 行变换行变换, 将将 A 化为化为(满秩满秩)简化阶梯型简化阶梯型, 即单位矩阵即单位矩阵. 反之反之 , 对单位矩阵作有限次初等行变换对单位矩阵作有限次初等行变换, 即左乘有限个初等矩阵即左乘有限个初等矩阵, 即可得到即可得到 A .初等行初等行( (列列) )变换变换 初等矩阵初等矩阵初等行初等行( (列列) )变换作用在单位矩阵上，变换作用在单位矩阵上， 得到初等矩阵得到初等矩阵；用初等矩阵左用初等矩阵左( (右右) )乘一个矩阵，相当乘一个矩阵，相当 于对矩阵作相应的初等行于对矩阵作相应的初等行( (列列) )变换变换 .右乘右乘 P( i, j(k) ) : 第第 j 列加上第列加上第 i 列的列的k 倍倍kPermutation Matrix 若方阵每一行恰有一个元素是若方阵每一行恰有一个元素是 1 , 其余元素其余元素 为为 0 ; 每一列也恰有一个每一列也恰有一个 1 , 其余元素为其余元素为 0 , 则称方阵是置换矩阵则称方阵是置换矩阵 . 任何任何 n 元排列经有限次对换元排列经有限次对换都能变为标准排列都能变为标准排列 6 3 7 5 8 1 2 4 1 3 7 5 8 6 2 4 1 2 7 5 8 6 3 4 1 2 3 5 8 6 7 4 1 2 3 4 8 6 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8上下颠倒上下颠倒 C = zeros(444,444); for i = 1 : 444 C(i, 445 - i) = 1; end; imshow(C *X1)左右互换左右互换 C = zeros(640,640); for k = 1 : 640 C(k, 641- k) = 1; end; imshow( X1 * C )左右互换左右互换向左移向左移 160个象素个象素, 溢出溢出的部分移到右边的部分移到右边 I = zeros(160,160); for i = 1 :160 I(i, i) =1; end; O=zeros(160,160); L= O,O,O, I; I, O,O,O; O,I, O,O; O,O,I, O ; imshow(X1*L)向左再移动向左再移动160个象素个象素 imshow(X1*L*L)右乘了什么矩阵右乘了什么矩阵? C = zeros(160,160); for i = 1 to 160 C( i, 161- i )=1; end; B=O,O,O,O; O,O,O,O; O,C, I, O; C,O,O, I ; imshow( X1 * B )图像图像?O = zeros(111,111); I = O; for j=1:111 I(j, j)=1; end; C=O; for j=1:111 C(j, 112-j )=1; end; A=O, I, O,O; O,O, I, O; O,O,C,O; O,C,O,O; imshow(A*X1) 几何平面 R2 的旋转 , 单位长度为单位长度为 r 逆时针旋转逆时针旋转 = / 3 Y = zeros(840,1200); for i = 1 : 444 for j = 1 : 640 k = round( cos( ) * (j - 100) - sin( ) * (244 - i); l = round( sin( ) * (j - 100) + cos( ) * (244 - i); Y( 600 - l , k + 600 ) = X1( i , j ); end; end; imshow(Y)为什么会出现这么多斑点?映射没有映满映射没有映满逆时针旋转逆时针旋转 Y = zeros(840,1200); for i = 1 : 840 for j = 1 : 1200 l = 100 + round( cos(t)*(j - 600) + sin(t)*(600 - i) ); k = 244 - round(- sin(t)*(j - 600) + cos(t)*(600 - i ); if k 0 & k 0 & l imshow(Y) = / 3 = 2 / 3第四章第四章 矩阵运算矩阵运算 1 矩阵运算矩阵运算 2 特殊矩阵特殊矩阵 3 矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩 4 可逆矩阵可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法 6 正交矩阵正交矩阵秩秩极大无关组极大无关组向量个数向量个数线性表出线性表出 矩阵的秩，矩阵的秩，极大无关组计算极大无关组计算非零子式非零子式最高阶数最高阶数方阵可逆性方阵可逆性矩阵三个子矩阵三个子空间的维数空间的维数线性相关性线性相关性矩阵运算下矩阵运算下秩的变化秩的变化 定理定理： 这里这里 n = A 列数列数 = B 行数行数 . . 引理引理：若：若 AB = 0， 则则 A 秩秩 B 秩秩 n 这里这里 n = A 列数列数 = B 行数行数 . . 1 , 2 , , s 是是 A X = 0 的解的解 1 , 2 , , s 的秩的秩 n A秩秩 A 秩秩 + B 秩秩 n 引理引理：若：若 AB = 0， 则则 A 秩秩 B 秩秩 n ， 这里这里 n = A 列数列数 = B 行数行数 . .n 记记 B = 1 , 2 , , s , 则有则有 AB = A 1 , A 2 , , A s .不妨设不妨设 AB 秩秩 = r , 且且 A 1 , A 2 , , A r是是 AB 列向量组的一个极大无关组列向量组的一个极大无关组.AB = A 1 , , A r , A r +1 , , A s AB = A 1 , , A r , A r +1 , , A s 于是于是 定理：定理： 这里这里 n = A 的列数的列数 = B 的行数。的行数。如果如果 A 秩秩 = n ？ 这里这里 n = A 的列数的列数 = B 的行数。的行数。如果如果 B 秩秩 = n ？推论推论: :n左乘列满秩的矩阵左乘列满秩的矩阵, , 矩阵的秩不变；矩阵的秩不变；n右乘行满秩的矩阵右乘行满秩的矩阵, , 矩阵的秩不变；矩阵的秩不变；n左乘、右乘满秩矩阵左乘、右乘满秩矩阵, , 矩阵的秩不变矩阵的秩不变. .例例：已知已知 ，则则 . 若有矩阵若有矩阵 B 0 使使 得得 A B = 0，则则 B 的秩的秩 = 1 。写出一个满足以上条件的矩阵写出一个满足以上条件的矩阵 B =定理定理 ：设：设 A 是是 mn 实矩阵实矩阵, 则有则有 AT TA 秩秩 = A 秩秩 = A AT T 秩秩 . 证：若有证：若有 Rn , 使得使得 AT TA = 0 , 则则 T T AT TA = ( A )T T A = 0 定理定理 ：设：设 A 是是 mn 实矩阵实矩阵, 则有则有 AT TA 秩秩 = A 秩秩 = A AT T 秩秩 . 证：若有证：若有 Rn , 使得使得 AT TA = 0 , 则则 T T AT TA = ( A )T T A = 0 A = 0 即即 AT TA 解空间解空间 A 的解空间的解空间 n AT TA 秩秩 = n A 秩秩 AT TA 秩秩 = A 秩秩 =定理定理 : 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 则有则有P(1, 3) 对于初等矩阵对于初等矩阵 P, 有有 | P B | = | P | B |P(3, 1(k) 对于初等矩阵对于初等矩阵 P, 有有 | P B | = | P | B |P( 3(c) ) 对于初等矩阵对于初等矩阵 P, 有有 | P B | = | P | B |n对于初等矩阵对于初等矩阵 P, 有有 | P B | = | P | B |n对对 s 个初等矩阵的乘积个初等矩阵的乘积 , 也有也有 | P1 P2 Ps B | = | P1 | | P2 Ps B | = | P1 | | P2 | | P3 Ps B | = = | P1 | | P2 | | Ps | | B | = = | P1 P2 Ps | | B |n 由于每个满秩矩阵都是初等矩阵的乘积由于每个满秩矩阵都是初等矩阵的乘积 , 故对满秩矩阵故对满秩矩阵 A , 有有 | A B | = | A | | B | n 最后最后, 对于不满秩的对于不满秩的 n 阶方阵阶方阵 A , 有有 A B 秩秩 A 秩秩 n, 则则 | AB | = 0 ;2) 若若 m n, 则则 | AB | = A 的所有的所有 m 阶子式与阶子式与 B 的相应的相应 m 阶子式的乘积之和阶子式的乘积之和 作业作业4.3 2，5, 7, 9 ; 4.4 4, 6, 9(2)(4), 10 (1)(3)第四章第四章 矩阵运算矩阵运算 1 矩阵运算矩阵运算 2 特殊矩阵特殊矩阵 3 矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩 4 可逆矩阵可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法 6 正交矩阵正交矩阵 可逆矩阵定义可逆矩阵定义 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵. 若存在矩阵若存在矩阵 B , 使得使得 A B = In = B A 则称则称 A 可逆可逆, 称称 B 是是 A 的逆矩阵的逆矩阵, 记为记为 A-1. 逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性 ：若有矩阵若有矩阵 B , C 满足满足 A B = B A = I A C = C A = I B = B A C = B A C = C本节主要定理本节主要定理 A 可逆可逆 | A | 0 ( A 满秩满秩 ) A 可逆可逆 | A | 0证证 : 若若 A 可逆可逆, 则存在则存在 B , 使得使得 A B = I | A | | B | = | A B | = 1 | A | 0 | A | 0 A 可逆可逆 证证 : 若若 | A | 0 ( A 满秩满秩 ), 则则 A 的的 n 个列向量个列向量 1 , 2 , , n 能表出能表出 Kn 的标准基的标准基 . 于是存在方阵于是存在方阵 B , 使得使得 ( 1 , 2 , , n ) B = ( 1 , 2 , , n ) 即即 A B = I . | A | 0 A 可逆可逆 证证(续续) : 由由 A B = I 得得 A B A = A ( 1 , 2 , , n ) B A = ( 1 , 2 , , n ) 注意到注意到 A 的列向量的列向量 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, 故故 B A = I . 于是于是 A 可逆可逆, A-1 = B .重要推论重要推论: 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 且且 A B = I . 则则 B A = I . A B = I B A = I 证证 : 由由 A B = I 知知 A 秩秩 = n , A 的列向量的列向量 1 , 2 , , n 线性无关线性无关. 又又 A B A = A , 即即 ( 1 , 2 , , n ) B A = ( 1 , 2 , , n ) 由线性表出的唯一性可推出由线性表出的唯一性可推出 B A = I .以上证明用到第三章的主要定理以上证明用到第三章的主要定理 : 在向量空间在向量空间 Kn 中中, 一组向量只要满足一组向量只要满足 以下任意两个条件以下任意两个条件, 就构成就构成 Kn 的基底的基底. 1) 线性无关线性无关 ; 2) 能线性表出能线性表出 Kn ; 3) 向量个数向量个数 = n . 推论推论: 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵. 若存在矩阵若存在矩阵 B , 使得使得 A B = In 或或 B A = In 则则 A 可逆且可逆且 A-1 = B .若若 A 满秩满秩 ( | A | 0 ), 如何构造如何构造 A-1 过渡矩阵法过渡矩阵法伴随矩阵法伴随矩阵法分解为初等矩阵的乘积分解为初等矩阵的乘积 (计算计算)能否用矩阵乘法表达能否用矩阵乘法表达 ?怎样用矩阵乘法表达怎样用矩阵乘法表达 ? 伴随矩阵伴随矩阵n将方阵将方阵 A 的元素换成代数余子式的元素换成代数余子式, 再作转置再作转置, 得到的矩阵称为得到的矩阵称为 A 的的 伴随矩阵伴随矩阵, 记作记作 A*n伴随性质伴随性质 : 逆矩阵的公式逆矩阵的公式定理定理: 当当 | A | 0 时时, A 可逆且可逆且 可逆可逆 | A | 0 此时此时若若 A 满秩满秩 ( | A | 0 ), 如何求如何求 A-1 过渡矩阵法过渡矩阵法伴随矩阵法伴随矩阵法分解为初等矩阵的乘积分解为初等矩阵的乘积 (计算计算) 可逆矩阵的乘积可逆矩阵的乘积n 若若 n 阶方阵阶方阵 A , B 可逆可逆, 则则 A B 也也 可逆可逆, 且且 ( A B ) 1 = B 1 A 1 可逆矩阵的乘积可逆矩阵的乘积n 若若 n 阶方阵阶方阵 A , B 可逆可逆, 则则 A B 也也 可逆可逆, 且且 ( A B ) 1 = B 1 A 1n 若若 n 阶方阵阶方阵 A1 , A2 , , As 可逆可逆, 则则 A1 A2 As 也可逆也可逆, 且且 ( A1 A2 As ) 1 = As1 As-11 A11 例：已知例：已知 A , B , A + B 可逆可逆, 求求 ( A1 + B 1) 1 .解：解： A ( A1 + B 1) B = A + B A1 + B 1 = A1 ( A + B ) B 1 A1 + B 1 可逆，可逆， 且且 ( A1 + B 1) 1 = B ( A + B )1 A初等矩阵皆可逆初等矩阵皆可逆 P( i , j ) P( i , j ) = I P( i , j ( k ) ) P( i , j ( k ) ) = I P( i ( c ) ) P( i ( 1 / c ) ) = I | A | 0 A 可逆可逆 证证: 若若 A 满秩满秩, 将将 A 可以写成可以写成 A = P1 P2 Ps J 其中其中 Pi 是初等矩阵是初等矩阵, J 是简化阶梯形方阵是简化阶梯形方阵. 则有则有 J = I , 即即 A = P1 P2 Ps , 于是于是 A 可逆可逆, 且且 A1 = Ps1 Ps-11 P11 定理定理 : 方阵方阵 A 可逆当且仅当可逆当且仅当 A 是一些初等矩阵的乘积是一些初等矩阵的乘积 作业：作业：4.5 3, 5, 6, 9, 14, 15定理定理: 对于对于 n 阶方阵阶方阵 A , 以下条件等价：以下条件等价： 1) A 可逆可逆 2) 存在矩阵存在矩阵 B , 使得使得 AB = I 或或 BA = I 3) | A | 0 4) A 满秩满秩 ( 行行、列向量组均线性无关列向量组均线性无关)5) A 是是 n 维向量空间基底之间的过渡矩阵维向量空间基底之间的过渡矩阵6) A 是一些初等矩阵的乘积是一些初等矩阵的乘积 已知已知 A 满秩满秩 , 如何求如何求 A-1 ?n过渡矩阵法过渡矩阵法 A B = I ( 1 , 2 , , n ) B = ( 1 , 2 , , n )n伴随矩阵法伴随矩阵法n初等矩阵的分解初等矩阵的分解 若有若有 P1 P2 Ps A = I , 则则 P1 P2 Ps = A1 于是于是 P1 P2 Ps A | I = P1 P2 Ps A | P1 P2 Ps I = I | A-1 例例:求求 A 的逆的逆 2 求矩阵的逆求矩阵的逆, 解矩阵方程解矩阵方程求求解解 AX = B :n先求先求 A-1 , 再计算再计算 X = A-1 B ;n若有若有 P1 P2 Ps A = I , 则则 P1 P2 Ps = A-1 于是于是 P1 P2 Ps A | B = P1 P2 Ps A | P1 P2 Ps B = I | A-1 B 例例: 解方程解方程 A X = B , 其中其中 若行变换将若行变换将 A 变为变为 I , 则则 B 变为变为 A-1 B 若行变换将若行变换将 A 变为变为 I , 则则 B 变为变为 A-1 B 若行变换将若行变换将 A 变为变为 I , 则则 B 变为变为 A-1B 若若 A 是是 m n 矩阵矩阵. 当当 A 满足什么满足什么 条件时条件时, 存在矩阵存在矩阵 B , 使得使得 B A = In ( 此时称此时称 B 是是 A 的左逆的左逆 ) . A 的左逆如果存在的左逆如果存在 , 是否唯一是否唯一 ? 伴随矩阵伴随矩阵 伴随矩阵的行列式伴随矩阵的行列式若若 A 是是 n 1 阶方阵阶方阵, 则则 | A* | = | A | n-1 .证证: 由由 得得 若若 | A | 0 , 则有则有 | A* | = | A | n-1 ; 若若 | A | 0 , 则则 | A* | = | A | n-1 ; 若若 | A | = 0 , 则有则有 A A* = | A | In = 0 于是于是 A 秩秩 + A*秩秩 n 若若 A* 秩秩 = n , 则则 A = 0 , 于是于是 A* = 0 , 矛盾矛盾! ! 故故 A* 秩秩 1 阶方阵阶方阵, 证明证明:证证: 若若 A 满秩满秩, 则则 A* 也满秩也满秩;若若 A 秩秩 = n - 1, 则则 A* 0 , 由由 A A* = | A | In = 0 知知 A* 秩秩 + A 秩秩 = A* 秩秩 + n 1 n 于是于是 A* 秩秩 = 1 ;若若 A 秩秩 1 阶方阵阶方阵, 则则设设 A 是是 n 1 阶方阵阶方阵, 我们有我们有 过渡矩阵过渡矩阵 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 . 则则 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 . 则则 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 设设 V 是一个向量空间是一个向量空间, 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 V 的的两组基两组基 设设 ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) A ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) B 则则 A B = B A = I 推论推论: 基底之间的过渡矩阵总是可逆的基底之间的过渡矩阵总是可逆的. 定理：定理： 设设 1 , 2 , , n 是向量空间是向量空间 V 的的 一组基一组基 , A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵 , 并令并令 ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) A . 则则 1 , 2 , , n 也是也是 V 的的一组基一组基 A 可逆可逆 坐标变换坐标变换 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 第四章第四章 矩阵运算矩阵运算 1 矩阵运算矩阵运算 2 特殊矩阵特殊矩阵 3 矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩 4 可逆矩阵可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法 6 正交矩阵正交矩阵 1. 矩阵的分块矩阵的分块 在金属板的边缘施以恒定温度在金属板的边缘施以恒定温度, 求板内温度的分布求板内温度的分布 离散离散 Poisson 方程方程问题简化为问题简化为: 在矩形内部每个交叉点上放一个数在矩形内部每个交叉点上放一个数 ( 用用 x1 , , xmn 表示表示 ), 使得每个点的数值使得每个点的数值等于它上等于它上, 下下, 左左, 右四个点数值的平均值右四个点数值的平均值. 1) 建立方程组建立方程组, 用分块矩阵表示用分块矩阵表示2) 解的唯一性解的唯一性 3) 解的存在性解的存在性4) 算法复杂度算法复杂度01013578974229mn例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式 ( n 1)利用小矩阵构造大矩阵利用小矩阵构造大矩阵 C = zeros(160,160); for i = 1 to 160 C( i, 161- i )=1; end; B=O,O,O,O; O,O,O,O; O,C, I, O; C,O,O, I ; imshow( X1 * B )n矩阵矩阵的分块的分块: 按某种特征按某种特征, , 将矩阵的将矩阵的 行分成若干组行分成若干组, , 列也分成若干组列也分成若干组, , 矩矩阵阵 被分成被分成若干子矩阵若干子矩阵.n矩阵矩阵看成是由这些子矩阵为元素排成看成是由这些子矩阵为元素排成 的时的时, 称为分块矩阵称为分块矩阵. n普通矩阵的元素是数普通矩阵的元素是数, , 分块矩阵的元分块矩阵的元素素 是子矩阵是子矩阵. . n普通矩阵的元素是数普通矩阵的元素是数, , 分块矩阵的分块矩阵的 元素是子矩阵元素是子矩阵 . . n分块矩阵在什么条件下可以象分块矩阵在什么条件下可以象普通矩普通矩阵一样运算呢阵一样运算呢 ?分块完全一致时可做分块加法分块完全一致时可做分块加法 分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘分块矩阵的转置分块矩阵的转置分块矩阵的转置分块矩阵的转置 2. 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法只要左矩阵列分组与右矩阵行分组只要左矩阵列分组与右矩阵行分组完全一致完全一致, , 就可以做分块乘法就可以做分块乘法可以象普通矩阵一样做乘法可以象普通矩阵一样做乘法, , 但不能改变子矩阵乘法的左右次序但不能改变子矩阵乘法的左右次序: :注意注意:n左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时, , 分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法; ; ( (不用看左矩阵行分组和右矩阵列分组不用看左矩阵行分组和右矩阵列分组).).n子矩阵块作乘法时左右次序不能改变子矩阵块作乘法时左右次序不能改变: : 来来自自 左矩阵的乘在左边左矩阵的乘在左边, , 右矩阵的乘在右边右矩阵的乘在右边. .例例: 用分块乘法计算用分块乘法计算 例：用分块乘法计算例：用分块乘法计算 AIA I00I0BAB IB对对 n 阶方阵阶方阵 A , B , 有有 例例: 设设 A 是是 m 阶方阵阶方阵, B 是是 n 阶方阵阶方阵, C 是是 mn 矩阵矩阵. 则分块矩阵则分块矩阵 可逆当且仅当可逆当且仅当 A 与与 B 都可逆都可逆. 当当 A , B 可逆时可逆时, 有有问题问题: 计算两个复数的乘积计算两个复数的乘积 ( a + b i ) ( c + d i ) , ( 即已知即已知 a , b , c , d , 求求 a c b d 与与 a d + b c ) 最少需要做多少次实数乘法最少需要做多少次实数乘法 ? 计算两个计算两个 2 阶方阵的乘积阶方阵的乘积 , 最少需要做几次数的最少需要做几次数的 乘法乘法 ? 对分块矩阵作初等行变换相当于左乘相应的对分块矩阵作初等行变换相当于左乘相应的初等分块矩阵初等分块矩阵, 倍数矩阵乘在左边倍数矩阵乘在左边想法想法: 构造分块矩阵构造分块矩阵, 作作 Laplace 展开展开定理定理: 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵 , B 是是 nm 矩阵矩阵 , 则有则有*注意注意:左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时, , 分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法; ;子矩阵作乘法时左右次序不能改变子矩阵作乘法时左右次序不能改变: : 来自来自 左矩阵的乘在左边左矩阵的乘在左边, , 右矩阵的乘在右边右矩阵的乘在右边. .第四章第四章 矩阵运算矩阵运算 1 矩阵运算矩阵运算 2 特殊矩阵特殊矩阵 3 矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩 4 可逆矩阵可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法矩阵的分块乘法 6 正交矩阵正交矩阵 1. 欧氏空间欧氏空间 2. 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵 3. Schmidt 正交化正交化 注：本节中的数域都取实数域注：本节中的数域都取实数域 R 以下向量空间以下向量空间 R2 的两组基底的两组基底, 那组更好一些那组更好一些 ?在向量空间里无法区别好坏在向量空间里无法区别好坏三维几何空间三维几何空间我们熟悉的三维几何我们熟悉的三维几何空间里空间里, 不仅有直线不仅有直线, 平面平面, 共线共线, 共面等共面等向量空间的概念向量空间的概念,还有距离还有距离, 夹角夹角,垂直的概念垂直的概念.向量空间添加哪些结构，向量空间添加哪些结构，就能引入距离就能引入距离、夹角概念夹角概念 ？标准内积标准内积 : :外积外积( (张量积张量积) ) ：标准内积的性质标准内积的性质: :欧氏空间欧氏空间 n 维欧氏空间是带标准内积的维欧氏空间是带标准内积的 n 维维 实向量空间实向量空间, , 仍用仍用 Rn表示表示 . .三维几何空间就是三维欧氏空间三维几何空间就是三维欧氏空间. .欧氏空间中向量有欧氏空间中向量有长度长度、夹角的夹角的 概念概念 . . 向量有长短向量有长短欧氏距离满足三角不等式欧氏距离满足三角不等式 ?欧氏距离满足三角不等式欧氏距离满足三角不等式 1. 欧氏空间欧氏空间 2. 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵 3. Schmidt 正交化正交化 注：本节中的数域都取实数域注：本节中的数域都取实数域 R 在欧氏空间中在欧氏空间中, ,由非零向量组成的两两正交的向量组由非零向量组成的两两正交的向量组 称为正交向量组称为正交向量组 . .注注 1 : 1 : 把零向量排除在外把零向量排除在外, , 这样一来可以这样一来可以证明证明: : 正交向量组都线性无关正交向量组都线性无关 . .注注 2 : 2 : 单独一个非零向量也构成正交向量单独一个非零向量也构成正交向量组组 . . 正交向量正交向量组组 n例例:命题命题: : 正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关 . .证证: : 设设 1 , 2 , , s 是正交向量组是正交向量组. 若有若有 k1 1 + k2 2 + + ks s = 0 , 则对则对 i , ( k1 1 + + ki i + + ks s , i ) = 0 ki ( i , i ) = 0 又又 ( i , i ) 0 , 于是于是 ki = 0 , i 向量的单位向量的单位化化n长度为长度为 1 1 的向量称为单位向量的向量称为单位向量. . 在欧氏空间在欧氏空间 Rn 中中, ,由单位向量组成的两两正交的向量组由单位向量组成的两两正交的向量组 称为单位正交向量组称为单位正交向量组 . .在在 n 维欧氏空间维欧氏空间 Rn 中中, , 任何包含任何包含 n 个个 向量的向量的 (单位单位) 正交向量组构成正交向量组构成 Rn 的的 基底基底 , 称为称为Rn 的的 (标准标准) 正交基正交基 .子空间的子空间的 (标准标准) 正交基的定义正交基的定义 . 欧氏空间 R2 的标准正交基 , 单位长度且单位长度且 欧氏空间 R2 的标准正交基定理定理 : : 设设 A 是是 n 阶阶实方阵实方阵 . . 则则 A 的列向的列向量组量组 构成欧氏空间构成欧氏空间 Rn 的标准正交基的标准正交基 AT A = I证证 : : 设设 A = 1 , 2 , , n . . 注意到注意到 证证 : : 设设 A = 1 , 2 , , n . . 容易看出，容易看出， 1 , 2 , , n 是标准正交基是标准正交基 定理定理 : : 设设 A 是是实方阵实方阵 . . 则则 A 的列的列 ( (行行) ) 向量组向量组 构成欧氏空间的一组标准正交基构成欧氏空间的一组标准正交基 AT A = I ( 或或 A AT = I ) ) 作业：作业：4.5 7, 184.6 3, 11, 13 补充题补充题. 补充题补充题 1 求欧氏空间求欧氏空间 R4 中一点中一点 A = 1 1 0 0 T 到子空间到子空间 V = 的最短距离的最短距离, 其中其中补充题补充题 2. 证明以下矩阵是正交矩阵证明以下矩阵是正交矩阵 定义定义 : : 满足以下等价条件的实方阵满足以下等价条件的实方阵 A 称为正交矩阵称为正交矩阵 1) AT A = I 2) A AT = I 3) A-1 = AT 4) A 的列的列 ( (行行) ) 向量组构成欧氏空间向量组构成欧氏空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 正交矩阵的逆正交矩阵的逆很好算很好算欧氏空间欧氏空间 Rn 的标准基的标准基是一组标准正交基是一组标准正交基单位矩阵是正交矩阵单位矩阵是正交矩阵 正交矩阵的性质正交矩阵的性质: :正交矩阵的乘积仍是正交矩阵正交矩阵的乘积仍是正交矩阵 正交矩阵的性质正交矩阵的性质: :正交矩阵的乘积仍是正交矩阵正交矩阵的乘积仍是正交矩阵正交矩阵的逆正交矩阵的逆 ( (转置转置) ) 仍是正交矩仍是正交矩阵阵正交矩阵的行列式正交矩阵的行列式 = 1 设设 1 , 2 , , n 是欧氏空间是欧氏空间 Rn 的标准的标准 正交基正交基, 则则 Rn 中向量可唯一地表示为中向量可唯一地表示为 = ( , 1 ) 1 + + ( , n ) nJoint Photographic Experts GroupJPEG 图像压缩算法图像压缩算法 裁取一个裁取一个 8 8 子阵子阵 XX = X1(185:192, 321:328) XX = 169 168 166 164 167 171 171 168 169 169 167 166 169 169 166 160 159 166 171 168 165 167 173 178 176 166 160 165 175 170 144 118 162 165 170 169 152 110 52 6 160 157 135 86 35 10 11 24 119 106 77 39 13 13 31 49 96 83 58 28 17 32 61 87 imshow(XX) whos Name Size Bytes Class X1 444x640 284160 uint8 array XX 8x8 64 uint8 array中心化后得到矩阵中心化后得到矩阵 P P = im2double(XX)- 0.5*ones(8,8) P = 0.1627 0.1588 0.1510 0.1431 0.1549 0.1706 0.1706 0.1588 0.1627 0.1627 0.1549 0.1510 0.1627 0.1627 0.1510 0.1275 0.1235 0.1510 0.1706 0.1588 0.1471 0.1549 0.1784 0.1980 0.1902 0.1510 0.1275 0.1471 0.1863 0.1667 0.0647 -0.0373 0.1353 0.1471 0.1667 0.1627 0.0961 -0.0686 -0.2961 -0.4765 0.1275 0.1157 0.0294 -0.1627 -0.3627 -0.4608 -0.4569 -0.4059 -0.0333 -0.0843 -0.1980 -0.3471 -0.4490 -0.4490 -0.3784 -0.3078 -0.1235 -0.1745 -0.2725 -0.3902 -0.4333 -0.3745 -0.2608 -0.1588 P = 256 * P ;列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列余弦变换余弦变换 (正交正交) 矩阵矩阵列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列列向量由低频到高频排列 C = zeros(8,8); for i = 1 : 8 for j = 1 : 8 C( i , j ) = cos( ( j - 1 )*( 2*i - 1 )*pi / 16) /2; end; end; for i = 1 : 8 C( i , 1 ) = 2(1/2)/4; end; C C = 0.3536 0.4904 0.4619 0.4157 0.3536 0.2778 0.1913 0.0975 0.3536 0.4157 0.1913 -0.0975 -0.3536 -0.4904 -0.4619 -0.2778 0.3536 0.2778 -0.1913 -0.4904 -0.3536 0.0975 0.4619 0.4157 0.3536 0.0975 -0.4619 -0.2778 0.3536 0.4157 -0.1913 -0.4904 0.3536 -0.0975 -0.4619 0.2778 0.3536 -0.4157 -0.1913 0.4904 0.3536 -0.2778 -0.1913 0.4904 -0.3536 -0.0975 0.4619 -0.4157 0.3536 -0.4157 0.1913 0.0975 -0.3536 0.4904 -0.4619 0.2778 0.3536 -0.4904 0.4619 -0.4157 0.3536 -0.2778 0.1913 -0.0975 B = C * P * C B = -43.5451 156.8679 22.9236 -5.5441 -7.1529 -0.5187 1.2353 0.6095 366.4034 -105.9590 -65.4009 25.6130 -0.1803 0.5292 -1.3516 0.5757 -86.8666 -85.0559 90.4376 -21.5429 0.0679 -1.0308 0.2871 0.0092 -55.8819 115.4927 -23.7721 -8.7437 -0.6664 0.5863 -0.0169 -0.2863 40.0314 -18.4009 -44.6267 33.3131 0.1255 0.4230 0.1480 0.2655 0.1348 -29.3776 33.4696 0.6294 0.1326 0.1469 0.3759 -0.3694 -0.8285 0.4268 24.3812 -26.1031 -0.1640 -0.3915 1.1702 -0.3146 0.4257 -0.8871 -30.1844 0.3839 -0.2698 0.5633 -0.5652 0.1087对矩阵对矩阵 B 的元素的元素 bi j 按不同间隔按不同间隔 qi j 取整取整 , 左上角间隔最小左上角间隔最小, 越向右下角间隔越大越向右下角间隔越大;JPEG 图像压缩算法图像压缩算法将矩阵将矩阵 D 按以下方式写成一个一维数组按以下方式写成一个一维数组, 作作 Huffman 编码编码. 矩阵的张量积矩阵的张量积张量积的性质张量积的性质特殊的正交矩阵特殊的正交矩阵由低频到高频由低频到高频jpeg 2000 算法算法最新的最新的 jpeg2000 图片解压算法使用小波变换图片解压算法使用小波变换,可参看可参看 http:/dev.whydomath.org/node/wavlets/jpeg2000.html 1. 欧氏空间欧氏空间 2. 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵 3. Schmidt 正交化正交化 注：本节中的数域都取实数域注：本节中的数域都取实数域 R 在在子空间子空间 V 上的正交投影上的正交投影 正交投影正交投影n定理定理: 在欧氏空间中给定在欧氏空间中给定向量向量 及及子空间子空间 V , 则在则在 V 中存在唯一的向量中存在唯一的向量 , 使得使得 ( - , ) = 0 , V .n向量向量 称为称为 在在子空间子空间 V 上的正交投影上的正交投影. . | - | 是是 的顶点到的顶点到子空间子空间 V 的最短距的最短距离离. . 正交投影公式正交投影公式n若若 1 , 2 , , s 是子空间是子空间 V 的一组的一组 正交基正交基 , 则则向量向量 在在 V 上的正交投影为上的正交投影为 在在 V 上的正交投影计算上的正交投影计算n要计算一个向量在子空间要计算一个向量在子空间 V 上的正交上的正交 投影投影, , 需要先求需要先求 V 的一组正交基的一组正交基 . .n怎样求与给定向量组等价的怎样求与给定向量组等价的( (单位单位) )正正交交 向量组向量组? 例例: : 求与以下向量组等价的正交向量组求与以下向量组等价的正交向量组. .例例: : 求与以下向量组等价的正交向量组求与以下向量组等价的正交向量组 3 在在 V 上做正交投影上做正交投影 与以下向量组等价的正交向量与以下向量组等价的正交向量组组 与以下向量组等价的单位正交向量组与以下向量组等价的单位正交向量组 正交矩阵正交矩阵 矩阵的矩阵的 QR 分解分解定理：定理： 每个满秩实方阵每个满秩实方阵 A 都能唯一地写成都能唯一地写成 A = Q R , 其中其中 Q 是正交矩阵是正交矩阵, R 是主对角元是主对角元 全为正数的上三角矩阵全为正数的上三角矩阵 . 以以 为例为例. 将将 A 的列向量组正交化的列向量组正交化 , 单位化单位化 正交矩阵正交矩阵上三角矩阵上三角矩阵正交投影的应用：正交投影的应用： 最小二乘法与回归直线最小二乘法与回归直线 设设 1 , 2 , , n 是欧氏空间是欧氏空间 Rn 的一组的一组 标准正交基标准正交基, 则则 Rn 中向量可唯一地表示为中向量可唯一地表示为 = ( , 1 ) 1 + + ( , n ) n 若若 W = , 则则 在在 W上的正交上的正交 投影为投影为 = ( , 1 ) 1 + + ( , r ) rReview1. . 证明：证明： 若方阵若方阵 A 秩为秩为 1 , 则对则对 s 1 , 有有 As = t s-1 A ， t 是是 A 主对角线上的元素之和主对角线上的元素之和. 2. 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 则有则有 例例 2. 求循环矩阵的逆与行列式求循环矩阵的逆与行列式 4 = 1例例 3 . 求矩阵的逆求矩阵的逆例例 3 . 求以下分块矩阵的逆求以下分块矩阵的逆 pk = im2double(imread( pku.jpg ) ; pk = (pk(:,:,1) + pk(:,:,2) + pk(:,:,3) ) /3 ; whos Name Size Bytes Class pk 768x1024 6291456 double array Grand total is 786432 elements using 6291456 bytes Y = pk ; for i = 384 - 120 : 384 + 120 for j = 512 - 120 : 512 + 120 if ( i - 384 )2 + ( j - 512 )2 for i = 384 -150 : 384 + 120 for j = 512 - 1 : 512 + 1 Y( i , j ) = 0 ; end; end; for i = 384 - 1 : 384 + 1 for j = 512 - 120 : 512 + 150 Y( i , j ) = 0 ; end; end; imshow(Y) A = -2 , 0 ; 0 , 2 / 3 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 2 , 1 ; 1 , 2 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 2 , 1 ; 1 , 2/3 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 2 , 1 / 2 ; 1 , 3 / 2 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 3/2 , 1 ; 1/2 , 2 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 1 , 1 / 2 ; 0 , 1 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) t = pi / 6 ; A = cos(t) , -sin(t) ; sin(t) , cos(t) ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1) A = 3 / 2 , 1 ; 1 , 2 ; B = A ( -1 ) ; Y1 = zeros( 768 , 1024 ); for i = 1 : 768 for j = 1 : 1024 X = B * j - 512 ; 384 - i ; k = 384 - round( X( 2 , 1 ) ) ; l = 512 + round( X( 1 , 1 ) ); if k 0 & l 0 & k 769 & l imshow(Y1)Putnam 问题问题: 包含在包含在 4 维单位立方体内的维单位立方体内的 2 维圆盘维圆盘 , 半径的最大值是多少半径的最大值是多少 ? See you next time