证明证明(zhngmng):1) 若D 既是 X - 型区域(qy) , 又是 Y - 型区域(qy) , 且则定理1 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第1页/共26页第一页，共27页。即同理可证、两式相加得:定理(dngl)1 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页第二页，共27页。2) 若D不满足(mnz)以上条件,则可通过(tnggu)加辅助线将其分割为有限(yuxin)个上述形式的区域 , 如图证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页第三页，共27页。推论推论(tuln):正向闭曲线正向闭曲线L所围所围区域区域D的面积的面积格林公式(gngsh)例如(lr), 椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页第四页，共27页。例例1. . 设 L 是一条分段(fn dun)光滑的闭曲线, 证明证: 令则利用(lyng)格林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第5页/共26页第五页，共27页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点(dngdin)的三角形闭域 . 解: 令, 则利用格林公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页第六页，共27页。例例3.计算计算(jsun)其中L为一无重点(zhngdin)且不过原点的分段光滑(gung hu)正向闭曲线.解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页第七页，共27页。在D 内作圆周(yunzhu)取逆时针方向(fngxing), 对区域(qy)应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页第八页，共27页。二、平面上曲线积分与路径无关的等价二、平面上曲线积分与路径无关的等价(dngji)条件条件定理(dngl)2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有(jyu)一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页第九页，共27页。说明: 积分与路径(ljng)无关时, 曲线积分可记为 证明证明(zhngmng)(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段(fn dun)光滑曲线,则(根据条件(1)定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页第十页，共27页。证明证明(zhngmng)(2)(3)在D内取定点(dn din)因曲线(qxin)积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页第十一页，共27页。证明证明(zhngmng)(3)(4)设存在(cnzi)函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续(linx)的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页第十二页，共27页。证明证明(zhngmng)(4)(1)设L为D中任一分段光滑(gung hu)闭曲线,(如图) ,利用(lyng)格林公式 , 得所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页第十三页，共27页。说明说明(shumng):根据(gnj)定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化(jinhu)计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页第十四页，共27页。例例4.计算计算(jsun)其中(qzhng)L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了(wi le)使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页第十五页，共27页。例例5.验证验证(ynzhng)是某个函数(hnsh)的全微分, 并求出这个(zh ge)函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页第十六页，共27页。例例6.验证验证(ynzhng)在右半平面(pngmin) ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证: 令则由定理(dngl) 2 可知存在原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页第十七页，共27页。或机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共26页第十八页，共27页。例例7.设质点设质点(zhdin)在力场在力场作用(zuyng)下沿曲线 L :由移动(ydng)到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共26页第十九页，共27页。思考: 积分路径是否(sh fu)可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域(qy)内积分与路径无关(wgun) !机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页第二十页，共27页。内容内容(nirng)小结小结1. 格林公式(gngsh)2. 等价(dngji)条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页第二十一页，共27页。思考思考(sko)与与练习练习1. 设且都取正向, 问下列计算(j sun)是否正确 ?提示(tsh):机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页第二十二页，共27页。2.设设提示(tsh):作业(zuy)P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第23页/共26页第二十三页，共27页。备用备用(biyng)题题1.设设C为沿为沿从点依逆时针的半圆(bnyun), 计算解: 添加(tin ji)辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页第二十四页，共27页。2.质点质点(zhdin)M沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆,从从A(1,2)运动到运动到点B(3, 4),到原点的距离(jl),解: 由图知 故所求功为锐角(rujio),其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的欣赏(xnshng)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结证明:。其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,。与路径无关, 只与起止点有关.。(根据条件(1)。和任一点B( x, y ),。P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,。2) 求曲线(qxin)积分时, 可利用格林公式简化计算,。1) 计算曲线(qxin)积分时, 可选择方便的积分路径。从 O (0, 0) 到 A (4, 0).。5 (1) , (4)。6 (2) , (5)。点B(3, 4),。感谢您的欣赏第二十七页，共27页。