第九章第九章 空间轴对称问题空间轴对称问题 本本章章讨论空空间轴对称称问题的的根根本本方方程程和和一一些些轴对称称问题的的根根本本解解。对于于普普通通空空间问题的的解解法法我我们在在第第五五章章已已有有讨论，但但普普通通空空间问题普普通通解解详细求求解解通通解解讨论在在杜杜庆华等等编著著的的“弹性性实际中中有有较多多的的论述述。我我们不不刻刻意意从从数数学学上上论述述普普通通空空间问题普普通通解解的的表表达达式式，而而对于于空空间轴对称称问题作作一一些些讨论和和举例。例。 1.1 1.1 1.1 1.1空间轴对称问题特点：空间轴对称问题特点：空间轴对称问题特点：空间轴对称问题特点： 1. 1. 域内一切物理量膂力、面力、位移、域内一切物理量膂力、面力、位移、应力、力、应变均均为r r、z z的函数。的函数。 与平面与平面轴对称称问题类似，空似，空间轴对称称问题的求解域、荷的求解域、荷载和和约束束绕某一某一轴z z轴对称，称，导致如下致如下简化，化， 2 2荷荷载：膂力：膂力f f=0=0，面力，面力 ，位移，位移u u=0=0，应力力 r r= = z z=0=0，应变 r r= =z z=0=0。第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程3待求的物理量待求的物理量10个个：ur、w、 r、 z、rz=zr、 r、 z、 rz= zr1.21.2根本方程根本方程1.1.平衡微分方程两个：平衡微分方程两个： 2.几何方程四个：几何方程四个：第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程3.3.变形形协调方程四个方程四个4.物理方程四个：物理方程四个：第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程 r= e2Gr、 = e2G、 z= e2Gz、 rz=G rz 第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程其中其中 体体积应变或或5.边边境条件境条件第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程位移位移边境：境：在在Su上上6.按按应力解法力解法 力的力的力的力的边边境：在境：在境：在境：在r=r0r=r0在在在在z=z0z=z0四四个个应力力分分量量 r、 z、 rz为根根本本未未知知量。量。根本方程六个：根本方程六个：两个平衡微分方程与两个平衡微分方程与四个用应力表示的变四个用应力表示的变形协形协调方程；调方程；再加上力的边境条件。再加上力的边境条件。第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程假假设膂膂力力为零零时，根根本本方方程程为齐次次方方程程，那那么么可可采采用用应力力函函数数解解法法，引引入入应力力函函数数(r,z)，使得，使得应力用力用(r,z)表示表示:第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程 (r,z)满足足第第一一个个平平衡衡微微分分方方程程，而而第第二二个个平平衡衡方程及四个相容方程，共同要求方程及四个相容方程，共同要求 2 2 = 4 =0 (r,z)应满足的根本微分方程。足的根本微分方程。77按位移法解按位移法解按位移法解按位移法解 第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程其中其中a根本未知函数：根本未知函数：ur和和w根本方程两个：根本方程两个：并思索适当的并思索适当的边境条件。境条件。b. 引引入入Love拉拉甫甫、勒勒夫夫位位移移函函数数当当无无膂膂力作用力作用时时第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程对于于位位移移法法的的根根本本方方程程的的解解可可由由思思索索膂膂力的一个特解加上力的一个特解加上齐次方程的通解。次方程的通解。轴对称称问题齐次次拉拉梅梅方方程程的的通通解解可可以以引引入入一一个个Love位位移移函函数数(r,z),使使得得位位移移由由(r,z)表表示：示：代代入入齐次次拉拉梅梅方方程程，第第一一式式自自然然满足足，而而第第二式二式为根本方程：根本方程：4=0(r,z)为双双调和方程。和方程。第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程同同时应力分量由力分量由(r,z)表示表示为：轴对称称问题按按位位移移求求解解，归结为寻觅一一个个恰恰当当的的重重调和和函函数数(r,z)，使使按按其其导出出位位移移和和应力能力能满足足给定的定的边境条件。境条件。第一节第一节 空间轴对称问题的根本方程空间轴对称问题的根本方程比比较应力力函函数数解解法法和和love位位移移法法知知：(r,z)=(r,z)第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题半半空空间间体体，膂膂力力不不计计，边边境境受受法法向向集集中中力力P作用作用.轴对称问题，轴对称问题，P作用在坐标原点上。作用在坐标原点上。zRrPx yz知知，当当z=0且且r0时, z=0, zr=0；当当R0时，应力奇特。力奇特。当当R时，R=(r2+z2)1/2，应力、位移力、位移0；选(r,z)为r和和z的正一次的正一次幂式式:(r,z)=A1R+A2R-zln(R+z)为双双调和函数和函数第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题Boussinesq采采取取Love函函数数求求解解，(r,z)为 重重 调 和和 函函 数数 ， 由由(r,z)的三次微分的三次微分导出出应力。力。zRrPx yz (r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z)那那么么 (r,z) 自自然然满满足足 4 =0 。代入位移、代入位移、应应力力计计算式算式.第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题zRrPx yz位移：位移：应力：应力：第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题根据边境条件来确定根据边境条件来确定A1和和A2：第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题zRrPx yz在在z=0且且r0边境上境上, z=0自然自然满足。足。在在z=0且且r0边境上境上, zr=01-2 A1+ A2 = 0(a)在在z=z00平平面面上上，要要求求 z的合力与的合力与P平衡。平衡。还需一个条件包括还需一个条件包括P的。的。第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题将将 z表达式代入，得表达式代入，得zPrrdrz0 z P - 4A1(1- - 2 A2 = 0 (b)第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题而而由式由式(a)、(b)解得解得A1=P/(2)、A2=-1-2 P/2第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题 代代回回位位移移、应力力表表达达式式，见徐徐芝芝纶上上册册P.297917 、 918 式式 ， 称称 为Boussinesq问题解。解。 由由P.297917、918式式见：位位移移和和应力随力随R 的添加而减小。的添加而减小。Prz第二节第二节半空间体在边境上受法向集中力半空间体在边境上受法向集中力Boussinesq问题问题在在z=0平面上平面上第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q知条件：半空间体在边境上受均知条件：半空间体在边境上受均布法向荷载布法向荷载q作用，在半径为作用，在半径为a的圆面积。的圆面积。zaqar寻求解答：求解答：1.z=0边境上的沉陷境上的沉陷wz=0=?2.r=0对称称轴上的上的应力和位移。力和位移。求求解解方方法法：采采用用叠叠加加法法和和半半空空间体体边境境受受法法向向集中力集中力P的的计算算结果求解。果求解。3.1边境上一点边境上一点M的竖向位移的竖向位移w：第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q1.设M点点为圆面面积之外：之外： M点可以在荷点可以在荷载圆面面积之之外也可在之内。外也可在之内。zaqar当半空当半空间体体边境上受法向集中力境上受法向集中力P时，边境上距境上距P点点为r的点的点竖向位移向位移为：圆面积均布荷载圆面积均布荷载q对圆外对圆外M点竖向位移影响可点竖向位移影响可取一个微面元，距取一个微面元，距M点为点为s，角度为，角度为 处，处，dA=sd ds，dA上上q对对M点影响：点影响：第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力qrraMs1s2sdsdzaqarrraMs1s2sdsd第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q整体圆面积荷载对整体圆面积荷载对M点影响为点影响为第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q而而rraMs1s2sdsd 1为为M点作为圆相切线点作为圆相切线OM线的夹角线的夹角第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力qrraMs1s2sdsd为为了了简简化化积积分分将将积积分分变量变量 转变为转变为由图形可见由图形可见由图形可见由图形可见asinasin=rsin=rsin , ,两边微分两边微分两边微分两边微分 acosacosd d=rcos=rcos d d 第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力qrraMs1s2sdsd第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q 的取的取值范范围：由：由0 1 rraMs1s2sdsdq的的 取取 值 范范 围 ： 0 第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q第二第二第二第二类椭圆积类椭圆积分分分分第一第一第一第一类椭圆积类椭圆积分分分分第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q对于不同于不同a/r可由可由椭圆积分表得到。分表得到。2M点点载载荷在荷在圆圆之内：之内：Masdsdrmn第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q圆内内距距M点点s处微微面面积q对M点沉陷的影响仍点沉陷的影响仍为整个圆面积荷载引起整个圆面积荷载引起M点沉陷为：点沉陷为：第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q第二类椭圆积分第二类椭圆积分利用利用asin=rsin 当当r=0为圆心处沉陷：为圆心处沉陷：当当r=a时圆周上沉陷：时圆周上沉陷： 3.2 在在z轴轴r=0上的应力和位移上的应力和位移 在在z轴上的应力和位移比同一程度面上其它点轴上的应力和位移比同一程度面上其它点的应力和位移要大。的应力和位移要大。第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q1.应应力：由于力：由于z轴对轴对称称轴轴，所以在，所以在z轴轴上的上的应应力力无剪无剪应应力，均力，均为为主主应应力：力： r=、 z第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q2位移：位移：z轴轴上的上的ur=0，仅仅存在存在w第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q第三节第三节半空间体在边境上受法向分布力半空间体在边境上受法向分布力q第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 接接触触压压力力问问题题是是在在机机械械工工程程、土土木木工工程程中中经经常常碰碰到到的的问问题题，接接触触问问题题在在18811881年年由由德德国国赫赫兹兹Heinrich Heinrich HertyHerty首首先先用用数数学学弹弹性性力力学导出了计算公式。学导出了计算公式。4.1 4.1 接触接触问题的特点：的特点： 1 1两两个个弹性性体体相相互互接接触触，当当无无压力力作作用用时，为点点接接触触或或线接接触触。当当有有压力力作作用用时，弹性性体体发生生变形，点接触或形，点接触或线接触接触变为面接触。面接触。2弹弹性性体体变变形形后后的的接接触触面面为为非非常常小小的的部部分分区区域域相相对对于于弹弹性性体体几几何何尺尺寸寸所所以以可可看看成成半半空空间间半半无无限限平平面面体体法法向向受受局局部部分分布布力力作作用用问问题题，但但这这里里分分布布力力q不不是是均均匀匀的的，同同时时q也未知，接触面的部分区域也是未知的。也未知，接触面的部分区域也是未知的。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力3不不计接触面摩擦力。接触面摩擦力。4.2两球体之两球体之间的接触的接触压力：力：知知两两球球体体变形形前前在在o点点接接触触，两两个个坐坐标系系roz1、roz2第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1球球1：E1、 1、R1球球2：E2、 2、R2M1M2r距接触点距接触点z轴为r的两球的两球外表上外表上M1和和M2点的点的z坐坐标分分别为M1和和M2与与点点o很很近近第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r那那么么第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力在知在知P压力作用下，两球在接触点附近力作用下，两球在接触点附近发生生变形有一个接触面，根据形有一个接触面，根据对称性接触面称性接触面为以以a为半径的半径的圆。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 1 1a a为为待待求求量量，同同时时接接触触面面上上有有接接触触压压力力q q待求。待求。2由由于于接接触触问题是是部部分分变形形，在在球球体体远离离o点点的的恣恣意意点点位位移移为刚体体位位移移。两两球球内内距距o点点很很远处的相的相对位移位移刚体位移体位移为？下下面面要要建建立立找找出出三三个个条条件件几几何何、物物理理、平衡方程平衡方程寻求求a、q和和。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力求求解解：首首先先根根据据接接触触面面变变形形位位移移来来建建立立一一个关系个关系球球1 1：触面上：触面上o o点、点、M1M1点点沿沿z1z1轴位移位移为w1(o)w1(o)、w1w1而而 w1(o)= w1+ w1(o)= w1+ z1 z1 M1rPPoz1z2O1M2ar第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力球球2 2：触面上：触面上o o点、点、M2M2点点沿沿z2z2轴位移位移为w2(o)w2(o)、w2w2 w2(o)= w2+ z2 而而w1(o)+w2(o)=w1+z1+w2+z2w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2或或M1rPPoz1z2O1M2ar而而w1(o)+w2(o)=第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力两球体距两球体距o点点较远处两点的两点的趋近近间隔。隔。 = w1+w2+ r2 变性性协调关系关系w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2由由于于接接触触问题可可看看成成半半无无限限体体受受部部分分垂垂直直分分布布力力问题，w1和和w2可可以以利用上一利用上一节的的结果。果。M1rPPoz1z2O1M2ar第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力相当物理和几何关系相当物理和几何关系 代入代入 = w1+w2+ = w1+w2+ r2r2在此式中在此式中a a 、q q 和和 未知。未知。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 q q与与P P 有关，有关，为寻求解，赫求解，赫兹假假设接触面接触面上的分布力上的分布力q q的。的。假假设： q q 分分布布为以以a a为半半径径的的半半球球面面乘乘q0/aq0/a，q0q0为接触面中心接触接触面中心接触压力的集度。力的集度。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力Masdsdrmnrrq0z第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力赫赫兹经过这样假假设，并利用，并利用或或第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力得得代回代回赫赫兹经过接触面上的接触接触面上的接触压力的分布假力的分布假设可使可使等式右端的等式右端的积分分为一个常数一个常数项和和r2的二次的二次项。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力的的积分，在恣意分，在恣意rra第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力积分得分得第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力比比较上式两上式两边得得将将代入可确定代入可确定a和和。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 q0、a 和和 表达式表达式见徐芝徐芝纶弹性力学上册性力学上册P.308926 、927式式 ，q0、a 和和 确定后，可求球体内确定后，可求球体内应力。力。