第第7章章线性变换线性变换1线性变换的定义线性变换的定义2线性变换的运算线性变换的运算3线性变换的矩阵线性变换的矩阵4特征值与特征向量特征值与特征向量5对角矩阵对角矩阵6线性变换的值域与核线性变换的值域与核7不变子空间不变子空间8Jordan标准形介绍标准形介绍9最小多项式最小多项式，1 1 线性变换的定义线性变换的定义一、线性变换的概念一、线性变换的概念定义定义 线性空间线性空间V到其自身的映射到其自身的映射称为线性空间称为线性空间V的一个的一个变换变换. .定义定义 设设V是数域是数域P上的上的n维线性空间维线性空间,A :VV为为V的一个变换的一个变换, , 若对任意若对任意 , V和数和数k P,都有都有 A( + )=A( )+A( ) A(k )=kA( )则则称称A是是线线性性空空间间V的的一一个个线线性性变变换换. .(lineartransformation).称称A( )或或A 为为向向量量 在在线线性性变变换换A下下的的象象(image)例例1 1(1)设设A :V V,若关于任意若关于任意 V,都有都有A( )=0,则称则称A为零变换为零变换, , 记作记作O.(2)设设A:VV,若关于任意若关于任意 V,都有都有A( )= ,则称则称A为恒等变换为恒等变换,(identitytransformation),记作记作E.注注 零变换和恒等变换都是线性变换零变换和恒等变换都是线性变换. .例例2 2 设设A:VV,k是数域是数域P中常数。定义中常数。定义A( )= k , V则则A是是V的一个线性变换的一个线性变换 。因为。因为 A( + )=k( + )=k +k =A( )+A( ) A(l )=k(l )=l(k )=lA( )通通常常称称上上述述变变换换为为数数乘乘变变换换或或位位似似变变换换. .用用K表示表示.当当k =0时时，K为零变换为零变换O；当当k=1时时， K为恒等变换为恒等变换E例例3 3 设设r 是把平面上的向量绕坐标原点反是把平面上的向量绕坐标原点反时针旋转时针旋转 角的变换角的变换. .设设 =(x, y)T,r ( )=(x, y)T,则则(因为因为x=|r ( ) cos(j j+ )=r ( ) (cosj jcos -sinj jsin )=xcos -ysin 同样同样y=xsin +ycos )。记记A= 则则r ( )=A ，称为称为旋转变换旋转变换. .可以证明旋转变换可以证明旋转变换 r 是一个线性变换。是一个线性变换。（如何证明？）（如何证明？）例例4 4 设设A:R3R3, =(a1,a2, a3),定义定义A( )=(a1,a2,0),易易证证A是是线线性性变变换换. . 它它是是把向量把向量 投影到平面投影到平面Oxy上上,称为称为投影变换投影变换例例5 5 设设A:R2R2, =(a1,a2),定义定义 A( )=(a1,-a2),则则A是线性变换是线性变换, ,称为称为镜面反射镜面反射或或反射变换反射变换. .例例6 6 线性空间线性空间Px或或Pnx中中, , 定定义义D为为求导数的变换，即求导数的变换，即D(f (x)=f (x) f(x) PnxD是一个线性变换，称为是一个线性变换，称为微分变换微分变换. .例例7 7 闭区间闭区间a,b上所有连续函数全体上所有连续函数全体 组成实数域组成实数域R上的线性空间上的线性空间C0(a,b). 定义变换定义变换J(f (x)= 则则J是一个线性变换是一个线性变换. .二二、线性变换的简单性质、线性变换的简单性质1、设设A是线性空间是线性空间V的一个线性变换的一个线性变换, ,则则 A(0)=0,A(- )=-A( )2、线性变换保持向量的线性组合与线性线性变换保持向量的线性组合与线性 关系式不变关系式不变. .即若即若 =k1 1+k2 2+ks s则则 A( )= k1A( 1)+k2A( 2)+ksA( s)3 3、线性相关的向量组经线性变换后、线性相关的向量组经线性变换后其象向量组仍线性相关其象向量组仍线性相关即即 1, ， 2， s线性相关线性相关 则则 A( 1, )，A( 2)，A( s)也线性相关也线性相关注注 线性无关向量组的象向量组未必线性线性无关向量组的象向量组未必线性无关无关即即 1， 2， s线性无关推不出线性无关推不出 A( 1)，A( 2)，A( s)也线性无关。也线性无关。2 2 线性变换的运算线性变换的运算n设设V是数域是数域P上上的线性空间的线性空间, ,V的所有的所有 线性变换的集合记作线性变换的集合记作L(V).设设A,B L(V)，若若对于所有的对于所有的 V，都有都有A( )=B( )，则说则说A,B是是相等的相等的，记作，记作A=B下面在下面在L(V)中引入中引入乘法、加法、乘法、加法、数乘数乘运算运算一一、线性变换的乘法及其性质、线性变换的乘法及其性质设设A, ,B L(V),定义定义A与与B 的乘积为的乘积为V的一个变换的一个变换, V, 有有(AB)( )= A(B( )1.AB 也是线性变换也是线性变换 证证 因为因为 , V和和 k,l P,有有(AB)(k k +l )= A(B(k +l ) = A(kB( )+lB( )=A(kB( )+A(lB( ) =kA(B( )+lA(B( ) =k(AB)( )+l(AB)( )2 2、乘法适合结合律、乘法适合结合律, ,即即(AB)C = A(BC) 因为映射的合成满足结合律因为映射的合成满足结合律3、乘法不满足交换律乘法不满足交换律, ,即一般地即一般地AB BA 如求微分变换如求微分变换D 与求积分变换与求积分变换J ,有有 DJ =E , ,但一般地但一般地 JD E4、单位变换的作用单位变换的作用 AE =EA =A5、零变换的乘法零变换的乘法 OA =AO = O 二、线性变换的加法及其性质二、线性变换的加法及其性质设设A,B L(V),定义定义A与与B的的和和为为V的一个变的一个变 换换, , 使使 V,有有(A+B)( )=A( )+B( )1、A+B也是也是V的一个线性变换的一个线性变换因为对于所有的因为对于所有的 , V和数和数k，l P,有有(A+B)(k +l )=A(k +l )+B(k +l )=kA( )+lA( )+kB( )+lB( )=k(A+B)( )+l(A+B)( )2、(1)(1)交换律交换律A +B=B +A(2)(2)结合律结合律(A+B)+C =A+(B+C)(3)(3)零变换零变换A+O =A(4)(4)负变换负变换A+(-A)=O 其中其中(-A)( )=-A( ),从而从而(A -B)=(A+(-B)3、分配律分配律A(B+C)=AB +AC(A+B)C=AC+BC三三、线性变换的数量乘法及其性质、线性变换的数量乘法及其性质设设A L(V),k P,定义定义k与与A的的数量乘数量乘 积为积为V的一个变换的一个变换, , 使得使得kA =KA其中其中K为由为由k决定的数乘变换决定的数乘变换, , 即即 V(kA)( )=(KA)( )=K(A( )1、kA也是线性变换也是线性变换 2、(1)1(1)1的数乘的数乘1A =A(2)(2)数乘结合律数乘结合律(kl)A=k(lA)(3)(3)数乘分配律数乘分配律(k+l)A=kA+lA(4)(4)数乘分配律数乘分配律k(A +B)=kA+kB定理定理 L(V)对于如上定义的加法与对于如上定义的加法与数量乘法构成数域数量乘法构成数域P上的线性空间上的线性空间 四、线性变换的逆变换四、线性变换的逆变换 V的变换的变换A称为称为可逆的可逆的,如果存在如果存在V V的变换的变换B,使使 AB= BA=E这时这时, ,变换变换B称为称为A的逆变换的逆变换, ,记为记为A-1.可逆线性变换可逆线性变换A的逆变换的逆变换A-1也是线性变换也是线性变换可逆线性变换可逆线性变换A的逆变换的逆变换A-1 1也是线性变换也是线性变换A-1(k +l )= A-1k(AA-1)( )+l(AA-1)( ) = A-1A(kA-1( )+A(lA-1( ) = A-1A(kA-1( )+lA-1( )=(A-1A)(kA-1( )+lA-1( )）= kA-1( )+lA-1( ) 五、线性变换的多项式五、线性变换的多项式An =AAA (n个个) 规定规定 A0=E 线性变换的幂满足如下指数法则线性变换的幂满足如下指数法则Am+n=AmAn ,(Am )n=Amn(m,n 0)当当线线性性变变换换A可可逆逆时时，定定义义A的的负负整整数数幂幂为为 A-n=(A-1)n (n是正整数是正整数) 注注 线性变换乘积的指数法则不成立线性变换乘积的指数法则不成立, ,即一般地即一般地 (AB)nAnBn设设f (x)=amxm+am-1xm-1+a0是是Px中一多项式中一多项式,A是是V的线性变换的线性变换, , 定义定义f(A)=amAm+am-1Am-1+a0E f(A)是线性变换是线性变换, ,称为线性变换称为线性变换A的的多项式多项式若在若在Px中中h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，则则h(A)=f(A)+g(A)，p(A)=f(A)g(A)，特别地，特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A).即同一线性变换的多项式的乘法可交换即同一线性变换的多项式的乘法可交换例例 在线性空间在线性空间Pn 中中, ,求微商是线性变换求微商是线性变换, ,用用D表表示示. . 显然有显然有 Dn =O又变量的平移又变量的平移 f( )|f( +a)(a P)也是线性变换也是线性变换, , 用用Sa表示表示. . 按按Taylor公式公式 f( +a)=f( )+af ( )+f ( )+f(n-1)( )因此因此Sa实质上是实质上是D的多项式的多项式, , 即即 Sa=E+aD+D2+Dn-13 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵一、线性变换作用在基上一、线性变换作用在基上定理定理 设设 1, 2, n是线性空间是线性空间V的一的一组基组基, , 1, 2, n是是V V中任意取定的中任意取定的n个个向量向量, ,则则 必存在唯一的线性变换必存在唯一的线性变换A,使得使得A i = i i =1,2,n证证 存在性存在性 任给任给 =k1 1+k2 2+kn n,令令 A:V V |k1 1+k2 2+kn n则则A是线性变换是线性变换, ,且因且因 i=0 1+0 i-1 + i +0 i+1+0 n A i=0 1+0 i-1+ i+0 i+1+0 n = i唯一性唯一性 设有两个线性变换设有两个线性变换A与与B，使使 A 1=B 1,A 2=B 2,A n=B n，则对则对V中任一向量中任一向量 =k1 1+k2 2+kn n, A =k1A 1+k2A 2+knA n,=k1 1+k2 2+kn n B =k1B 1+k2B 2+knB n,=k1 1+k2 2+kn n于是于是A = B . . 由由 的任意性的任意性, ,知知A = B. .推论推论 设设 1, 2, n是线性空间是线性空间V的一的一组基组基, , 如果如果V的两个线性变换的两个线性变换A与与B在这在这组基上的作用相同组基上的作用相同, ,即即 A i =B i ,则必有则必有A =B. .推论推论 设设 1, 2, s是是n n维线性空间维线性空间V的一的一组线性无关向量组线性无关向量, , 1, 2, s是是V中任意取中任意取定的定的s个向量个向量, ,则必存在线性变换则必存在线性变换A,使使 A i = i i =1,2,s证证 将将 1, 2, s扩成扩成V的一组基的一组基, ,再由定理即得再由定理即得. .注注 当当s0),0),方向相反方向相反( ( 00),0),或为或为0 0例例1 1 设设A是线性空间是线性空间R3中以中以xOy面为镜面面为镜面的反射变换于是的反射变换于是A作用于基向量作用于基向量i i,j,k的像是的像是A(i)=i,A(j)=j,A(k)=k即即A的特征值是的特征值是1（2重重）和）和1，xOy面上任意非零向量面上任意非零向量l1i+l2j是属于是属于特征值特征值1的特征向量的特征向量；形如形如l3k(l3 0)的向量是属于特征的向量是属于特征值值1的特征向量的特征向量例例2 2 设设C (a,b)是区间是区间(a,b)内所有任意内所有任意次可微实函数所构成的实线性空间次可微实函数所构成的实线性空间, ,D是是C (a,b)的微分变换，的微分变换，对于每一个对于每一个 ，有有D(e x)= e x所以任何实数所以任何实数 都是都是D的特征值，的特征值，而而e x是属于是属于 的一个特征向量的一个特征向量二二 与矩阵的特征值与特征向量的关系与矩阵的特征值与特征向量的关系n由于矩阵是一个特殊的线性变换，所以可以定义矩由于矩阵是一个特殊的线性变换，所以可以定义矩阵的特征值与特征向量。阵的特征值与特征向量。定义定义设设A是数域是数域P上的上的n阶方阵。如果对于阶方阵。如果对于数域数域P中的数中的数 ,存在非零存在非零n维维(列列)向量向量 ,使得使得A = ,成立成立,则称则称 为矩阵为矩阵A的一个的一个特征值特征值，非零列向量非零列向量 称为矩阵称为矩阵A的对应于的对应于(或属于或属于)特征值特征值 的的特征向量。特征向量。定理定理设设A是是n维线性空间维线性空间V的一线性变换的一线性变换, 1, 2, n是是V的一组基的一组基.A在此基下的矩阵在此基下的矩阵是是A,则则 (1) 0 是是A的特征值的特征值,当且仅当当且仅当 0 是是A的特征的特征值值;(2) 是是A的属于特征值的属于特征值 0的特征向量的特征向量,当且仅当且仅(3)当当 在基在基 1, 2, n下的坐标下的坐标(4)x =(x1,x2,xn)T是是A的属于特征值的属于特征值 0的的特征向量特征向量. 上面定理说明：上面定理说明： 可通过求矩阵可通过求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量, ,来求相应的线性变换的特征值和特征来求相应的线性变换的特征值和特征向量向量.三、矩阵特征值与特征向量的求法三、矩阵特征值与特征向量的求法定义定义 设设A=aij是是n阶方阵阶方阵, 是一是一个文字个文字,矩阵矩阵 EA的行列式的行列式称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式n定理定理 设设A是是n阶方阵。则阶方阵。则（1） 0是是A的特征值的特征值,当且仅当当且仅当 0是是A的的特征多项式特征多项式 EA 的根；的根；（2）x0 是是A的属于特征值的属于特征值 0的特征向量的特征向量当且仅当当且仅当 x0是齐次线性方程组是齐次线性方程组( 0E-A)x=0的一个的一个非零非零解。解。线性变换的特征值与特征向量的求法线性变换的特征值与特征向量的求法(1)(1)在在 线线 性性 空空 间间 V中中 取取 一一 组组 基基 1, 2, n,写出写出A在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵A; ;(2)(2)求求出出A的的特特征征多多项项式式 E-A 在在数数域域P中全部的根中全部的根,也就是线性变换也就是线性变换A的全部的全部特征值。特征值。(3)(3)把求得的特征值把求得的特征值 0逐个代入齐次方程组逐个代入齐次方程组 ( 0E-A)x=0,对于每一个特征值对于每一个特征值 0 0, , 求出该方程组的一求出该方程组的一个基础解系个基础解系, ,它们就是属于该特征值的几个它们就是属于该特征值的几个线线性性无无关关的的特特征征向向量量在在基基 1 1, , 2 2, n n下下的的坐标坐标, ,这样这样, ,也就求出了属于每个特征值的也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量全部线性无关的特征向量. .例例已知已知P22的线性变换的线性变换A如下：如下：A(X)=MXXM, X P22求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解取取P22的基的基E11,E12, E21, E22，可求得可求得A 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A的特征多项式为的特征多项式为所以所以A的特征值为的特征值为: 1= 2=0, 3=2, 4=2把特征值把特征值 1=0代入代入( EA)x=0，得到得到它的基础解系是它的基础解系是(1,1,0,0)T，(1,0,0,1)T因此因此, ,属于特征值属于特征值0的两个线性无关的的两个线性无关的特征向量是特征向量是而属于特征值而属于特征值0的全部特征向量就是的全部特征向量就是 k1X1+ k2X2(k1,k2不全为零的数不全为零的数) )因此，属于特征值因此，属于特征值2 2的一个线性无关的特的一个线性无关的特征向量就是征向量就是再将特征值再将特征值2代入代入( EA)x=0，得到，得到它的基础解系是它的基础解系是(0,1,0,0,)T，而属于特征值而属于特征值2的全部特征向量就是的全部特征向量就是k3X3(k3任意非零的数任意非零的数) )同理可求得属于特征值同理可求得属于特征值2的一个线性无的一个线性无关的特征向量就是关的特征向量就是而属于特征值而属于特征值2的全部特征向量就是的全部特征向量就是 k4X4(k4任意不为零的数任意不为零的数) )例例3 3在空间在空间Pnx中，线性变换中，线性变换 Df(x)=f (x) 在基在基下的矩阵是下的矩阵是的特征多项式是的特征多项式是齐次线性方程组知道，属于特征值齐次线性方程组知道，属于特征值0 0的线性的线性无关的特征向量只能是任一非零常数。无关的特征向量只能是任一非零常数。这表明微商为零的多项式只能是零或这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数。非零的常数。因此，因此， 的特征值只有的特征值只有0.0. 通过解相应的通过解相应的例例4 4 平面上全体向量构成实数域上一个二平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节例维线性空间，第一节例3 3中旋转在直角坐中旋转在直角坐标系下的矩阵为标系下的矩阵为它的特征多项式为它的特征多项式为 当当 k 时时,这个多项式没有实根这个多项式没有实根.因此因此,当当 k 时没有特征值时没有特征值. . 从几何上看从几何上看, , 这个结论是显然的这个结论是显然的. .性质(一一)相似矩阵有相同的特征多项式和相相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值同的特征值. .( (二二) ) 线性变换的特征值与基的选择无关线性变换的特征值与基的选择无关. .( (三三) )属于同一特征值属于同一特征值 0的特征向量全体连的特征向量全体连同零向量构成同零向量构成V的一个子空间的一个子空间V 0，称其，称其为特征子空间，它的维数等于属于同一为特征子空间，它的维数等于属于同一特征值特征值 0 的线性无关特征向量的最大个的线性无关特征向量的最大个数数。（四）（四）若若 1, 2, n是是n阶方阵阶方阵A=aijnn的全部特征值的全部特征值, ,则则 为方便，记为方便，记（五）（五）Hamilton-Cayley定理定理设设A是数域是数域P上一个矩阵上一个矩阵,f( )= EA 是是A的特征多项式的特征多项式, , 则则f(A)=An-(a11+a22+ann)An-1+ (-1)nAE=0证证 设设B( )是是 EA的伴随矩阵的伴随矩阵,则则 B( )( EA)= EA E=f( )E因为因为B( )的元素都是的元素都是 E-A 的各个代数的各个代数余子式余子式,都是都是 的的多项式多项式,其次数不超过其次数不超过n-1.因此因此,B( )可以写成可以写成B( )= n-1B0+ n-2B1+Bn-1其中其中B0, B1, Bn-1都是都是n n数字矩阵数字矩阵. .再设再设f( )= n+a1 n-1+an-1 +an ,则则f( )E= nE+a1 n-1E+an-1 E+anE, B( )( E-A)= nB0+ n-1(B1-B0A)+ n-2(B2-B1A)+ (Bn-1 -Bn-2A)- Bn-1A 比较同次项系数比较同次项系数, ,得得以以An, ,An-1,A, ,E依次从右边乘上式依次从右边乘上式第第一式一式, ,第二式，第二式，第，第n式式, ,第第n1式式, ,得得把上式的把上式的n+1个式子一起加起来个式子一起加起来,左边变成零左边变成零,右边即右边即f(A),故故f(A)=0.定理得证定理得证.推论推论设设A是有限维空间是有限维空间V的线性变换的线性变换. . f f( ( ) )是是A的特征多项式的特征多项式(A在任一组基下的矩阵的特征多项式在任一组基下的矩阵的特征多项式），），那么那么f(A)=O.5 5 对角矩阵对角矩阵本节的任务是讨论哪一些线性变换本节的任务是讨论哪一些线性变换在一组适当基下的矩阵可以是对角矩阵在一组适当基下的矩阵可以是对角矩阵; ;进而如何寻找这一组基进而如何寻找这一组基. .定理定理 设设A是是n维线性空间维线性空间V的一个的一个线性变换线性变换,A在某一组基下的矩阵为在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是对角矩阵的充分必要条件是,A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理 属于不同特征值的特征向量属于不同特征值的特征向量线性无关线性无关. .推论推论 若若n维线性空间维线性空间V中中,线性变换线性变换A的特征多项式在数域中有的特征多项式在数域中有n个不同的根个不同的根,即即A有有n个不同的特征值个不同的特征值,则则A在某组基在某组基下的矩阵是对角矩阵下的矩阵是对角矩阵. .定理定理 若若 1, k,是线性变换是线性变换A的不同的不同的特征值的特征值,而而 是属于特征值是属于特征值 i 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量,(i =1,2,k)则向量组则向量组也线性无关也线性无关定理定理 若若 1, k,是线性变换是线性变换A的不的不同的特征值同的特征值,而而 是属于特征值是属于特征值 i 的的特征子空间特征子空间(i =1,2,k)则和则和是直和。是直和。定理定理设设A是是n维线性空间维线性空间V上的线性变换。上的线性变换。是是A的的k重特征值，则重特征值，则的维数不超过的维数不超过k。定理 数域数域P上上 n维空间维空间V的的线性变线性变换换A在某组基下的矩阵是对角矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵. . 当且仅当当且仅当（2）关于每个特征值关于每个特征值 ， 的维数等于它的重数。的维数等于它的重数。(1)在在P P中中A的特征值有的特征值有n n个（重根按个（重根按重数计算）；重数计算）；定理定理 数域数域P上上 n阶方阶方阵阵A相似于对相似于对角矩阵角矩阵. . 当且仅当当且仅当(1)在在P中中A的特征值有的特征值有n个（重根按个（重根按重数计算）；重数计算）；(2)关于每个特征值关于每个特征值齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数。的基础解系所含向量的个数。它的重数等于它的重数等于例例1 1判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系故故不能相似于对角矩阵不能相似于对角矩阵.A A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解解之得基础解系解之得基础解系所以所以可对角化可对角化.注意注意即矩阵即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应的位置要相互对应把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例3：已知方阵：已知方阵的特征值是的特征值是解：因为特征向量是解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵是是3阶方阵。阶方阵。因为因为有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以可以对角化。可以对角化。即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,使得使得其中其中求得求得2.求方阵的幂求方阵的幂例例4：设：设求求解：解：可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当时，时，系数矩阵系数矩阵令令得基础解系得基础解系:齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当时，时，系数矩阵系数矩阵令令得基础解系得基础解系:令令求得求得即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,使得使得3.求行列式求行列式例例5：设：设是是阶方阵，阶方阵，是是的的个特征值，个特征值，计算计算解解：方法方法1求求的全部特征值，的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。再求乘积即为行列式的值。设设的特征值是的特征值是即即的特征值是的特征值是方法2：已知已知有有个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以可以对角化，可以对角化，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,使得使得4.判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解：解：方法方法1的特征值为的特征值为令令3阶矩阵阶矩阵有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以可以对角化。可以对角化。例例6：已知：已知3阶矩阵阶矩阵的特征值为的特征值为1，2，3，设设问矩阵问矩阵能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,使得使得方法方法2：因为矩阵因为矩阵有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵能与对角阵相似。能与对角阵相似。例例7：设：设阶方阵阶方阵有有个互异的特征值，个互异的特征值，阶方阵阶方阵与与有相同的特征值。有相同的特征值。证明：证明：与与相似。相似。证：设证：设的的n个互异的特征值为个互异的特征值为则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵,使得使得又又也是矩阵也是矩阵的特征值，的特征值，所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵,使得使得即即即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,使得使得即即与与相似。相似。6 6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核定义定义 设设A是线性空间是线性空间V的一个线性变换的一个线性变换, ,A的全体象组成的集合称为的全体象组成的集合称为A的的值域值域, ,用用AV V 表示表示. . 所有被所有被A变成零向量的向量组成的集合变成零向量的向量组成的集合称为称为A A的的核核，用，用A1 1(0)(0)表示亦即表示亦即 AV = A V， A1(0)= V A =0定理定理 线性变换线性变换A的值域与核都是子空间的值域与核都是子空间.证证首先首先AV非空非空,并且对于并且对于V中任何向量中任何向量 , 和和k P，都有，都有 A + A = A( + )， kA =A(k )即即AV对对V的加法和数乘封闭的加法和数乘封闭,故故AV是是V的子空间的子空间.同样，由于同样，由于A(0)=0,故故0 A1(0),A1(0)非空非空设设 , 是是A1(0)中任何向量和中任何向量和k P由由 A =0，A =0，可知可知 A ( + )=0， A (k )=0所以，所以，A1(0)对加法和数乘封闭，对加法和数乘封闭，故故A1(0)是是V的子空间的子空间例例 线性空间线性空间V的零变换的零变换O的值域是零子的值域是零子空间，核是整个空间空间，核是整个空间V例例线性空间线性空间V的可逆变换的值域是的可逆变换的值域是V，核是零子空间核是零子空间例例线性空间线性空间Pnx的微分变换的微分变换D的的值域是值域是Pn-1x，核是一维子空间核是一维子空间P定义定义 值域值域AV的维数称为线性变换的维数称为线性变换A的的秩秩,记作记作r(A).核核A-1(0)的维数称为线性变换的维数称为线性变换A的的零度零度，记为记为nul(A) 定理定理 设设A是是n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换, 1, 2, n是是V的一组基的一组基.A在基在基 1, 2, n下的矩阵是下的矩阵是A，则，则(1)A的值域是由基的值域是由基 1, 2, n在在A下像下像生成的子空间生成的子空间,即即AV =L(A 1,A 2,A n)；(2)A的秩等于的秩等于A的秩，即的秩，即r(A)=dim(AV)=r(A)。(3)A-1证证 (1) (1) 设设 是是V中任一向量，可表示为中任一向量，可表示为 =a1 1+a2 2+an n于于是是 A =a1A 1+a2A 2+anA n L(A 1,A 2,A n)故故 A(V) L(A 1,A 2,A n)反之，显然有反之，显然有L(A 1,A 2,A n) AV所以所以A(V) =L(A 1,A 2,A n)(2)由由(1)(1)得得r(A)=rA 1,A 2,A n=r(A)(?)(?)(3)任取任取A-1-1(0)(0)中的向量中的向量 ，则有，则有A( ( ) = 0) = 0，亦即亦即 对于基对于基 1, 2, n的坐标的坐标( (x1,x2,xn)T满满足方程足方程Ax=0，即有，即有 A(x1,x2,xn)T =(0,0,0)T反之反之, ,任取线性方程组任取线性方程组Ax=0的一个解的一个解(a1,a2,an)T,则在基则在基 1, 2, n下坐标为下坐标为(a1,a2,an)T的向量就的向量就一定在一定在A-1(0)中中.定理定理 设设A是是n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,则则r(A)+nul(A)= n证证 设设 1, 2, n是是V的一组基的一组基.A在基在基 1, 2, n下的矩阵是下的矩阵是A，则，则r(A)=r(A)。由上定理之（由上定理之（3）知）知A-1所以所以A-1-1(0)(0)的维数等于线性方程组的维数等于线性方程组Ax=0的解空间的维数的解空间的维数, , 即即n-r(A), 故有故有 r(A)+nul(A)= n推论推论 设设A是是n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,则则下几条等价：下几条等价：(1)r(A)=n； (2)A是满射是满射；(2)nul(A)=0；(4)A是单射是单射。例例 设设A是是n维线性空间维线性空间V的线性变的线性变换换,且且A2=A，则，则A可以相似于对角可以相似于对角阵阵证证 先证明先证明V V是是A-1(0)和和AV的直和。再的直和。再分别取分别取A-1(0)和和AV的一组基，合起来的一组基，合起来构成构成V的基，且的基，且A在该基下矩阵就是对在该基下矩阵就是对角阵角阵7 7 不变子空间不变子空间一一. .概念概念定义定义 设设A是数域是数域P上线性空间上线性空间V的的线性变换线性变换,W是是V的子空间的子空间.如果如果W中中的向量在的向量在A下的像仍在下的像仍在W中中.换句话说换句话说,对于对于W中任一向量中任一向量 ,有有A W，就称就称W是是A的的不变子空间不变子空间,简称简称A-子空间子空间.例例1 1 线性空间线性空间V的平凡子空间的平凡子空间V和和0, 对于每个线性变换对于每个线性变换A, , 都是都是A- -子空间子空间. . 例例2 2 线性变换线性变换A的值域与核都是的值域与核都是A- -子空子空间间. . 证证 因为因为 AV V, 有有AAV V, , 所以值所以值域域 AV是是A-子空间子空间.又因为又因为 A-1(0),A =0 A-1(0),所以所以A的核是的核是A-子子空间空间. .例例3 3 设设A是是3维几何空间维几何空间V中以某一过原中以某一过原点的直线点的直线L为轴为轴, , 旋转一个角度旋转一个角度 的旋转的旋转变换变换. . 则旋转轴则旋转轴L是是A的的1 1维不变子空间维不变子空间; ;而过原点与而过原点与L垂直的平面垂直的平面H是是A的的2 2维不变子维不变子空间空间. .例例4 4 线性空间线性空间V的任意一个子空间都是的任意一个子空间都是任何一个数乘变换的不变子空间任何一个数乘变换的不变子空间. .例例5 5 若线性变换若线性变换A与与B可交换可交换, ,则则B的核的核B-1(0)与值域与值域BV都是都是A-子空间子空间.证证 B-1(0),由于由于 B(A )=(BA) =(AB) =A(B )=A(0)=0,故故A B-1(0),所以所以B-1(0)是是A-子空间子空间.又又 B BV,A(B )=B(A ) BV.所以所以BV也是也是A-子空间子空间. .注注 因为因为f(A)与与A可交换可交换, , 故故f(A)的值域与核的值域与核 都是都是A-子空间子空间.二二. . 特征子空间特征子空间命题命题 A的属于特征值的属于特征值 0的特征子空间的特征子空间V 0是是A的不变子空间的不变子空间, , 这里这里命题命题A-子空间的和与交还是子空间的和与交还是A-子空间子空间.三三. . 线性变换在不变子空间上的限制线性变换在不变子空间上的限制设设A是线性空间是线性空间V的线性变换的线性变换,W是是A的不变的不变子空间子空间.现在现在W中考虑中考虑A,即把即把A看成是看成是W的的一个线性变换一个线性变换,称为称为A在不变子空间在不变子空间W上引上引起的变换起的变换.记作记作A|W,常常仍用常常仍用A来表示来表示. 注意注意 A和和A| |W的异同的异同: : A是是V的线性变的线性变换换, ,V中每个向量在中每个向量在A下都有确定的像下都有确定的像; ; A| |W W是不变子空间是不变子空间W上的线性变换上的线性变换; ; 对于对于W中任一向量中任一向量 ,有有(A|W)=A .但对于但对于V中不属于中不属于W的向量的向量 ,(A|W) 没有意义没有意义. .例如例如, , 对于任一线性变换对于任一线性变换A,A|A-1(0)=0;另一方面另一方面,A在特征子空间上引起的变换是在特征子空间上引起的变换是数乘变换数乘变换, ,即即四四. . 关于生成子空间关于生成子空间如果线性空间如果线性空间V的子空间的子空间W是由向量是由向量组组 1, 2, s生成的生成的,即即W=L( 1, 2, s),则则W是是A- -子空间的充分必要条件为子空间的充分必要条件为A 1 1, , A 2 2, , , A s s全属于全属于W.证证 必要性是显然的必要性是显然的. .现在来证充分性现在来证充分性. . 如果如果A 1,A 2,A s全属于全属于W,由于由于W中每个向量中每个向量 都可以被都可以被 1, 2, s线性表线性表示，即有示，即有 =k1 1+k2 2+ks s.所以所以A =k1A 1+k2A 2+ksA sW.五五. .线性变换矩阵的化简线性变换矩阵的化简设设A是是n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,W是是V的的A-子子空空间间. .在在W中中取取一一组组基基 1, 2, k,将将其其扩扩充成充成V的一组基的一组基 1, 2, k, k+1, n则则A在这组基下的矩阵就有如下形状在这组基下的矩阵就有如下形状且且A1就是就是A| |W在在W的基的基 1, 2, k下的矩下的矩阵阵.证证 由由W是是A的不变子空间的不变子空间, , 所以有所以有 故其矩阵如上故其矩阵如上. . 反之反之, ,若若A在基在基 1, 2, k, k+1, n下下的的 矩阵如下矩阵如下则易证则易证, , 由由 1, 2, k,生成的子空间生成的子空间W是是A的不变子空间的不变子空间. .(2)(2)矩阵分解为准对角形与空间分解为矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和之间关系不变子空间的直和之间关系设设V分解成若干个分解成若干个A-子空间的直和：子空间的直和：V=W1 W2Ws在每一个在每一个A-子空间子空间Wi中取一组基中取一组基 i1, imi ,(i=1,2,s)合并成合并成V的一组基的一组基. .则在这组基下则在这组基下,A的矩阵具的矩阵具有准对角形状有准对角形状其中其中Ai(i=1,2）,就是就是A|Wi在基在基(1)(1)下的矩阵下的矩阵. .反之反之, , 若线性变换若线性变换A在一组基下的矩阵是准在一组基下的矩阵是准对角形对角形, ,则则V是一些是一些A-子空间子空间Wi的直和，且的直和，且准对角阵上的对角块是准对角阵上的对角块是A在在Wi的某组基下的的某组基下的矩阵。矩阵。六六. .空间按特征值的分解空间按特征值的分解定理定理 设线性变换设线性变换A A的特征多项式为的特征多项式为f( ) )可分解成一次因式的乘积可分解成一次因式的乘积 则则V可分解成可分解成A A不变子空间的直和不变子空间的直和 V=V1 V2Vs其中其中除了书上的证明外，有另一个证明。定理 A L(V),fi(x)Px,i=1,r.令则推论推论 设设（fi(x),fj(x)=1(ij),f(x)=fi(x).令令则则8 Jordan8 Jordan标准形介绍（标准形介绍（限制在复数域中）限制在复数域中）定义定义 形式为形式为 的矩阵称为的矩阵称为Jordan块块, ,其中其中 是复数是复数。用用J( ,t)表示表示t 阶，对角线上元素是阶，对角线上元素是 的的Jordan块块。由若干个由若干个JordanJordan块组成的准对角矩阵块组成的准对角矩阵称为称为JordanJordan形矩阵形矩阵, , 其一般形状其一般形状其中其中n注意：注意： （1 1）上面的）上面的 1, 2, , s中中有一些可以相等有一些可以相等. .（2）一阶一阶Jordan块就是一阶矩阵块就是一阶矩阵,因此因此Jordan形矩阵中包括对角矩阵形矩阵中包括对角矩阵. .（3)因为因为Jordan形矩阵是下三角形矩阵形矩阵是下三角形矩阵,所所以以,Jordan标准形中标准形中, ,主对角线上的元素正主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根是特征多项式的全部的根( (重根按重数计算）重根按重数计算）定理定理 设设A是复数域上的线性空间是复数域上的线性空间V的一的一个线性变换个线性变换,则在则在V中必定存在一组基中必定存在一组基,使使A在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是Jordan形矩阵。形矩阵。定理定理设设A是复数域上的一个方阵是复数域上的一个方阵,则则A相似于一个相似于一个Jordan形矩阵形矩阵。例例1 1 设设A是秩为一的是秩为一的n阶复方阵阶复方阵,若若trA=1,则则A2=A.证明证明 因为因为A相似于一相似于一Jordan形矩阵形矩阵J，可设可设A=P-1JP。所以。所以J的秩也为的秩也为1，trJ=1.于是于是J只有一个只有一个Jordan块块J1=J(a,k)不是不是零，该零，该Jordan块的秩为块的秩为1，迹也为，迹也为1。于是于是a=1,k=1.这样这样J12=J1，从而，从而J2=J。又又A=P-1JP，所以，所以A2=A。例例2 2 设设An=0. .证明证明| |A+E|=|=1。证明证明 因为因为A相似于一相似于一Jordan形矩阵形矩阵J，可设可设A=P-1JP。所以。所以A+E=P-1(J+E)P .因为因为A的特征值都是的特征值都是0，所以，所以J的特征值的特征值也是也是0，从而，从而J是主对角线上元素都是是主对角线上元素都是0的的下三角阵，这样下三角阵，这样|J+E|=1，从而，从而|A+E|=|P-1(J+E)P|=|P-1|J+E|P|=1。9 9 最小多项式最小多项式1.1.定义定义定义定义设设A是数域是数域P上上n阶方阵，阶方阵，f(x)Px。称称f(x)是是A的的零化多项式零化多项式，如果，如果f(A)=0; ;称称A的零化多项式的零化多项式f(x)是是A的的最小多项式最小多项式，如果如果f(x)首首1，且，且f(x)是是A的零化多项式中的零化多项式中次数最低者。次数最低者。n定理定理 数域数域P上上n阶方阵阶方阵A的最小多的最小多项式存在且唯一。项式存在且唯一。n定理定理 设设m(x)是方阵是方阵A的最小多项的最小多项式，式，f(x)Px。则。则f(x)是是A的零化的零化多项式，当且仅当多项式，当且仅当m(x)|f(x).n推论推论 最小多项式整除特征多项式。最小多项式整除特征多项式。n例例1 1 数量矩阵数量矩阵kE的最小多项式是的最小多项式是x-k。反过来最小多项式是一次的矩阵反过来最小多项式是一次的矩阵必是数量矩阵。必是数量矩阵。n例例2 2 求下矩阵的最小多项式求下矩阵的最小多项式n解解 A的特征多项式是的特征多项式是(x-1)(x-1)3 3 ，所以，所以A的最小多项式只可能是的最小多项式只可能是x-1,(x-1)2,(x-1)3.经验证经验证A-E0，（，（A-E)2 =0，所以所以A的最小多项式是的最小多项式是(x-1)2 。注注 找找A的的最小多项式首先求最小多项式首先求A的的特征多项式，特征多项式，再求出特征多项式的首再求出特征多项式的首1 1因子，由低次向高次，因子，由低次向高次，逐个把逐个把A代入验证，直到找出代入验证，直到找出A A的零化多项式为止。的零化多项式为止。n例例3 3 求求Jordan块矩阵块矩阵J(a,k)的最小的最小多项式多项式. .n解解的特征多项式为的特征多项式为(x-a)k ，但，但所以所以J的最小多项式为的最小多项式为（x-a)k .性质性质 相似矩阵具有相同的最小多项式。相似矩阵具有相同的最小多项式。但反之不真，如但反之不真，如3.3.用最小多项式来判别矩阵的用最小多项式来判别矩阵的 对角化问题对角化问题引理引理 准对角矩阵的最小多项式等于准对角矩阵的最小多项式等于其对角块矩阵的最小多项式的最小公倍式。其对角块矩阵的最小多项式的最小公倍式。注：用该引理求例注：用该引理求例2 2很方便。很方便。定理定理 数域数域P上的方阵上的方阵A与对角矩阵相似，与对角矩阵相似，当且仅当当且仅当A的最小多项式是的最小多项式是P上互素的一次上互素的一次因式的乘积。因式的乘积。推论推论复数域上的方阵复数域上的方阵A与对角矩阵相似，与对角矩阵相似，当且仅当当且仅当A的最小多项式无重根。的最小多项式无重根。例例4 4 设复矩阵设复矩阵A满足满足Al=E。证明证明A相相似于对角形。似于对角形。证明证明因为因为A的最小多项式是的最小多项式是xl-1 的因式，的因式，从而无重根，由推论知从而无重根，由推论知A相似于对角形。相似于对角形。例例5 5 设矩阵设矩阵A满足满足A2=A。证明证明A相似相似于对角形于对角形例例6 6 设矩阵设矩阵A满足满足A2=E。证明证明A相似相似于对角形于对角形例例7 7 设矩阵设矩阵A满足满足Al=0。证明证明A相似相似于对角形当且仅当于对角形当且仅当A=0。