第三章 傅里叶变换3.1 引言频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等重要概念。 发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传在研究热传导理论时发表了导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。3.2 周期信号傅里叶级数分析主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差一三角函数形式的傅里叶级数 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 由积分可知由积分可知1.三角函数集在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。其他形式余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱幅度频率特性和相位频率特性cn01c2c3c1c031n1n0131n1二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集2 2级数形式级数形式3 3系数系数利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性说明三两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线四总结（1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系（4）引入负频率引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式(2)两种频谱图的关系单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱关系关系(3)三个性质(4)引入负频率五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的2奇函数3奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现; ;表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。七傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数误差函数方均误差方均误差3.3 典型周期信号的傅里叶级数主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：主要讨论：频谱的特点，频谱的特点，频谱结构，频谱结构， 频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。其他信号，如其他信号，如周期锯齿周期锯齿脉冲信号脉冲信号 周期三角周期三角脉冲信号脉冲信号 周期半波余弦周期半波余弦信号信号 周期全波余弦周期全波余弦信号信号请请自学。自学。一频谱结构1.1.三角函数形式的谱系数三角函数形式的谱系数2.2.指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数3.3.频谱特点频谱特点1三角形式的谱系数2指数形式的谱系数3频谱及其特点(1)(1)包络线形状：包络线形状：抽样函数抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性）4总结 矩矩形形脉脉冲冲的的频频谱谱说说明明了了周周期期信信号号频频谱谱的的特特点点： 离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛性。说明说明1.问题提出二频带宽度第一个零点集中了信号绝第一个零点集中了信号绝大部分能量大部分能量（平均功率）（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 而总功率而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值二者比值在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频带宽度。2频带宽度对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为 的的频率区间定义为频带宽度。频率区间定义为频带宽度。一般把一般把第一个零点第一个零点作为信号的频带宽度。记为：作为信号的频带宽度。记为： 语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。3系统的通频带信号的带宽，才能不失真3.4 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件一傅里叶变换：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱1. 引出0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入引入频谱密度函数频谱密度函数。0w w（1）频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数单位频带上的频单位频带上的频谱值谱值1nw w- -j)(tdtetf频谱密度函数的表示2反变换由复指数形式的傅里叶级数由复指数形式的傅里叶级数3傅里叶变换对欧拉公式欧拉公式二傅里叶变换的表示实部实部虚部虚部实部实部虚部虚部模模相位相位实信号实信号 偶分量偶分量 奇分量奇分量 偶偶函数函数（奇奇分量为分量为零零）为为实实函数，只有函数，只有 ，相位，相位 奇奇函数函数（偶偶分量为分量为零零） 为为虚虚函数，只有函数，只有 ，相位，相位三傅里叶变换的物理意义实函数实函数欧拉公式欧拉公式积分为积分为0 求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号解释四傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。3.5 典型非周期信号的傅里叶变换矩形脉冲矩形脉冲单边指数信号单边指数信号直流信号直流信号符号函数符号函数升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号一矩形脉冲信号幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽：二单边指数信号频谱图幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：三直流信号不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求推导时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄四符号函数处理方法：处理方法：tea a- -tea a- -做一个双边函数做一个双边函数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件频谱图五升余弦脉冲信号频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。其频谱比矩形脉冲更集中。 3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激函数冲激偶冲激偶单位阶跃函数单位阶跃函数一冲激函数冲激函数积分是冲激函数积分是有限值有限值，可以用公式求。而，可以用公式求。而u(t)不不满足满足绝对可积绝对可积条件，不能用定义求。条件，不能用定义求。 比较冲激函数的傅里叶逆变换傅氏变换二冲激偶的傅里叶变换三单位阶跃函数