第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.2.能画出简单空间图形能画出简单空间图形( (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合易组合) )的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；斜二测画法画出它们的直观图；三年三年1717考考 高考指数：高考指数：3.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.4.会画某些建筑物的三视图与直观图会画某些建筑物的三视图与直观图( (在不影响图形特征的基础在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求上，尺寸、线条等没有严格要求).).1.1.三视图是新课标的新增内容，是高考的热点和重点，几乎年年三视图是新课标的新增内容，是高考的热点和重点，几乎年年考，主要考查简单几何体的三视图，同时考查空间想象能力和对考，主要考查简单几何体的三视图，同时考查空间想象能力和对空间几何体的认识；空间几何体的认识；2.2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点；重点，也是难点；3.3.对本节内容的考查常以选择题、填空题的形式出现，常将三视对本节内容的考查常以选择题、填空题的形式出现，常将三视图、直观图同几何体的表面积和体积综合在一起考查，难度不大，图、直观图同几何体的表面积和体积综合在一起考查，难度不大，属低中档题属低中档题. .1.1.空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几思考：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？何体是棱柱吗？提示：提示：不一定不一定. .尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行. .(2)(2)对于下图所给出的四个几何体，判断下列说法是否正确对于下图所给出的四个几何体，判断下列说法是否正确. .( (在括号内填在括号内填“”或或“”) )图图A A中的几何体是棱柱中的几何体是棱柱 ( )( )图图B B中的几何体是棱柱中的几何体是棱柱 ( )( )图图C C中的几何体是圆台中的几何体是圆台 ( )( )图图D D中的几何体是棱锥中的几何体是棱锥 ( )( )【解析【解析】根据各几何体的结构特征进行判断可得根据各几何体的结构特征进行判断可得正确，正确，错误错误. .答案：答案： (3)(3)如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角( (圆锥圆锥轴截面中两条母线的夹角轴截面中两条母线的夹角) )的度数是的度数是_._.【解析【解析】设圆锥的底面圆半径为设圆锥的底面圆半径为r r，母线长为，母线长为l. .由侧面展开图为半圆，得由侧面展开图为半圆，得2r=2r=l，l=2r.=2r.圆锥的轴截面中两条母线与底面圆直径构成的三角形为等边圆锥的轴截面中两条母线与底面圆直径构成的三角形为等边三角形三角形. .顶角为顶角为6060. .答案：答案：60602.2.三视图三视图 名称名称 几何体的三视图有几何体的三视图有:_:_、_、_画法画法1.1.画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线虚线. .2.2.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、方、_方、方、_方观察几何体得到的正投影图方观察几何体得到的正投影图. .规则规则1.1.画法规则：长对正、高平齐、宽相等画法规则：长对正、高平齐、宽相等. .2.2.摆放规则：侧视图在正视图的摆放规则：侧视图在正视图的_侧，俯视图在正视图侧，俯视图在正视图的的_方方. .正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图正前正前正左正左正上正上右右下下【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：如何画简单组合体的三视图思考：如何画简单组合体的三视图? ?提示：提示：先分清该组合体是由哪些简单几何体组成的，然后画出先分清该组合体是由哪些简单几何体组成的，然后画出其三视图其三视图. .(2)(2)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的列几何体中的_(_(填入所有可能的几何体的编号填入所有可能的几何体的编号).).三棱锥；三棱锥； 四棱锥；四棱锥； 三棱柱；三棱柱； 四棱柱；四棱柱；圆锥；圆锥； 圆柱圆柱【解析【解析】逐一将这些几何体看正视图可知四棱柱和圆柱的正视图逐一将这些几何体看正视图可知四棱柱和圆柱的正视图不可能是三角形不可能是三角形. .答案：答案：3.3.直观图与投影直观图与投影直观图直观图 空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用_画法来画，其规则画法来画，其规则是：是：(1)(1)原图形中原图形中x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴两两垂直，直观图中轴两两垂直，直观图中, ,xx轴、轴、yy轴的夹角为轴的夹角为_，zz轴与轴与xx轴和轴和yy轴所在平面轴所在平面_._.(2)(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中_，平行于，平行于x x轴和轴和z z轴的线段长度在直观图中轴的线段长度在直观图中_，平行于，平行于y y轴的线段长度在直观图中轴的线段长度在直观图中_._.投影投影 1.1.平行投影：平行投影的投影线平行投影：平行投影的投影线_，2.2.中心投影：中心投影的投影线中心投影：中心投影的投影线_斜二测斜二测4545( (或或135135) )垂直垂直仍平行仍平行于坐标轴于坐标轴长度不变长度不变长度长度为原来的一半为原来的一半平行平行相交于一点相交于一点【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果思考：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上有什么区别？上有什么区别？提示：提示：从观察角度看，三视图是从三个不同的位置观察几何体从观察角度看，三视图是从三个不同的位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形. .从从效果看，三视图是正投影下的平面图形；直观图是在平行投影效果看，三视图是正投影下的平面图形；直观图是在平行投影下画出的空间图形下画出的空间图形. . (2)(2)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确( (请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) )相等的角，在直观图中仍相等相等的角，在直观图中仍相等 ( )( )长度相等的线段，在直观图中长度仍相等长度相等的线段，在直观图中长度仍相等 ( )( )若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也垂直若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也垂直 ( )( )若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行 ( )( )【解析【解析】以正方体与其直观图为例，可说明以正方体与其直观图为例，可说明、不成立不成立. .由直观图画法知由直观图画法知成立成立. .答案：答案： 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【方法点睛【方法点睛】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力分析，多观察实物，提高空间想象能力. .(2)(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. .(3)(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可的，只要举出一个反例即可. .【例【例1 1】下列结论中正确的是】下列结论中正确的是( )( )(A)(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥六棱锥(D)(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解题指南【解题指南】根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断模型进行判断. .【规范解答【规范解答】选选D.D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故三棱锥，故A A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B B错错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故长，故C C错误错误. .【反思【反思感悟感悟】要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点利于从中找到解题的突破点. . 空间几何体的三视图空间几何体的三视图【方法点睛【方法点睛】1.1.三视图的特点三视图的特点俯视图在正视图的下方，且长度相等，侧视图在正视图的正右俯视图在正视图的下方，且长度相等，侧视图在正视图的正右方，且高度相等；侧视图与俯视图的宽度相等方，且高度相等；侧视图与俯视图的宽度相等. .2.2.三视图的常见题型及求解策略三视图的常见题型及求解策略(1)(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意“长长对正、高平齐、宽相等对正、高平齐、宽相等”的原则；的原则；(2)(2)由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要明确三视图的形成原理，些简单的几何体组合而成的；其次，要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图并能结合空间想象将三视图还原为实物图. .【提醒【提醒】1.1.画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡住的部分的轮廓线用虚线表示被遮挡住的部分的轮廓线用虚线表示. .2.2.严格按排列规律放置三视图，并标出长、宽、高的关系，对严格按排列规律放置三视图，并标出长、宽、高的关系，对准确把握几何体很有利准确把握几何体很有利. .【例【例2 2】(1)(1)如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角后如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出( (单位：单位：cm).cm).在正视图下面的矩形框内，按照画三视图的要求画出该多在正视图下面的矩形框内，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图面体的俯视图. .(2)(2012(2)(2012长春模拟长春模拟) )如图所示，某几何体的正视图与侧视图如图所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为都是边长为1 1的正方形，且体积为的正方形，且体积为 则该几何体的俯视图可以则该几何体的俯视图可以是是( )( )【解题指南【解题指南】(1)(1)根据三视图之间的关系画出俯视图即可；根据三视图之间的关系画出俯视图即可；(2)(2)先由部分三视图判断出几何体的形状，然后再确定俯视图先由部分三视图判断出几何体的形状，然后再确定俯视图. .【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示：如图所示：(2)(2)选选C.C.由正视图和侧视图可知，此几何体为柱体，易知高由正视图和侧视图可知，此几何体为柱体，易知高h=1h=1，且体积，且体积V=SV=Sh h= (S= (S为底面积为底面积) )，得，得S= S= ，结合各选项知，结合各选项知这个几何体的底面可以是边长为这个几何体的底面可以是边长为1 1的等腰直角三角形，故选的等腰直角三角形，故选C.C.【反思【反思感悟感悟】画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方，观察它是由哪些基本几何体组成，正前方、正左方和正上方，观察它是由哪些基本几何体组成，它的轮廓线是什么，然后再去画图它的轮廓线是什么，然后再去画图. . 空间几何体的直观图空间几何体的直观图【方法点睛【方法点睛】用斜二测画法画几何体直观图的关键点用斜二测画法画几何体直观图的关键点要注意原图形与直观图之间的要注意原图形与直观图之间的“三变、三不变三变、三不变”：【例【例3 3】(1)(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图的直观图. .(2)(2)如图所示，如图所示，ABCABC是是ABCABC的直观图，且的直观图，且ABCABC是边长为是边长为a a的正三角形的正三角形, ,求求ABCABC的面积的面积. .【解题指南【解题指南】(1)(1)先由三视图确定几何体的结构，然后画出直先由三视图确定几何体的结构，然后画出直观图观图. .(2)(2)根据斜二测画法规则建立适当的坐标系，将根据斜二测画法规则建立适当的坐标系，将ABCABC还还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角. .求解时要注求解时要注意线段和角的变化规律意线段和角的变化规律. .【规范解答【规范解答】(1)(1)该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后画上底面矩形，连线即成然后画上底面矩形，连线即成. .画法：如图，先画轴，依次画画法：如图，先画轴，依次画xx、yy、zz轴，三轴相交于轴，三轴相交于点点OO，使，使xOyxOy=45=45，xOzxOz=90=90. .在在zz轴上轴上取取OO=8 cm,OO=8 cm,再画再画xx、yy轴轴. .在坐标系在坐标系xOyxOy中作直观图中作直观图ABCDABCD，使得，使得AD=20 cmAD=20 cm，AB=8 cmAB=8 cm；在坐标系；在坐标系xOyxOy中作直观图中作直观图A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，使得，使得A A1 1D D1 1=12 cm=12 cm，A A1 1B B1 1=4 cm.=4 cm.连接连接AAAA1 1、BBBB1 1、CCCC1 1、DDDD1 1，即得到所求直观图即得到所求直观图. .(2)(2)如图所示，如图所示，ABCABC是边长为是边长为a a的正三角形，作的正三角形，作CDABCDAB交交yy轴于点轴于点DD，则，则CC、DD到到xx轴的距离轴的距离为为DAB=45DAB=45，AD=AD=由斜二测画法的法则知，由斜二测画法的法则知，在在ABCABC中，中，AB=AB=aAB=AB=a，ABAB边上的高是边上的高是ADAD的的二倍，即为二倍，即为 【反思【反思感悟感悟】直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用后运用“水平长不变，垂直长减半水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连的方法确定出点，最后连线即得直观图线即得直观图. .注意被遮挡的部分画成虚线注意被遮挡的部分画成虚线. . 【易错误区【易错误区】解答三视图问题的易错点解答三视图问题的易错点【典例】【典例】(2011(2011新课标全国卷新课标全国卷) )在一个几何体在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为应的侧视图可以为( )( )【解题指南【解题指南】先根据正视图和俯视图得到几何体的形状，然后先根据正视图和俯视图得到几何体的形状，然后再得到该几何体的侧视图再得到该几何体的侧视图. .【规范解答【规范解答】选选D.D.由正视图和俯视图可以推由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体( (如图所如图所示示) )，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选实线，故选D.D.【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时常出现以下错误：在解答本题时常出现以下错误：(1)(1)根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半圆锥看成半圆柱圆锥看成半圆柱, ,不能准确判断出几何体的形状而误选不能准确判断出几何体的形状而误选A.A.(2)(2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选对实线与虚线的画法规则不明确而误选C.C.备备考考建建议议解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：高度关注：(1)(1)画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图；求的视图；(2)(2)对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线示看不到的轮廓线. .在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查. .1.(20111.(2011浙江高考浙江高考) )若某几何体的三视图如图所示，则这个几若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是何体的直观图可以是( )( )【解析【解析】选选B.AB.A中正、俯视图不相符；中正、俯视图不相符；B B中三视图都相符；中三视图都相符；C C中正、中正、俯视图不相符；俯视图不相符；D D中侧视图不相符中侧视图不相符. .故选故选B.B.2.(20112.(2011山东高考山东高考) )如图是长和宽分别相等的如图是长和宽分别相等的两个矩形两个矩形. .给定下列三个命题：给定下列三个命题：存在三棱柱，存在三棱柱，其正其正( (主主) )视图、俯视图如图；视图、俯视图如图；存在四棱柱，存在四棱柱，其正其正( (主主) )视图、俯视图如图；视图、俯视图如图；存在圆柱，其存在圆柱，其正正( (主主) )视图、俯视图如图视图、俯视图如图. .其中真命题的个数是其中真命题的个数是 ( )( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【解析【解析】选选A.A.只需只需底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；正四棱柱平躺；正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真圆柱平躺即可使得三个命题为真. . 3.(20123.(2012焦作模拟焦作模拟) )已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2 2，以下给出，以下给出a,b,c,da,b,c,d四种不同的三视图，其中可以正确表示这四种不同的三视图，其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的个数有个正三棱柱的三视图的个数有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析【解析】选选D.D.把三视图还原成几何体，把三视图还原成几何体，a a、b b、c c、d d都是表示该正都是表示该正三棱柱的三视图三棱柱的三视图. .4.(20124.(2012长沙模拟长沙模拟) )如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形形OABCOABC，且该梯形的面积为，且该梯形的面积为 则原图形的面积为则原图形的面积为( )( )(A)2 (B) (C) (D)4(A)2 (B) (C) (D)4【解析【解析】选选D.D.由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的度不变，高为直观图中梯形高的 倍，故原图形的面积为倍，故原图形的面积为