2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3频率分布频率分布直方图直方图数数 学学 情情 景景第一步：分组第一步：分组确定组数，组距？确定组数，组距？区区间号号区区间频数数频率率累累积频率率频率率/组距距1153.5157.550.05950.05950.0152157.5161.580.09520.15470.0243161.5165.5100.11900.27380.0304165.5169.5150.17860.45340.0455169.5173.5180.21430.66670.0546173.51775180.17860.84520.0457177.5181.580.09520.94050.0248181.5185.550.059510.015第二步：列出频率分布表第二步：列出频率分布表xy频率频率/组距组距中间高，两头低，中间高，两头低，左右大致对称左右大致对称第三步：作出频率分布直方图第三步：作出频率分布直方图频率频率组距组距产品产品尺寸尺寸（mm）ab 若数据无限增多且组距无限缩小，那么若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为此曲线为概率密度曲线概率密度曲线总体在区间总体在区间 内取值的概率内取值的概率概率密度曲线概率密度曲线概率密度曲线概率密度曲线的形状特征的形状特征 “中间高，两头低，中间高，两头低，左右对称左右对称” 知识点一：正态密度曲线知识点一：正态密度曲线 上图中概率密度曲线具有上图中概率密度曲线具有“中间高，两头中间高，两头低低”的特征，像这种类型的概率密度曲线的特征，像这种类型的概率密度曲线, ,叫叫做做“正态密度曲线正态密度曲线”，它的函数表达式是，它的函数表达式是知识点二：正态分布与密度曲线知识点二：正态分布与密度曲线 式中的实数式中的实数 、 是参数是参数,分别表示总分别表示总体的体的平均数与标准差平均数与标准差.不同的不同的 对应着不同的对应着不同的正态密度曲线正态密度曲线)0(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。高尔顿板高尔顿板cdab平均数XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 a0)0)和和N N( (2 2, ) (, ) (2 20)0)的密度函数图象如的密度函数图象如 图所示图所示, ,则有则有 ( )( ) A. A.1 1 2 2, ,1 1 2 2 B.B.1 1 2 2 C. C.1 1 2 2, ,1 1 2 2, ,1 1 2 2 解析解析 由正态分布由正态分布N N( (, ,2 2) )性质知性质知, ,x x= =为正态密为正态密 度函数图象的对称轴度函数图象的对称轴, ,故故1 1 2 2. .又又越小，图象越越小，图象越 高瘦高瘦, ,故故1 1 2 2. . A= 0.5012-1-2xy-33X= 1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质例例3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（。下列说法中不正确的是（ ）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。对称区域面积相等。-a+a正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。-x1 -x2 x2 x14、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。例例4：某厂生产的圆柱形零件的外直径某厂生产的圆柱形零件的外直径服从服从正态分布正态分布 ，质检人员从该厂生产的，质检人员从该厂生产的10001000件零件中随机抽查一件，件零件中随机抽查一件， 测得它的外直测得它的外直径为径为5.7cm5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合试问该厂生产的这批零件是否合格？格？解：解：() ()概率只有之外取值的在，正态分布003，. 05 . 034, 5 . 03425. 04+-N 这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件生的小概率事件.据此可认为该批零件是不合格的。据此可认为该批零件是不合格的。例例4、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正服从一个正态分布，即态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？设设 ，试求：，试求：练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（ ）A.(90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115A2、已知、已知XN (0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 = , = .4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).D0.50.95445、若已知正态总体落在区间、若已知正态总体落在区间 的概率为的概率为0.5，则，则相应的正态曲线在相应的正态曲线在x= 时达到最高点。时达到最高点。0.36、已知正态总体的数据落在（、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落）里的概率和落在（在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是期望是 。17、 已知已知 ，且，且 ， 则则 等于等于( ) A.0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.4A 1.1.熟练地掌握正态密度曲线的解析式熟练地掌握正态密度曲线的解析式 x x R R. .注意结构特点注意结构特点, ,特别是参数特别是参数 的一致性的一致性. .2.2.理解正态曲线的形状特征理解正态曲线的形状特征, ,如对称轴、顶点变化趋如对称轴、顶点变化趋 势等势等. .3.3.若若XNXN( (, ,2 2),),则则P P( (- - X X+ +)=0.682 6,)=0.682 6, P P( (-2-2 X X+2+2)=0.954 4,)=0.954 4, P P( (-3-3 2) 2) 的值为的值为 ( ) ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析解析 根据正态曲线的对称性根据正态曲线的对称性, , P P(-2(-22)=22)=2P P(-2(-20)=0.8.0)=0.8.A知能迁移知能迁移2 2 设设XNXN(1,2(1,22 2),),试求试求 (1)(1)P P(-1(-1X X3);3); (2) (2)P P(3(3X X5);5); (3) (3)P P( (X X5).5). 解解 XNXN(1,2(1,22 2),),=1,=1,=2.=2. (1) (1)P P(-1(-1X X3)=3)=P P(1-2(1-2X X1+2)1+2) = =P P( (- - X X+ +) ) =0.682 6. =0.682 6. (2)(2)P P(3(3X X5)=5)=P P(-3(-3X X-1)-1)P P(3(3X X5)= 5)= P P(-3(-3X X5)-5)-P P(-1(-1X X3)3)= = P P(1-4(1-4X X1+4)-1+4)-P P(1-2(1-2X X1+2)1+2)= = P P( (-2-2 X X+2+2)-)-P P( (- - X X+ +) )= = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(3)(3)P P( (X X5)=5)=P P( (X X-3),-3),P P( (X X5)= 5)= 1-1-P P(-3(-3X X5)5)= 1-= 1-P P(1-4(1-4X X1+4)1+4)= 1-= 1-P P( (-2-2 X X+2+2)= (1-0.954 4)=0.022 8. = (1-0.954 4)=0.022 8.