第第4 4节基本不等式节基本不等式 考纲展示考纲展示 1.1.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程. .2.2.会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大( (小小) )值问值问题题. .知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理(1)(1)基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件:a0,b0.:a0,b0.(2)(2)等号成立的条件等号成立的条件: :当且仅当当且仅当 时取等号时取等号. .a=ba=b算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数2.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值a=ba=b(2)(2)两个正数的积为定值时两个正数的积为定值时, ,它们的和有最小值它们的和有最小值, ,即若即若a,ba,b为正实数为正实数, ,且且ab=P,Pab=P,P为定为定值值, ,则则a+ba+b , ,等号当且仅当等号当且仅当 时成立时成立.(.(简记简记: :积定和最小积定和最小) )a=ba=b3.3.几个常用的不等式几个常用的不等式(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(a,b2ab(a,bR R).).A A对点自测对点自测B BB B4.(4.(20182018通辽模拟通辽模拟) )若实数若实数x,yx,y满足满足xy=1,xy=1,则则x x2 2+2y+2y2 2的最小值为的最小值为. .答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一利用基本不等式求最值考点一利用基本不等式求最值( (典例迁移典例迁移) )答案答案: :(2)1(2)1迁移探究迁移探究1:1:在本例在本例(1)(1)的条件下的条件下, ,求求xyxy的取值范围的取值范围. .迁移探究迁移探究2:2:在本例在本例(1)(1)的条件下的条件下, ,求求4 4x x+2+2y y的最小值的最小值. .迁移探究迁移探究3:3:若将本例若将本例(1)(1)中中“2x+y=12x+y=1”改为改为“2x+y=a2x+y=a”, ,如何求解如何求解? ?反思归纳反思归纳(1)(1)利用基本不等式求最值需注意以下三个方面利用基本不等式求最值需注意以下三个方面:各数各数( (式式) )均为正均为正;和或积和或积为定值为定值;等号能否成立等号能否成立. .这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可, ,为便于记忆简述为为便于记忆简述为“一正、二一正、二定、三相等定、三相等”. .(2)(2)合理拆分项或配凑因式或合理拆分项或配凑因式或“1 1”代换是常用技巧代换是常用技巧, ,目的是构造出基本不等式目的是构造出基本不等式的框架形式的框架形式. .(3)(3)当多次使用基本不等式时当多次使用基本不等式时, ,要保证等号能同时取得要保证等号能同时取得. .考点二利用基本不等式证明不等式考点二利用基本不等式证明不等式反思归纳反思归纳利用基本不等式证明不等式的技巧利用基本不等式证明不等式的技巧利用基本不等式证明不等式时利用基本不等式证明不等式时, ,首先要观察题中要证明的不等式的形式首先要观察题中要证明的不等式的形式, ,若不能若不能直接使用基本不等式直接使用基本不等式, ,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形, ,使之达使之达到能使用基本不等式的条件到能使用基本不等式的条件; ;若题目中还有已知条件若题目中还有已知条件, ,则首先观察已知条件和所则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系证不等式之间的联系, ,当已知条件中含有当已知条件中含有1 1时时, ,要注意要注意1 1的代换的代换. .另外另外, ,解题中要时解题中要时刻注意等号能否取到刻注意等号能否取到. .考点三基本不等式的实际应用考点三基本不等式的实际应用【例例3 3】( (20182018柳州月考柳州月考) )某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园形公园ABCD,ABCD,公园由形状为长方形公园由形状为长方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的休闲区和环形公园人行道的休闲区和环形公园人行道( (阴影阴影部分部分) )组成组成. .已知休闲区已知休闲区A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的面积为的面积为4 0004 000平方米平方米, ,人行道的宽分别为人行道的宽分别为4 4米米和和1010米米( (如图所示如图所示).).(2)(2)要使公园所占面积最小要使公园所占面积最小, ,则休闲区则休闲区A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的长和宽该如何设计的长和宽该如何设计? ?反思归纳反思归纳有关函数最值的实际问题的解题技巧有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)(1)根据实际问题抽象出函数的解析式根据实际问题抽象出函数的解析式, ,再利用基本不等式求得函数的最值再利用基本不等式求得函数的最值. .(2)(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. .(3)(3)解应用题时解应用题时, ,一定要注意变量的实际意义及其取值范围一定要注意变量的实际意义及其取值范围. .(4)(4)在应用基本不等式求函数最值时在应用基本不等式求函数最值时, ,若等号取不到若等号取不到, ,可利用函数的单调性求解可利用函数的单调性求解. .(2)(2)该厂家该厂家20182018年的促销费用投入多少万元时年的促销费用投入多少万元时, ,厂家的利润最大厂家的利润最大? ?备选例题备选例题答案答案: :3636点击进入点击进入应用能力提升应用能力提升点击进入点击进入阶段检测试题阶段检测试题