第二章 几何证明2.3 几个著名的几何定理 在几何学的发展历史中，许多经久不衰的平面几何名题推动着几何学的发展，乃至整个数学的发展，它们在解决相关问题时有着很大的作用，尤其在思想方法上作用. 1. 梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelaus)定理定理 直线l分别交ABC的三边BC、CA 、AB (或其延长线) 于X、Y、Z, 如图 . 求证： 证法1 注意到3个比例式对应的线段. 为此过点B作l的平行线交AC的延长线于D.BZYXCAlD 于是，利用平行线产生的比例线段进行替换即可得证. 注意：也可过点C作直线l的平行线.BZYXCAl 证法2 (利用面积法证，留作课后研究) 说明：(1) 结论中的线段若换成有向线段则等式右边为1； (2) 该定理的逆定理也成立，称为梅涅劳斯逆定理. 其证明留作课后研究； (3) 该定理及其逆定理合称为“梅氏准则”： 在ABC中，设X, Y, Z分别位于BC, CA, AB或其延长线上，则X, Y, Z共线的充要条件是 (4) 利用梅氏准则解决有些问题时思路可变得相当简捷，其逆定理常用于证明三点共线； (5) 梅涅劳斯定理还可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧式空间中； (6) 梅氏准则还有对应的角元形式.BAEZDYXCF 例1 设四边形ABCD两双对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点X、Y、Z共线.（牛顿线）LNM 证明 利用梅氏准则.没有直接符合梅氏准则的相关条件, 故需构造相关图形. 注意到题目中的中点较多, 因此如图取中点. 例2 设两个三角形ABC和 彼此对应, 使得对应点的连线 共点, 那么对应边的交点共线. (代沙格Desargues定理)NMCBLOA 证明 应用梅氏准则. 例3 如图, 和ABC的三边所在的3条直线都相切, E, F, G, H为切点, 直线EG与FH交于点P.求证：PABC.PHGFECBA 证明 过A作ADBC于D, 延长DA交HF于D 对ABD及截线FP 应用梅氏定理, 有 由BF=BH,有又 , A , , 三点共线, 连 则由有AG AH , 即PHGFECBAD故 又CE=CG, 则 对CAD应用梅氏逆定理, 知 , G , E三点共线,即 为直线EG与FH的交点. 即点 与点P重合. 亦即PABC. 例4 在直角梯形ABCD中, 以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E, 自E作EFAB于F, 连结AC交EF于M. 求证AC平分EF.EADCBMF 证明 利用梅氏准则.S 延长两腰,设它们相交于S,则在SEF, 因A, C, M共线, 同时注意到DE=AD, EC=BD,可得则有及ADBC 2. 两条著名的线两条著名的线 (1) 欧拉(Euler)线 在任一三角形中，外心、垂心和重心共线.DGHOCBA 证法1 连接O, H容易证明OH与AD的交点就是重心G.(后略)12 证法2 运用梅氏准则，连接OC分别交AD、AH于 . 由 可得 再分别计算所需的各项比.(略) (2) 西摩松(Simson)线 三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线.(其逆亦真)PCBAZYX 证法1 利用邻补角(如图). 证法2 利用梅氏准则 例5 设ABC的高线AD, BE, CF, 其中D, E, F为垂足, 从点D作AB, BE, CF, AC的垂线, 垂足分别为P, Q, R, S. 则P, Q, R, S共线.QPFEDCBAHSR 证明 注意到题目中有较多共圆关系, 考察是否可以利用西摩松定理. 例6 如图, 延长凸四边形ABCD的对边AB与DC,AD与BC分别相交于E, F. 求证：BCE, CDF,ADE, ABF的四个外接圆共点.MFEDCBA 证明 设BCE与CDF的两个外接圆交于C, M点. 设点M在直线BE, EC, BC上的射影分别为P, Q, R,则由西摩松定理, 知P, Q, R三点共线.PQRS 同理, M点在直线DC, CF, DF的射影Q, R, S三点也共线, 故P, Q, R, S四点共线. 在ADE中, P在直线 AE上, Q在直线DE上, S在直线AD上,且P,Q,S共线, 则由西摩松定理的逆定理知M在ADE的外接圆上. 同理M也在ABF 的外接圆上. 3. 塞瓦塞瓦(Cera)定理定理 (准则准则) 在ABC中, 设 X, Y, Z 依次在三边 BC, CA,AB或其延长线上，则 AX, BY, CZ 共点或平行的充要条件是PZYXBCAZYXCBAPZYXBCAZYXCBA 证法1 必要性：(1)平行情况易证；(2)共点情况可以用梅涅劳斯定理证明. 充分性：类似梅涅劳斯定理充分性的证明. 证法2 可利用面积法证. 例7 三角形的三条角平分线共点.IFEDCBA 证明 可利用塞瓦(Cera)定理 . 例8 在四边形ABCD中, 两组对边延长后的交点为E, F, 且EFBD, 延长AC交EF于G.求证：EGGF.HGFEDCBA 证法1 可如图引辅助线证. 证法2 若可利用塞瓦定理 来证, 则不用作辅助线且简捷. 4.托勒密托勒密(Ptolemy)定理定理 (准则准则) 圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线乘积.EDCBA 分析 作12, 则ABECAD, 从而可证ABCAED.xy12 注：注：(1) 其逆亦真, 称为托勒密逆定理； (2) 对于任意凸四边形ABCD均有：ABCD+BCADACBD, 当且仅当ABCD时圆内接四边形时取等号. 例10 在ABC中, ABAC, 点O是外心,两条高BE,CF交于H点，点M, N分别在线段BH, HF上, 且满足BM=CN. 求证： 的充分必要条件是A=60. 证明 AMNHOFECB连OB、OC，则BOC=2A，BHC=180HBCHCB=B+C=180 A又OB=OC=R(R为外接圆半径) .MH+NH=(BH-BM)+(CN-CH)=BH-CH .AMNHOFECB 例11过圆外一点P作圆O的两条切线和割线，切点为A、B, 所作割线交圆于C、D两点C在P, D之间在弦CD上取一点Q，使得DAQ=PBC求证：DBQ=PACCOAPBDQ易知ADQABC BCAD=ABDQ分析：由切割线关系知：PCAPAD，PCBPBD，从而有 ,由于PA=PB 即 ACBD=BCAD 由有 ACBD=ABDQCOAPBDQ 由圆内接四边形的托勒玫定理，有： ACBD + BCAD = ABCD 再根据、得：2ABDQ=ABCD 即 CQ=DQ 由、得： 又 BCQ=BAD CBQABD ABD=CBQ DBQ=ABC=PAC 证毕例12 证明：西摩松定理与托勒枚定理等价.证明证明（1）由西摩松定理证明托勒枚定理如图，由西摩松定理得：ZY+YX=ZX 由A、Z、Y、P共园、且AP是该园的直径及正弦定理：ZY=APsinZPY=APsinZAY ,sinZAY= sinBAC=OAZYXPCBOAZYXPCB将以上三式代入式得：APBC+ ABPC= ACBP .(2)由托勒枚定理证西摩松定理(略).例13 O是ABC的外接圆，P是内心，射线AP交O于D. 求证AB、BC、CA成等差数列的充要条件是 5. 斯特瓦尔特斯特瓦尔特(Stewart)定理定理 设B,P,C依次分别为从A点引出的三条射线AB, AP, AC上的点, B, P, C共线的充要条件是PCBA 证明 分别对ABP和APC应用余弦定理, 易证. 6. 张角定理定理张角定理定理 设B, P, C依次分别是从点A引出的三条射线AB, AP, AC上的三点, 线段BP, PC对点A的张角分别是 且 , 则B, P, C共线的充分必要条件是PCBA 7. 密克密克(Auguste Miquel )定理定理 在三角形的三边(所在直线)上各取一点,过过一个顶点及两邻边所取点作圆, 则所作三圆交于一点.ZYXCBAO 例14 四条直线相交成四个三角形, 证明这四个三角形的外接圆共点. 8. 九点圆定理九点圆定理 任意三角形三条高的垂足, 三边的中点及垂心与顶点的连线的中点, 这九点共圆.LKIHGFEDCBAJ 9. 蝴蝶定理蝴蝶定理MFEDCBAQP 设AB是O的弦, M 是AB的中点, 过M作任意二弦CD, EF, 记P, Q依次为与CF, ED的交点. 则 PM=PQ.OF11212345证法一：利用对称造全等形.MFEDCBAQP证法二： 利用相似三角形的比例关系，再将比例转化用面积比来转化.MFEDCBAQP(合比、分比)MFEDCBAQP证法三：