教师姓名学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称非线性递推关系1、等差数列的递推公式4 = 4 _ + d ,所代表的函数x) = x + d图像2、(训2对应4 e (0,1)的情形例 1、数列 / 满足： = 0,Xx+i = /2 + x * + c 5 e 犷 ) ，求 C的取值范围，使 / 是递增数列 .第二步：方法一： 假设=4命题成立，即 毛 0 = 演 +1- 敌=c -x / On x j c O| x ,| -;_ , J 1丫 1 +6 J当+1 = xn + x,+c- +2 ,故天+1 W 2. . + x+ x + xlt+| - 1 1 V 1 1 方法二：X + i =T ： + X “ +C X _ 3 +-,故%+5，Xn X+ | -乙） 乙 N 乙（1V 1 （ 则根据函数y = - x ： +c +-S -0 0 -上单调递增，可 得 加 % ，第三步：由数学归纳法可知数列为单调递增数列总结：本题方法二根据一元二次函数的单调性判断数列的单调性对应 4 （ - 1 , 0）例2、定义数列 4 ,满足七 川1 1- ,X.=一X+l 2 如果存在常数P,使对任意正整数“ ，总有（ 兀-/ （ x“ -p） 0成立，求常数p的值;4 卜 1茕) ；( 3 ) 证明：k + |-p |4 p |x .-p |,根据：2013年浦东一模、2009陕西高考改编答案：（ 1）方法一：极限的方法；方法二：奇偶法,-J5 1提示：数形结合可知当增大时，乙越来越集中( 2 ) 证明：当 = 1时，|- 引= 1, 结论成立当 = 2 时，由 数 列 归 纳 法 可 得 因 此K,-I= =/ 4 1a、 -K,-XIl + x. l + x,.1 (l + x )(1+ %_,) 5即 |x“+i| x_j -X_2| x2 -x( 3 ) 证明：首 先 0 ,因此阂= 击葛产试一试、设4 = 1 , + 1 =萩- 2% + 2 -1，问：是否存在实数c使得a2n c a2n+对所有wN*成立，证明你的结论选 自 : 2014重庆解析：存在，c = 4试一试：若内= 4 ,怎=, 2怎 _ + 3 ( 之2 , N ) ,求证：氏一3 1氏_ 一3 证明：|x - 3 | = 1 7 2 7 3 - 3 | = |-1 |x, , - 3 |11 3T+3 + 3 3对应q - l例3、不等式8s2 xv 0对任意ZIGN恒成立，求实数工的取值集合.2刀 答案：X - 2k?r,kwZ3选自：2 01 7年宝山一模，选题理由：对二倍角公式的深刻理解，也是一个斜率小于1的典型题目1 = 0 / = 12( 因 为 471 7 co s x co s 2x ,83 2故 限 定 范 围1C O S X ,4I 3C O S X 2 )4所以 co s x = - 1,则 co s 2 x =- ，22X = 2k7T；34、由数列的单调性判断囚的位置例4、已知/ (%) = - 2/ + 2 ，数列 满足。 +1=/(% ),6(1)若数列 % 是周期数列，则首项为的值是(2 )若数列是递增数列，则首项为 的取值范围是(3 )若数列时递减数列，则首项q的取值范围是一答案：(1 )当 = 0 , 时，为周期数列，2( 2 )当司(0,；卜，为单调递增数列，( 3 )当X |(YO, 0 ) U (1 ,E)时，为单调递减数列.( 4 )当时，xlx2x3x4-关键：/： /A. (0.50, 0.50) % ! /22解析： (1) f (-) = 2,x2 + 2.x = 2x + ,(2) q 0,g此时a2- ai= -2a： + 40100 2 a2 ；假设4 %+i ；an+ = -2 4 + 2aa = 2(a” 一；1 + g , /(X)在 *, an+l 0 , an e (0 , l ) U (2 , -H) ,由 y = 2 x + Z 3 的图像可知，当anx4 2 ,包)时，数列是递增数列；当4 0 , 1 )时，还需为0 , 1川 (2 ,小 ) ，解得此时为 e (2 , +8 ) ,数列也是递增数列.2(2 ) 4用- % =% + -3 o , q e (l , 2 ) ,由 y =2 x+2 3 的图像可知，当卬6。,2 )时，(2 )若数列是递减数列，则首项为 的取值范围是答案：(1 ) ( o , -3 ) U (-l , 1 ) U (3 , 4 w) (2 ) (1 , 3 )提示：8例5、数列 4 满足：4X=4 * ( N * )且/ = g ，证明:(1)0, ； (2) 1 2),(1 )求证：1为发散的不动点，2为收敛的不动点;c i 1 c i +1解析：r=4 2% -2 4 _ -2 _2% +1、2、% -1 - 27如 果 在 1 附近，则由上述迭代关系可得，册将远离1 ；Miz2_2a 2 U . + 1 2同理： 二也一=5% + 14 1 - 2 一 | _an- - 1如 果 在 2附近，则由上述迭代关系可得，册将靠近2 .例 7 、己知数列 % 满足为4 a-2(n2)( 1 ) 若数列是递增数列，则首项为 的取值范围是( 2 ) 若数列是递减数列，则首项片的取值范围是答案：(1 , 2 ) (2 ) (2,-KO)例 8 、若 P为函数 =二 /图像上任一点(除不动点外) ，A (1 ) , B (2 , 2 ) 为其不动点，则 也 为 定x+lkpB值 .解析：因为4 x - 2 _ x+l =3( x Ty - 2 4x-2- -z2 x- 2 ),即旦叩x-1 2 x-2、7,故 如 = 3 .kpB 2% + 1i o苣I课堂练 习 遨I1 、 设常数/ l e R , 无穷数列 4 满足q = T , 若存在常数M , 使得对于任意“ e N * ,不等式4 VM恒成立，则2 的最大值是一、 2答 案 : -3选自：2 0 1 8 . 0 9 松江高三开学考1 22已知数列 % 满足：ax = - a + m9其中及wN * , 加wR .8( 1 )若的 、， 、七成等差数列，求机的值；( 2 ) 若“ 2 = 0,求数列 % 的通项为;( 3 ) 若对任意正整数，都有4 m- 2 . 1 分8 8故 an =(乙 一) + (一一。 ”2 ) + , + (% 一。 】 ) + 4 2 4 + ( - D (机 一 2 ) ,当/ %2时，令 q + ( 一 1 ) (加一2 ) 2 4 ,即之住 + 1,m - 2则% 2 4 + (- 1)(2 - 2 )2 4,与己知矛盾； . . .3分所以，/ % V 2。 . . .4分(另解：当机2时，注意到时， ( m -2 )(n- 1) - + oo因此， 存在充分大的“，使得1 + (m - 2 )(- 1)4,即可 4,与已知矛盾)若机=2,则+ | = ：片 + 2,下用数学归纳法证明0% 4 ,O当 = 1 时，显然成立，假设() 为 4,则七十1 =,a； + 2，x 4 2 + 2 = 4,而。 1。显然成立。8 8故对所有正整数，都有因为 4 + 1 =正（ 醺- 无） 2 + 上一 1 知 X*+X* = 1一（ / 一 短 + 上一 1一 4 0- - S* =（ 与 一X ） + （ 勺一万） + + （ X g + i 勺） =X * + i X jl i m S, = l i m - X i ) = l i m x , . , - x , = l i m x, - k = 左一| 上一一 =ix S+ 1 1， x + i i * I 4 J I 4) 44、对于数列i ,迎， ，若使得加一 x “ 0对一切 e N *成立的m 的最小值存在,则称该最小值为此数列的“ 准最大项“。若数列 y j满足 = 1方 =6 ,且为+ 1 = P + s m ） “ % + c os y ” （ 券 券- J则下列结论正确的应为（ ）A、数列 为 ， ， 的 “ 准最大项”存在，且为2万 。B、数列 力 ， ， 的 “ 准最大项”存在，且为 初 。C、数列九 %， ， 的 “ 准最大项”存在，且为4万 。D、数列% , %， ， 的 “ 准最大项”不存在.答案：B按计算器必=6 4-sin 6 = 5.72 y3y5 = Ans + sin Ans = 6.84 y4 ,继 续 按 = , 五次后会稳定到31图像的角度，y. 一旦进入（ 27,3不 ） 内，就会单调递增趋近于3万5、如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y = x等分成八个区域（ 不含边界），已知数列 4 , 5表示数列 4 的前项和，对任意的正整数，均有a .（ 2 S . , , ） = 1,当 % 。时，点匕（）A .只能在区域B .只能在区域和C .在区域均会出现D .当为奇数时，点与在区域或，当为偶数时，点匕在区域或选 自 : 2017-2018学年闵松二模-16答案：B解析：2s,= % + -!-, 2S+ 1=an+1+, 两式相减可得% 4+1“ +1 % +1 %如果匕口 , 。 , 山 ） 位于区域，则 % + | 。 “ ，4 0 , % 0 , 则等式q用+ 4 = 4 一左边为正、右an+an边为负，不合题意：如果匕（ 生， 4 山） 位于区域，则% + Q,an+ Q ,则等式% +1+a“ = 为二9 且左边为正、右边为正，可能符合题意；14如果匕(a.,a+1)位于区域，则an+l 0 , an+ 0 , 则等式a“+ +% = 员一包 左边4 + 1 %为正、右边为负，不合题意；如果匕( % , 。 “ + 1) 位于区域，则” “ + % , an +a+1 0 , a+I 0,机为正偶数，数 列 上 满足玉= 匕,-/( 数学归纳法证明4 e 仇 - b ) , 假设-瓦 句 , 则%1+, =b+ax, b+ab 0 ( 。 0,， 为正彳禺数) ，b ,由数学归纳法可得4 e 色-句必要性设ab- + 2 b + a-h) + h0第一步：( 由数学归纳法证明% 尤 1 一 ) ，假设4 则xM -xk =b + ax； xk b + a(-b) +b0( xk+l xk-b ,由 y = b + x” 在 xe(0,+oo)上的单调性)由数学归纳法可得x“ X_, -h ,第二步：( 证明“ 不仅单调递增，而且增加的速度越来越快，即证明X”+I-X X,- X,I， (- 1N2 )，)x+1x=b+若 - 9 + 双3 ) = a (x“ - J ( 琮t + 琛+ + 熠 )2 am(-b) (x f _J 2m(xn -x,) x” - %因此数列 x“ 不仅单调递增，而且增加的速度越来越快，与数列“ 有界矛盾，得证深入思考：设 y = + af与 y = x 在 y 轴右边的交点为( 孙 7)，情形一：如果-匕= 机，也就是说-6 是b + 加 =x的解，abm + 2 = 0 ,此时，数列从第二项开始为常数列-/7情形二：如果_ , ，也就是说6 + a 0,数列从在也-b 之间取值情形三：如果/ / , 也就是说人 + /” -6 , = 而 1+2 0 ,数列为单调递增数列，尤其是从第二项开始在（ 见+ O 0） 内增，而且增加的速度越来越快-+ - - 7-r + + -1 + 4 ( 1 + 4 ) ( 1 + /) ( 1 + 4 ) ( 1 + 生) 。+ 4 )( 1 )a n-2;( 3) Tn 3方法一：首先用数学归纳法证明：a 其次根据“ + 1 = 4,或者方法二：首先用数学归纳法证明：4 /n 2( 3 ) 由 4 2, 在 7； 的式子中， 将 ( n 2) 缩 小 为 ; ，可得结论8 设 a , Z ? w R , 数列 中，% = , 4 + = % + a w N * , 则 ()A、当。 = ；时，a 。 1 0 B 、当 6 时，勾 0 1 0C 、当 = -2 时，a1 0 1 0 I ) 、当6 = T 时，al 0 1 0选自：201 9 年浙江1 0答案：A9 、设 /( x ) = f+a.记 r ( x ) = f ( x ) , / ( = /( 尸 N X ) ) , = 2, 3, ，知= % /? | /N *疗 70) 卜2 . 证明：M = - 2, - .解析一:. . . 【 证明】(1 ) M a 2. a i M .(2 ) 如果-2 S a S 1 .由 意 /(0 ) = a , /(0 ) = =2.3. - . M4当时， 卜( 。 ) | ( ”之1) 事实上， 当=1时， | / 】 (o)| = w q . 。 二 左- 1时 成 立 ( 上2 2为 茶 I t ), 则 对 界 = 上 ， ( * 心 | ( 晴 + 冷 . 当- 2 0时，|尸(0)卜同( 丫”2 1 . 咏 匕 当 ” =： 时. | 了!(0)卜忖，设 = k- l时 成 立 ( 为 某 整 数 )， 则 对n = k . 有-a =心尸(0)=(厂 ) )：4 4 -：+ 4 .在3 当-2 V a 0时， 总有即a-+a 3 -时 . a“ = F ( 0 ) .则对于任童 ” 21 , a, - K4 4% u = /*(0 ) = A r(3)= /(%)=a：+a . 对 于任* “ 21 ，-T)3+ 时 之 外 ( ) + 。 2- 以 +a = 2 , IP414a 4了 i(0)2. 因此a g M . * (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ,我如存M = -2 , 口.4.解析二：如图：当a ；时，“X) 恒在y = x上方，r (0) 会趋向+8；当ae 0, i时， x )与y = x有两个交点，/ (0 )会单调递增趋向小的交点，符合条件;当a e -2 ,0 )时，/n(0 )会在正方形A B C D内 ( 包括边)当a - 2时， /会出现在正方形4 3 8外 .18【 证明】( 1 ) M a 2 . a t M ,( 2 如果-2S asL 由意 / ( 0 ) = a . / *( 0 ) = ( /M-,( 0 ) )3+ a = 2 , 3 , - . M4 当 L *, | / *( 0 ) | - i 事实上，当 = 1哂 p侧叫q nk- 时 J f 立(k 2 2 为基 I t ),则 对 ” =A r , 当-20时，| 尸( 0 )上 同 ( 网2 1 ). 事实上， 当,;=1时，| / ( 0 )上同，设w = k-l时成立(为某整数)，则对一k , 有- a = a / 7 0 ) =| /w( 0 ) )：- a a:+ a . a i S 当- 2 S a 0时， 总有a ： V- 二 .用a2- a 当 a 工 时 . 记 a , = / *( 0 ) .则 对 于 狂 I t 2 1 . at a - AA 4% 、= 广 =f ( r )= 1 ) = S 对于任 京 力 之i % 裾 一 % 二0 ：一生+口 = 4 一己之a - J * 则 所 以 .Z 4 4 4 2 a / 川- a = % . 】 一a】N ( a ) 晋为 - - - 。 7之办(。 ) + 2 + a = 2.即4 1 4a 4了 (0 ) 2. 因此 a CM . * ( 1 ) ( 2 ) (3),我们有 M = 1-220