第五章 相交线与平行线5.1.1 相交线教学目标：1理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认2掌握对顶角相等的性质和它的推证过程3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的， 也将为后面的学习做些准备 我们先研究直线相交的问题， 引入本节课题二、探究新知，讲授新课1对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书【板书】1 与3 是直线 AB、CD 相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：2 和4 再也是对顶角紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如1 是3 的对顶角，同时，3 是1 的对顶角，也常说1 和3 是对顶角2对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么【板书】1 与2 互补，3 与2 互补（邻补角定义） ，l3（同角的补角相等） 注意：l 与2 互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义或写成：11802，31802（邻补角定义） ，13（等量代换） 学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。解：3140（对顶角相等） 218040140（邻补角定义） 42140（对顶角相等） 三、范例学习学生活动：让学生把例题中140这个条件换成其他条件， 而结论不变，自编几道题变式 1：把l40变为2140变式 2：把140变为2 是l 的 3 倍变式 3：把140变为1：22：91四、课堂小结学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出五、布置作业：六、板书设计七、课后反思：5.1.2 垂线(第一课时)教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力 .毛2.了解垂直概念，能说出垂线的性质“经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教学过程一、创设问题情境1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线，思考这些给大家什么印象?在学生回答之后，教师指出：“垂直”两个字对大家并不陌生，但是垂直的意义，垂线有什么性质，我们不一定都了解，这可是我们要学习的内容.2.学生观察课本 P3 图 5.1-4 思考：固定木条 a，转动木条，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时，a、b 所成的四个角有什么特殊关系?教师在组织学生交流中，应学生明白：当 b 的位置变化时，角 a 从锐角变为钝角，其中a 是直角是特殊情况.其特殊之处还在于：当a 是直角时，它的邻补角，对顶角都是直角，即a、b 所成的四个角都是直角，都相等.3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。4.垂直的表示法.垂直用符号“”来表示，结合课本图 5.15 说明“直线 AB 垂直于直线 CD，垂足为 O”，则记为 ABCD，垂足2角的名称特征两条直线相交面成的角性质对顶角相等邻补角互补相同点不同点对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个有的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。对顶角有一个公共顶点没有公共边两条直线相交面成的角都是两直线相交而成的角， 都有一个公共顶点， 它们都是成对出现。邻补角有一个公共顶点有一条公共边为 O，并在图中任意一个角处作上直角记号，如图.5.简单应用(1)学生观察课本 P6 图 5.1-6 中的一些互相垂直的线条，并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；两条直线相交所成的四个角相等；两条直线相交，有一组邻补角相等；两条直线相交，对顶角互补.二、画图实践，探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线.(1)已知直线 L(教师在黑板上画一条直线 L)，画出直线 L 的垂线.待学生上黑板画出 L 的垂线后，教师追问学生：还能画出 L 的垂线吗?能画几条?通过师生交流，使学生明确直线 L 的垂线有无数多条，即存在，但有不确定性.教师再问：怎样才能确定直线L 的垂线位置?在学生道出：在直线L 上取一点 A，过点A 画 L 的垂线，并且动手画出图形.教师板书学生的结论：经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线 L 外一点 B 画直线 L 的垂线，这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条，并板书：垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练，巩固垂线的概念和画法，如图根据下列语句画图：(1)过点 P 画射线 MN 的垂线，Q 为垂足；(2)过点 P 画射线 BN 的垂线，交射线 BN 反向延长线于 Q 点；(3)过点 P 画线段 AB 的垂线，交线 AB 延长线于 Q 点.学生画完图后，教师归结：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.三、课堂小结本节学习了互相垂直、垂线等概念，还学习了过一点画已知直线的垂线的画法，并得出垂线一条性质，你能说出相关的内容吗?四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：5.1.2 垂线(第二课时)教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。毛 2.了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离 .教学重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.3教学难点：对点到直线的距离的概念的理解.教学过程一、创设问题情境1.教师展示课本图 5.1-8，提出问题：要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短?学生看图、思考.2.教师以问题串形式，启发学生思考.(1)问题 1，上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗?学生说出：两点间线段最短.(2)问题 2，如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是P，那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线 L，那么原问题就是怎么的数学问题.问题 2 使学生能用数学眼光思考：在连接直线L 外一点 P 与直线 L 上各点的线段中，哪一条最短?3.教师演示教具，给学生直观的感受.教具如图：在硬纸板上固定木条L，L 外一点 P，转动的木条 a 一端固定在点 P.使木条 L 与 a 相交，左右摆动木条a，L 与 a 的交点 A 随之变化，线段PA长度也随之变化.PA最短时，a 与 L 的位置关系如何?用三角尺检验.4.学生画图操作，得出结论.(1)画出直线 L，L 外一点 P；(2)过 P 点出 POL，垂足为 O；(3)点 A1，A2，A3在 L 上，连接 PA、PA2、PA3；(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3长短.5.师生交流，得出垂线的另一条性质.教师板书：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.关于垂线段教师可让学生思考：(1)垂线段与垂线的区别联系.(2)垂线段与线段的区别与联系.二、点到直线的距离1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.结合课本图形(图 5.1-9)，深入认识垂线段 PO：POL，POA=90，O 为垂足，垂线段 PO 的长度比其他线段PA1、PA2中是最短的.按照两点间的距离给点到直线的距离命名，教师板书：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.在图 5.1-9 中，PO 的长度是点 P 到直线 L 的距离，其余结论 PA、PA2长度都不是点 P 到 L 的距离.2、练习课本 P6 练习三、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：45.1.3 同位角、内错角、同旁内角教学目标：1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2、会识别同位角、内错角、同旁内角.重点：同位角、内错角、同旁内角的概念与识别；难点：识别同位角、内错角、同旁内角。教学过程一、导入新课前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形， 接下来， 我们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。二、同位角、内错角、同旁内角如图，直线 a、b 与直线 c 相交，或者说，两条直线a、b 被第三条直线 c 所截，得到八个角。我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。c3451ab627 81 与2、4 与8、5 与6、3 与7 有什么位置关系？在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.具有这种位置关系的两个角叫做同位角。同位角形如字母“F”。3 与2、4 与6 的位置有什么共同的特点？在截线的两旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做内错角.内错角形如字母“Z”。3 与6、4 与2 的位置有什么共同的特点？在截线的同旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.同旁内角形如字母“U”。思考：这三类角有什么相同的地方？（1）都不相邻即不存在共公顶点； （2）有一边在同一条直线（截线）上。三、例题例如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截， （1）1 与2、1 与3、1 与4 各是什么角？为什么？（2）如果1=4，那么1 与2 相等吗？1 与3 互补吗？为什么？A4D231ECB解： （1）1 与2 是内错角，因为1 与2 在直线 DE，BC 之间，在截线AB 的两旁；1 与3 是同旁内角，因为1 与3 在直线 DE，BC 之间，在截线 AB 的同旁；1 与4 是同位角，因为1 与4 在直线 DE，BC的同方向，在截线AB 的同方向。 （2）如果1=4，又因为2=4，所以1=2；因为3+4=1800，又1=4，所以1+3=1800，即1 与3 互补。四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：55.2.1 平行线教学目标 1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步发展空间观念.毛2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论 .3.会用符号语方表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.重点：探索和掌握平行公理及其推论.难点：对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质.教学过程一、创设问题情境1.复习提问：两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?学生回答后，教师把教具中木条 b 与 c 重合在一起，转动木条 a 确认学生的回答.教师接着问：在平面内，两条直线除了相交外，还有别的位置关系吗?2.教师演示教具.顺时针转动木条 b 两圈，让学生思考：把 a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动b 时，直线 b与直线 a 的交点位置将发生什么变化?在这个过程中，有没有直线b 与 c 木相交的位置?3.教师组织学生交流并形成共识.转动 b 时，直线b 与 c 的交点从在直线 a 上 A 点向左边距离 A 点很远的点逐步接近A 点，并垂合于A 点，然后交点变为在 A 点的右边，逐步远离 A 点.继续转动下去，b 与 a 的交点就会从 A 点的左边又转动 A 点的左边c可以想象一定存在一个直线b 的位置，它与直线 a 左右两旁都没有交点.cab二、平行线定义表示法aAbB1.结合演示的结论，师生用数学语言描述平行定义：同一平面内，存在一条直线a 与直线 b 不相交的位置，这时直线 a 与 b 互相平行.换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.直线 a 与 b 是平行线，记作“”，这里“”是平行符号.教师应强调平行线定义的本质属性，第一是同一平面内两条直线，第二是设有交点的两条直线.2.同一平面内，两条直线的位置关系教师引导学生从同一平面内，两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，两者必居其一.即两条直线不相交就是平行，或者不平行就是相交.三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论1.在转动教具木条 b 的过程中，有几个位置能使b 与 a 平行?本问题是学生直觉直线 b 绕直线 a 外一点 B 转动时，有并且只有一个位置使a 与 b 平行.2.用直线和三角尺画平行线.已知：直线 a，点 B，点 C.(1)过点 B 画直线 a 的平行线，能画几条?(2)过点 C 画直线 a 的平行线，它与过点B 的平行线平行吗?3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.(1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.(2)在学生充分交流后，教师板书.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(3)比较平行公理和垂线的第一条性质.共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外，两垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线6CBa外.4.归纳平行公理推论.(1)学生直观判定过 B 点、C 点的 a 的平行线 b、c 是互相平行.(2)从直线 b、c 产生的过程说明直线 b直线 c.(3)学生用三角尺与直尺用平推方验证bc.(4)师生用数学语言表达这个结论，教师板书.结果两条直线都与第三条直线平行，那么这条直线也互相平行.结合图形，教师引导学生用符号语言表达平行公理推论：如果 ba，ca，那么 bc.(5)简单应用.练习：如果多于两条直线，比如三条直线a、b、c 与直线 L 都平行，那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：5.2.2 平行线的判定（一）教学目标：经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件.重点：探索两直线平行的条件难点：理解“同位角相等，两条直线平行”教学过程一、情景导入.装修工人正在向墙上钉木条，如果木条 b 与墙壁边缘垂直，那么木条 a 与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条 a 与木条 b 平行？要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。二、直线平行的条件以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本P13 图 5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？三角板经过点 P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。简化图 5.2-5，得图 3.1 与2 是三角板经过点 P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然1 与2 是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说：同位角相等，两条直线平行.符号语言：1=2ABCD.如图（课本 P145.2-7） ，你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？7cbaECAH1P2DBGF用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等，两条直线平行.”，可知这样画出的就是平行线。如图， （1）如果2=3，能得出 ab 吗？（2）如果241800，能得出 ab 吗？cab1342（1）2=3（已知）3=1（对顶角相等）1=2(等量代换)ab（同位角相等，两条直线平行）你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单地说：内错角相等，两直线平行.符号语言：2=3ab.（2）4+2=180，4+1=180（已知）2=1（同角的补角相等）ab.（同位角相等，两条直线平行）你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行.简单地说：同旁内角互补，两直线平行.符号语言：4+2=180ab.四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：5.2.2 平行线的判定（二）教学目标 1、掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题；2、初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程。重点：直线平行的条件及运用难点：会正确的书写简单的推理过程是教学过程一、复习导入我们学习过哪些判断两直线平行的方法？（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。（2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.二、例题例在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么?8解：这两条直线平行。baca（已知）1=2=90（垂直的定义）bc（同位角相等，两直线平行）你还能用其它方法说明 bc 吗？方法一：如图（1） ，利用“内错角相等，两直线平行”说明；方法二：如图（2） ，利用“同旁内角相等，两直线平行”说明.ab1c2b12cab12ca（1） （2）注意：本例也是一个有用的结论。例 2 如图，点 B 在 DC 上，BE 平分ABD，DBE=A，则 BEAC，请说明理由。EA分析： 由 BE 平分ABD 我们可以知道什么？联系DBE=A， 我们又可以知道什么？由此能得出BEAC 吗？为什么？解：BE 平分ABDABE=DBE（角平分线的定义）又DBE=AABE=A（等量代换）BEAC(内错角相等，两直线平行)注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。课堂练习1、如图，1=2=55，试说明直线 AB，CD 平行？AE11DBCC32dea23b4B1 题F2 题Dc2、如图所示，已知直线 a，b，c，d，e，且1=2，3+4=180，则 a 与 c 平行吗?为什么?四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：95.3.1 平行线的性质教学目标：1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力。毛2.经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算 .重点：探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算.难点：能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用.教学过程一、引导学生逆向思维现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达?二、实践探究1.学生画图活动：用直尺和三角尺画出两条平行线ab，再画一条截线 c 与直线 a、b 相交，标出所形成的八个角(如课本 P21 图 5.3-1).2.学生测量这些角的度数，把结果填入表内.角度数123456783.学生根据测量所得数据作出猜想.（1）图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?（2）图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?（3）图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?4.学生验证猜测.学生活动：再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗?5.师生归纳平行线的性质，教师板书.平行线具有性质：性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等.性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错相等.性质 3：两条直线按被第三条线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补.教师让学生结合右图，用符号语言表达平行线的这三条性质，教师同时板书平行线的性质和平行线的判定 .平行线的性质平行线的判定因为 ab，因为1=2，所以1=2 所以 ab.因为 ab，因为2=3，所以2=3，所以 ab.因为 ab，因为2+4=180，所以2+4=180，所以 ab.6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.学生交流后，师生归纳：两者的条件和结论正好相反：由角的数量关系(指同位角相等，内错角相等，同旁内角互补)，得出两条直线平行的论述是平行线的判定，这里角的关系是条件，两直线平行是结论.由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等，内错角相等，同旁内角互补)的论述是平行线的性质，这里两直线平行是条件，角的关系是结论.7.进一步研究平行线三条性质之间的关系.教师：大家能根据性质 1，推出性质 2 成立的道理吗?结合上图，教师启发分析：考察性质 1、性质 2 的结论发生了什么变化?学生回答1 换成3，教师再问1 与3 有什么关系?并完成说理过程，教师纠正学生错误，规范地给出说理过程.10213 4abc因为 ab，所以1=2(两直线平行，同位角相等)；又3=1(对顶角相等)，所以2=3.教师说明：这是有两步的说理，第一步推理根据平行线性质 1，第二步推理的条件不仅有1=2，还有3=1.2=3 是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.学生仿照以下说理，说出如何根据性质1 得到性质 3 的道理.8.平行线性质应用.讲解课本 P23 例题三、巩固练习：课本练习(P22).四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：5.3.2 命题、定理、证明教学目的：1、知识与技能：了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论.2、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.3、初步培养学生不同几何语言相互转化的能力.重点：命题的概念和区分命题的题设与结论.难点：区分命题的题设和结论.教学过程一、创设情境复习导入教师出示下列问题：1.平行线的判定方法有哪些?2.平行线的性质有哪些.学生能积极的思考教师所出示的各个问题复习巩固有关的知识点为本节课的学习打下良好的基础.(注意：平行线的判定方法三种，另外还有平行公理的推论)二、尝试活动探索新知教师给出下列语句，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这条直线也互相平行；等式两边都加同一个数，结果仍是等式；对顶角相等；如果两条直线不平行，那么同位角不相等.学生学生能由教师的引导分析每个语句的特点.思考：你能说一说这 4 个语句有什么共同点吗？并能耐总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.初步感受到有些数学语言是对某件事作出判断的.教师给出命题的定义.判断一件事情的语句，叫做命题.(3)命题的组成.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题的形成，可以写成“如果，那么”的形式。11真命题与假命题：教师出示问题：如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果 ab.bc 那么 a=b如果两个角互补，那么它们是邻补角.三、尝试反馈理解新知明确命题有正确与错误之分：命题的正确性是我们经过推理证实的， 这样得到的真命题叫做定理， 作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.1.“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？2.命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是正确的？命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确.四、总结拓展：教师引导学生完成本节课的小结，强调重要的知识点.五、布置作业：六、板书设计七、课后反思：5.4 平移教学目标：1、了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题2、培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题.重点：平移的概念和作图方法.难点：平移的作图.教学过程一.观察图形形成印象生活中有许多美丽的图案，他们都有着共同的特点，请同学们欣赏下面图案.观察上面图形，我们发现他们都有一个局部和其他部分重复，如果给你一个局部，你能复制他们吗?学生思考讨12论，借助举例说明.二.提出新知实践探索平移：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同 .(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是对应点.(3)连接各组对应的线段平行且相等.图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移探究：设计一个简单的图案，利用一张半透明的纸附在上面，绘制一排形状，大小完全一样的图案引导学生找规律，发现平移特征三.典例剖析深化巩固例如图，(1)平移三角形 ABC，使点 A 运动到 A，画出平移后的 ABC先观察探讨，再通过点的平移，线段的平移总结规律，给出定义探究活动可以使学生更进一步了解平移四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：第五章小结教学目标：1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程，将本章内容条理化，系统化，梳理本章的知识结构.毛2.通过对知识的疏理，进一步加深对所学概念的理解，进一步熟悉和掌握几何语言，能用语言说明几何图形 .3.使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质，理解平移的性质，能利用平移设计图案.重点：复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系，以及相交平行的综合应用.难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用.教学过程一、复习提问本章相交线、平行线中学习了哪些主要问题?教师根据学生的回答，逐步形成本章的知识结构图，使所学知识系统化.13二、回顾与思考两线条相直交平线面的内位两置条关直系相交两三条条直直线线被所第截平行公理邻补角,对顶角垂线及其性质对顶角相等点到直线的距离同位角,内错角,同旁内角性质判定平行平移1.对顶角、邻补角。(1)教师提出问题两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？指出图(1)中具有这两种位置的角.cACBOA(2)2413aCOBDD(3)b(1)如图(2)中，若AOD=90，那么直线 AB，CD 的位置关系如何?如图(3)中，1 与2，2 与3，3 与4 是怎么位置关系的角?(2)学生回答.(3)教师强调：对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对顶角的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共边，另一边互为反向延长线。(4)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等，你得到什么结论?让学生明确，对顶角总是相等，邻补角一定互补，但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后，那么问题中每个角的度数就随之确定，为 90角，这时两条直线互相垂直.2.垂线及其性质.(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用，也可以作垂线性质用.作判定用时写成：如图(2)，因为AOD=90，所以 ABCD，这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。作为性质用时写成：如图(2)，因为 ABCD，所以AOD=90。这是由“形”到“数”的说理。(2)如图(4)，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，CDEF，1=35，求2 的度数.CF12AABAClDE(4)D(5)BB(6)C鼓励学生用不同方法求解.(3)垂线性质 1 和性质 2.让学生叙述垂线的性质， 懂得分清这两个命题的题设和结论， 垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯14一的.学生思考：请回忆一下后体育课测跳远成绩时，教师是怎样测量的?如图(5)，ABL，BCL，B 为重足，那么 A、B、C 三点在同一条直线上吗? 为什么?点到直线的距离、两条平行线的距离.初中阶级学习了三种距离，即是距离，就要懂得的共同点：距离都是线段的长度，又要懂得区别：两点间的距离是连接这两点的线段的长度， 点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度， 平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离.学生练习：如图(6)，四边形 ABCD，ADBC，ABCD，过 A 作 AEBC，过A 作 AFCD，垂足分别是 E、F，量出点 A 到 BC 的距离和 AB、CD 平行线间的距离.请归纳一下与垂直有关的知识中，有哪些重要结论?如垂线的性质 1、2，又如两种直线都垂直于第三条直线，这两条直线平行，一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直3.同位角、内错角、同旁内角.只要求学生从图形中找出同位角，内错角，同旁内角.练习：如图(7)，找出1、2、3 中哪两个是同位角、内错角、同旁内角.4.平行线判定与性质(1)怎样判别两条直线是否平行.(2)平行线有什么特征?(3)对比平行线的性质和直线平行的条件，它们有什么异同?(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论，交流.教师使学生进一步明确： 平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断， 而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。学生练习：填空：如图(8)，当_时，ac，理由是_；当_时，bc，理由是_；当ab，bc 时，_，理由是_.312cba图（7）d12aAADDbcBBC3 4B(10)C(8)(9)如图(9)，ABCD，A=C，试判断 AD 与 BC 的位置关系?为什么?教师根据学生情况酌情给予引导.5.关于平移，让学生思考：(1)图形平移时，连接对应点有什么关系?(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离?(3)你能用平移设计一些图案吗?练习：如图(10)，平移四边形 ABCD，使点 B 移动到点 B，画出平移后的四边形ABCD.三、作业课本：P35四、布置作业：五、板书设计六、课后反思：15第六章实数6.1.1 平方根第一课时【教学目标】知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：通过生活中的实例， 总结出算术平方根的概念， 通过计算非负数的算术平方根， 真正掌握算术平方根的意义。情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。教学重点：算术平方根的概念和求法。教学难点：算术平方根的求法。教具准备： 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。教学方法： 自主探究、启发引导、小组合作【教学过程】一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳：1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、16、36、学生会求出边长分别是 1、3、4、6、24，那么正方形的边长分别是多少呢？252，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它5们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。2.归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。16算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a，读作“根号 a”或“二次很号 a”，a 叫做被开方数。三、应用：例1、求下列各数的算术平方根：10049710.000106492解：因为10 100,所以100的算术平方根是10，即100 10；因为( ) 78249749497；，所以的算术平方根是，即64864648因为17164716421647；，所以1的算术平方根是，即1,( ) 9939939392因为0.01 0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001 0.01；2因为0 0，所以0的算术平方根是0，即0 0。注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；0 的算术平方根是 0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出1，36，100 的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有1 个；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。即：只有非负数有算术平方根，如果x 注：a有意义，那么a 0,x 0。a 0且a 0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。例2、求下列各式的值：（1）4（2）492（3）(11)（4）6281分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。解： （1）4 2（2）497（3）(11)211211（4）62 6819例3、求下列各数的算术平方根：34(10)232110617解：(1)因为3 9，所以329 3；2因为4 64 8，所以43322264 8；因为(10) 100 10，所以(10)2100 10；因为1111，所以。633610101010根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：1、由32 3，62 6，可得a2 a(a 0)2、由(11)211，(10)10，可得a2 a(a 0)教师需强调a 0时对两种情况都成立。四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有。2、求下列各式的值：21，9，2552，(7)23、求下列各数的算术平方根：190.0025，121，42，( )2，12164、已知a 1 b 1 0,求a 2b的值。五、课堂小结1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根？六、布置作业七、板书设计：八、教学反思：186.1.2 平方根第 2 课时【教学目标】知识与技能：会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。过程与方法：通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根， 使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根， 再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。情感态度与价值观：通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点：认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。会用算术平方根的知识解决实际问题。教学难点：认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。教学方法： 自主探究、启发引导、小组合作教学过程：一、通过实验引入：怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形？如图， 把两个小正方形沿对角线剪开， 将所得的 4 个直角三角形拼在一起， 就得到一个面积为 2 的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？2设大正方形的边长为x，则x 2，由算术平方根的意义可知x 2，所以大正方形的边长为2。二、讨论2的大小：由上面的实验我们认识了2，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论2的大小。22因为1 1,2 4,122，所以122.2222因为1.4 1.96，1.5 2.25，所以1.421.5。22因为1.41 1.9881，1.42 2.0164，所以1.4121.421922因为1.414 1.999396，1.415 2.002225，所以1.41421.415如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。2=1.41421356注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。2=1.41421356，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如3, 5,7等，圆周率 也是一个无限不循环小数。三、用计算器求算术平方根：大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。例1、用计算器求下列各式的值：(1) 3136；(2) 2（精确到0.001)解： （1）依次按键（2）依次按键3136 ，显示：56.所以3136 562=，显示：1.414213562，这是一个近似值。所以2 1.414.注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。四、实际应用：例 1、小丽想用一块面积为400cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？分析： 学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。 通过计算和讲解纠正这种错误的认识。解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm。22根据边长与面积的关系可得：3x2x 300，6x 300，x 50，x 2250长方形纸片的长为3 50cm。因为5049，所以507，从而3 5021即长方形纸片的长应该大于21cm，而已知正方形纸片的边长只有20cm，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。五、随堂练习：1.用计算器求下列各式的值：（1）1369（2）101.2036（3）5（精确到0.01）2、估计大小：（1）140与12（2）5 1与0.52203、已知2 1.414，求0.02，0.0002，200，20000的值。六、课堂小结1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？4、怎样的数是无限不循环小数？七、布置作业八、板书设计：九、教学反思：6.1.3 平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决， 让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。 通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点： 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。教学难点：平方根与算术平方根的区别和联系。教学方法： 自主探究、启发引导、小组合作教学过程一、情境导入如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？讨论：这样的数有两个，它们是3 和3.注意3 9中括号的作用2又如：x 24，则 x 等于多少呢？252二、探索归纳：1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根即：如果x=a，那么 x 叫做a 的平方根21求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3 的平方等于 9，9 的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算2、观察：课本 P73 的图 14.1-2.图 14.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程， 揭示了开平方运算的本质 并根据这个关系说出 1，4，9 的平方根例 4求下列各数的平方根。（1） 100（2）9（3） 0.25163、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果， 一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数 a 的算术平方根可用a表示；正数 a 的负的平方根可用-a表示例 5求下列各式的值。（1）144， （2）0.81， （3）121196（4）562，562归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系 区别在于正数的平方根有两个， 而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。三、课本 P小练习 1、2、3四、课堂小结：1、什么叫做一个数的平方根？2、正数、0、负数的平方根有什么规律？3、怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？五、布置作业六、板书设计：七、教学反思：6.2 立方根【教学目标】知识与技能：了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；会用计算器求一个数的立方根。过程与方法：从具体的计算出发归纳出立方根的概念， 然后讨论立方与开立方的关系， 研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。22情感态度与价值观：通过探索立方根的特征， 培养学生独立思考和小组交流的能力； 通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想； 通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系， 可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。教学重点：立方根的概念和求法教学难点：立方根的求法。教学过程：一、情景引入：要制作一种容积为27m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳：1.探索：设这种包装箱的边长为xm，则x 27，这就是要求一个数，使它的立方等于27.因为3 27，所以x 3，即这种包装箱的边长应为3m。2.归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。立方根的表示方法：3如果x a，那么x叫做a的立方根。记作x 3a，3a读作三次根号a。333其中a是被开方数，3 是根指数，3a中的根指数 3 不能省略。开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3、探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？（1）因为2 8，所以 8 的立方根是（） ；（2）因为() 0.125，所以0.125的立方根是（） ；（3）因为() 0，所以 0 的立方根是（） ；（4）因为() 8，所以8的立方根是（） ；（5）因为() 3333388，所以的立方根是（） 。2727学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0.4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为38 ，38 ，所以3838；因为3 27 ，327 ，所以3 27327由上面两个例子可归纳出：一般地，3 a 3a。注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。三、应用：23例1、求下列各式的值：（1）364（2）3125（3）3分析：根据立方根的意义求解。解： （1）364 4（2）3125 5（3）3例2、求下列各式中x的值：（1）x 0.008（2）x 3 分析：此题的本质还是求立方根。3解： （1）x 0.008x 30.008x 0.232764273 644333（3）(x 1) 88（2）x 3 3332733x x 882（3）(x 1) 8x 1 2x 3例 3、用计算器计算3103，3106，3109，3103，3106的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知3216 6，则30.000216 ，3216000 。分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：3这样即可显示出计算结果解：310310，3106102，3109103，3103101，3106102由此发现：一个数扩大或缩小1000 倍时，它的立方根扩大或缩小10 倍。3、被开立方的数字、=，0.000216 0.06，3216000 60。四、随堂练习：1、 立方根等于本身的数是，如果31 a 1 a,则a 。32、64的立方根是，(4)的立方根是。3、已知3x 16的立方根是 4，求2x 4的算术平方根。34、已知x 3 4，求3(x 10)的值。5、比较大小： （1）31.232.1， （2）3五、课堂小结1.立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同六、布置作业233， （3）3373424七、板书设计：八、教学反思：6.3.1 实数第一课时【教学目标】知识与技能：了解无理数和实数的概念以及实数的分类；知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念， 并将数从有理数的范围扩充到实数的范围， 从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。情感态度与价值观：通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。教学重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类。教学难点：对无理数的认识。【教学过程】一、复习引入无理数：利用计算器把下列有理数3,3 47 9 5,写成小数的形式，它们有什么特征？5811 9发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：3 3 .0,34791,5 0 .5 0 .6, 5 .875 , 0.858119归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数。比如2, 5,33等都是无理数。 3.14159265也是无理数。二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2、实数的分类：按照定义分类如下：25整数有理数（有限小数或无限循环小数）实数分数无理数（无限不循环小数）按照正负分类如下：正有理数正实数负无理数实数零负有理数负实数负无理数3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动 1：直径为 1 个单位长度的圆其周长为 ，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是，由此我们把无理数 用数轴上的点表示了出来。活动 2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就是可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。三、应用：例 1、下列实数中，无理数有哪些？2。事实上通过这种做法，我们2，2，3.14，35，0，10.12112111211112，(4)2。3，0.717解：无理数有：2，35，注：带根号的数不一定是无理数，比如(4)，它其实是有理数 4；无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。比如10.12112111211112。例 2、把无理数5在数轴上表示出来。分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。解：如图所示，OA 2, AB 1,由勾股定理可知：OB 弧，与数轴的正半轴交于点C，则点C就表示5。四、随堂练习：262BC圆心，以OB长度为半径画OA5，以原点O为1、判断下列说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。2、把下列各数分别填在相应的集合里：有理数集合无理数集合22,3.1415926，7，8，3 2，0.6，0，36，0.313113111。733、比较下列各组实数的大小：（1）4，15（2） ，3.1416（3）3 2,五、课堂小结1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 .六、布置作业七、板书设计：八、教学反思：6.3.2 实数第二课时【教学目标】知识与技能：掌握实数的相反数和绝对值；掌握实数的运算律和运算性质.过程与方法：通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。情感态度与价值观：通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识， 让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。教学重点：会求实数的相反数和绝对值；会进行实数的加减法运算；27323,（4）223会进行实数的近似计算。教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。【教学过程】一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：1、相反数：有理数a的相反数是 a。2、绝对值：当a0 时，a a，当a0 时，a a。3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。二、实数的运算：1.实数的相反数：数a的相反数是 a。2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。三、应用：例 1、 （1）求364的绝对值和相反数；（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。解： （1）因为3 64 4，所以364 4 4，3 64 (4) 4（2）因为3 3, 3 3，所以绝对值为3的数是3或3。例 2、计算下列各式的值：（1）( 3 2) 2；（2）3 3 2 3。分析：运用加法的结合律和分配律。解： （1）( 3 2) 2 3 ( 2 _2) 3 0 3；（2）3 3 2 3 (3 2) 3 5 3例 3、计算：（1）5 （精确到0.01）（2）3 2（结果保留 3 个有效数字）解： （1）5 2.236 3.142 5.38；（2）3 2 1.7321.414 2.45。四、随堂练习：1、计算：（1）4 2 6 2；（2）3( 3 2)；28（3）43 5 2 3；（4）38 9 1( )2。52、计算：（1）2 2 3（精确到 0.01） ；（2）5 2、 34（精确到十分位） 。23、在平面内有四个点，它们的坐标分别是A(2,2 2),B(5,2 2),C(5,2),D(2,2)。（1）依次连接A、B、C、D，围成的四边形是一个什么图形？（2）求这个四边形的面积。（3）将这个四边形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？五、课堂小结1、实数的运算法则及运算律。2、实数的相反数和绝对值的意义六、布置作业七、板书设计：八、教学反思：第六章复习本章的知识网络结构：知识梳理一数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数x 就叫做 a 的平方根；也即，当x a(a 0)时，我们称x 是a 的平方根，记做：x a(a 0)。因此：2.当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；3.当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x a。当 a0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1）的平方是 64，所以 64 的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若2x的平方根是2，则 x=；16的平方根是（4）当 x时，32x有意义。（5）一个正数的平方根分别是m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】 ：21.如果一个正数 x 的平方等于 a，即x a，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。292.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a 0(a 0)。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例 2.（1）下列说法正确的是（）A1 的立方根是1B4 2C.81的平方根是3D.0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A.81 9B.3.143.14C. 27 9 3D.5 3 （3）(3)2的算术平方根是。（4）若x 2 x有意义，则x 1 _。2（5）已知ABC 的三边分别是a,b,c,且a,b满足a 3 (b 4) 0，求 c 的取值范围。（6）已知：A=xyx y 3是x y 3的算术平方根，B=x2y3x 2y是x 2y的立方根。求 AB 的平方根。（7） （提高题）如果 x、y 分别是 4 3 的整数部分和小数部分。求xy 的值.【立方根】1.如果 x 的立方等于 a，那么，就称x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。2.平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（1）64 的立方根是（2）若3a 2.89,3ab 28.9，则 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100003（3）下列说法中：3都是 27 的立方根，3y y，64的立方根是 2，38 4。2其中正确的有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个【无理数】1.无限不循环小数的小数叫做无理数； 它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种： （1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等； （2）开方开不尽的数，如：2, 5,39等； （3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：2. 有理数与无理数的区别：（1） 有理数指的是有限小数和无限循环小数， 而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例 4. （1） 下列各数： 3.141、 0.33333、 5 5 7 7、 、 2 2. . 2525、 2 2、 0.30300030000033 3（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2） 、 其中是有理数的有； 是无理数的有。（填序号）（2）有五个数：0.125125，0.1010010001，-，4，32其中无理数有 ()个A2B3C4D5【实数】1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。302.实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是何意义是：在数轴上的点到原点的距离。a(a 0)1（a0） ；实数 a 的绝对值|a|=，它的几a a(a 0)3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（1）下列说法正确的是（） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ；B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、a bB、abC、a bD、b a（3）比较大小(填“”或“0，ab0，则点 P 在（）（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限6、在直角坐标系中，点P（1，12 ）关于 x 轴对称的点的坐标是（）（A） （1，12 ） （B） （1，12 ） （C） （1，12 ） （D） （1，12 ）7、已知点 P(x，y)的坐标满足方程|x1|y2 =0，则点 P 在（）（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限考点训练：1、点A(x，y)是平面直角坐标系中的一点，若xy0，则点A 在象限；若x=0 则点 A 在；若x0，且 x=y， 则点 A 在2、已知点 A(a，b)， B(a，b)， 那么点 A，B 关于对称，直线 AB 平行于轴3、点 P(4，7)到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为，到原点距离为4、已知 P 是第二象限内坐标轴夹角平分线上一点，点P 到原点距离为 4，那么点 P 坐标为5、某音乐厅有 20 排座位，第一排有 18 个座位，后面每排比前一排多一个座位，每排座位数m 与这排的排数 n的函数关系是，自变量 n 的取值范围是6、求下列函数中自变量的取值范围：(1)y=132x+1()(2)y=-3x-1x-2()解题指导1、 点 P(x， y)在第二象限， 且x=2 ，y=3 ， 则点 P 的坐标是， 点 P 到原点 O 的距离 OP=.2、已知点 P(x，4)， Q(-3，y).若 P，Q 关于 y 轴对称，则 x=， y=；若 P，Q 关于 x 轴对称，则 x=，y=；若 P，Q 关于原点 O 对称，则 x=， y=.3以 A(0，2)， 4，0)， C(3，0)为三个顶点画三角形，则SABC=.4、依此连结 A(6，1)，B(3，4)， C(2，1)， D(1，4)四点，则四边形 ABCD 是形.5、当 x=2 时，则 2x-1x+1 的值是；6、-xx-1中 x 的取值范围是.7、等腰三角形的底角的度数为 x，顶角的度数为 y，写出以 x 表示 y 的关系式，并指出自变量 x的取值范围.388、多边形的内角和a 与边数 n(n3)的关系式是；多边形的对角线条数m 与边数 n(n3)的关系式是独立训练1、已知 A(3 ，2 )与点 B 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标是，与点 B 关于原点对称的点 C 的坐标是，这时点 A 与点 C 关于对 称.2、在 xx2-1 中，自变量 x 的取值范围是.3、若点 M(a，b)在第二象限，则点N(a-1，b)在第象限.4、所有横坐标为零的点都在上，所有纵坐标为零的点都上5、若点 P(a，-3)在第三象限内两条坐 标轴夹角的平分线上，则a=6、若 A(a，b)， B(b，a)表示同一点，则这一点在7、求下列 x 的取值范围：(1)3x1x2（）(3) 32+x1 （）2x3 +93x （）三、坐标方法的简单应用（一） 、表示地理位置： （注意点）1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向.（说清楚以什么为原点，什么所在的方向为 x 轴的正方向，什么所在的方向为y 轴的正方向）.2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度.（比例尺不能漏，单位 长度不要忘记）.3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称.（二） 、用坐标表示平移1、图形的平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这种图形的运动称为平移 .2、图形的移动引起坐标变化的规律：（1） 、将点（x，y）向右平移 a 个单位长度，得到的对应点的坐标是： （x+a，y）（2） 、将点（x，y）向左平移 a 个单位长度，得到的对应点的坐标是： （x-a，y）（3） 、将点（x，y）向上平移 b 个单位长度，得到的对应点的坐标是： （x，y+b）（4） 、将点（x，y）向下平移 b 个单位长度，得到的对应点的坐标是： （x，y-b）3、点的变化引起图形移动的规律：（1） 、将点（x，y）的横坐标加上一个正数a，纵坐标不变，即（x+a，y） ，则其新图形就是把原图形向右平移a个单位.（2） 、将点（x，y）的横坐标减去一个正数 a，纵坐标不变，即（x-a，y） ，则其新图形就是把原图形向左平移a个单位.（1） 、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b） ，则其新图形就是把原图形向上平移a个单位.（1） 、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（ x，y+b） ，则其新图形就是把原图形向下平移b个单位.4、平移的性质：（1） 、平移后，对应点所连的线段平行且相等；（2） 、平移后，对应线段平行且相等；（3） 、平移后，对应角相等；（4） 、平移后，只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小.5、 决定平移的因素：平移的方向和距离.6、画平移图形，必须找出平移的方向和距离、画平移图形的依据是平移的性质.7、在实际生活中，同一个图案往往可以由不同的基本图案经过平移形成的，选取了不同的基本图案之后，分析这个图案的形成过程就有所不同.四、课堂小结五、布置作业39六、板书设计：七、教学反思：第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组教学目标：1.认识二元一次方程和二元一次方程组.2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.教学难点：求二元一次方程的正整数解.教学过程：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是 y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数负的场数总场数，胜场积分负场积分总积分.这两个条件可以用方程 xy222xy40表示.上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和 y） ，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.把两个方程合在一起，写成xy22探究：满足方程，且符合问题的实际意义的x、y 的值有哪些？把它们填入表中.xy2xy40像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.上表中哪对 x、y 的值还满足方程一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例 1（1）方程（a2）x+(b-1)y=3 是二元一次方程，试求 a、b 的取值范围.（2）方程 xa1+(a-2)y=2 是二元一次方程，试求 a 的值.例 2若方程 x2m1+5y3n2=7 是二元一次方程.求 m、n 的值例 3已知下列三对值：40x6x10x10y9y6y11哪几对数值使方程2xy6 的左、右两边的值相等？16哪几对数值是方程组xy的解？22x31y11例 4求二元一次方程 3x2y19 的正整数解.课堂练习：教科书第 94 页练习作业布置：教科书第 95 页 3、4、5 题82消元（第一课时）教学目标：1会用代入法解二元一次方程组.2初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”.3通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.重点：用代入消元法解二元一次方程组.难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程：一、知识回顾1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？二、提出问题，创设情境篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.这个问题能用一元一次方程解决吗？三、讲授新课1、那么怎样求解二元一次方程组呢?上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?2、提出问题：从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？归纳：基本思路： “消元”把“二元”变为“一元”。主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。3、把下列方程写成用含x 的式子表示 y 的形式：（1）2xy3（2）3xy10（3）5x-3y = x + y (4)-4x+y = -24、例题分析：例 1 例 25、课堂练习：教科书P98 第 2 题四、课堂小结问题 1、解方程组的基本思路是什么？问题 2、解方程组的方法是什么？五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：4182消元（第二课时）教学目标：1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为已知”的化归思想.教学重点：用代入法、加减法解二元一次方程组.教学难点：会用二元一次方程组解决实际问题教学过程一、创设情境，导入新课甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10 元钱，乙借给丙 8 元钱，丙又给甲 12 元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？二、师生互动，课堂探究（一）提高问题，引发讨论x y 222x y 40我们知道，对于方程组，可以用代入消元法求解。这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（二）导入知识，解释疑难1.问题的解决上面的两个方程中未知数y 的系数相同，可消去未知数 y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即 x=18，把 x=18 代入得 y=4。另外，由也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=-18，x=18，把 x=18 代入得 y=4.4x10y 3.615x10y 82.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组分析：这两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此由可消去未知数y，从而求出未知数 x 的值。58解：由得 19x=11.6x=9558x 95589x 995把 x=95代入得 y=-95这个方程组的解为3.加减消元法的概念从上面两个方程组的解法可以发现， 把两个二元一次方程的两边分别进行相加减， 就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时， 将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。4.例题讲解3x4y 165x6y 33用加减法解方程组分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。议一议：本题如果用加减法消去x 应如何解？解得结果与上面一样吗？5.做一做422x3y2x3y 7432x3y2x3y823解方程组6.想一想分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?师生共析：(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数.第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍， 该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元.第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑.(三)归纳总结，知识回顾本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：82消元（第三课时）一、创设情境，导入新课七年级(3)班在上体育课时，进行投篮比赛，体育老师做好记录，并统计了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况，体育委员在看统计表时，不慎将墨水沾到表格上(如下表).进球数 n投进球的人数0112273452同时，已知进球 3 个和 3 个以上的人平均每人投进3.5 个球；进球 4 个和 4个以下的人平均每人投进2.5 个球，你能把表格中投进 3 个球和投进 4 个球对应的人数补上吗?二、师生互动，课堂探究(一)指出问题，引发讨论你能不能用二元一次方程组，帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?(经过学生思考、讨论、交流)43(二)导入知识，解释疑难1.例题讲解(见 P101)分析：如果 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和 y 公顷，那么 2 台大收割机和 5 台小收割机 1 小时收割小麦_公顷，3 台大收割机和 2台小收割机 1 小时收割小麦_公顷.解：设1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷.根据两种工作方式中的相等关系，得方2(2x5y) 3.65(3x2y) 8程组4x10y 3.615x10y 8去括号，得-，得 11x=4.4解这个方程，得 x=0.4把 x=0.4 代入，得 y=0.2x 0.4y 0.2这个方程组的解是答：1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷.2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：二元一次方程组4x+10y=3.6 y=0.2x=0.4-两方程相减、消去未知数y解得x一元一次方程 11x=4.415x+10y=7 3.练一练：P102 练习第 2、题.(三)归纳总结，知识回顾这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：8.3 实际问题与二元一次方程组（一）44教学目标：1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题， 让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：正确发找出问题中的两个等量关系教学过程：一、复习列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答新课：看一看课本 99 页探究 1问题：1 题中有哪些已知量？哪些未知量？2 题中等量关系有哪些？3 如何解这个应用题？本题的等量关系是（1）30 只母牛和 15 只小牛一天需用饲料为675kg（2） （30+12 只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940练一练：1、某所中学现在有学生4200 人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？2、有大小两辆货车，两辆大车与 3 辆小车一次可以支货 15。50 吨，5 辆大车与 6 辆小车一次可以支货 35 吨，求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？43、某工厂第一车间比第二车间人数的5少 30 人，如果从第二车间调出10 人到第一车间，则第一车间的人数是3第二车间的4，问这两车间原有多少人？4、某运输队送一批货物，计划20 天完成，实际每天多运送5 吨，结果不但提前 2 天完成任务并多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？8.3 实际问题与二元一次方程组（二）教学目标：通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题难点：寻找等量关系教学过程：看一看：课本 99 页探究 2问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？3、本题中有哪些等量关系？提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？45思考：这块地还可以怎样分？练一练一、某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：农作物品种水稻棉花蔬菜入的资金正好够用？问题：题中有几个已知量？题中求什么？分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？8.3 实际问题与二元一次方程组（三）教材 106 页：探究 3：如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1000元的原料运回工厂， 制成每吨 8000 元的产品运到 B 地。 公路运价为 1.5 元/ （吨千米） ， 铁路运价为 1.2 元/ （吨千米） ，这两次运输共支出公路运费15000 元，铁路运费 97200 元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？例：甲运输公司决定分别运给A 市苹果 10 吨、B 市苹果 8 吨，但现在仅有12 吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商， 从甲运输公司运 1 吨苹果到 A、 B 两市的运费分别为 50 元和 30 元，从乙运输公司运 1 吨苹果到 A、B 两市的运费分别为 80 元和 40 元，要求总运费为 840 元，问如何进行调运？练习：某山区有 23 名中、小学生因贫困失学要捐助。资助一名中学生的学习费用需要a 元，一名小学生的学习费用需要 b 元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：初一年级初二年级初三年级求 a、b 的值。初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用， 请将初三年级学生可捐助的贫困中、 小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程） 。某公园的门票价格如下表所示：46每公顷需劳动力4 人8 人5 人每公顷需投入奖金1 万元1 万元2 万元已知该农场计划在设备投入 67 万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投捐款数额（元）400042007400捐助贫困中学生人数（名）23捐助贫困小学生人数（名）43购票人数票价1 人50 人10 元/人51100 人8 元/人100 人以上5 元/人某校八年级甲、乙两个班共100 多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50 多人，乙班不足50 人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920 元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515 元。问：甲、乙两个班分别有多少人？四、课堂小结五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：8.4 三元一次方程组解法举例教学目标：1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路教学重点：（1）使学生会解简单的三元一次方程组 （2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法教学过程：一、创设情景，导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？【引例】小明手头有 12 张面额分别为 1 元，2 元，5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，求 1 元，2 元，5 元纸币各多少张提出问题：1题目中有几个条件？2问题中有几个未知量？3根据等量关系你能列出方程组吗？【列表分析】（师生共同完成）（三个量关系）每张面值张数=钱数解： （学生叙述个人想法，教师板书）设 1 元，2 元，5 元的张数为 x 张，y 张，z 张.合计注1 元2 元5 元xyz12x2y5z221 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，即 x=4y根据题意列方程组为：x y z 12,x2y 5z 22,x 4y.【得出定义】（师生共同总结概括）这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程47组叫做三元一次方程组二、探究三元一次方程组的解法【解法探究】怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法， 设法消去一个或两个未知数， 把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)例 1 .解方程组x y z 12x 2y 5z 22 x 4y分析 1：发现三个方程中 x 的系数都是 1，因此确定用减法“消 x”.分析 2：方程是关于 x 的表达式，确定“消 x”的目标.【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法.针对上面的例题进而分析，例1 中方程中缺 z，因此利用、消z，可达到消元构成二元一次方程组的目的.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组类型二：缺某元，消某元.教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y 来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下.三、课堂小结1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程即三元一次方程组四、布置作业消元二元一次方程组消元一元一次方程2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元.解方程组x y 20y z 19x z 21你能有多少种方法求解它？本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。教材 106 页练习 1（1） ，2；习题 8.41.五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：48本章小结一、知识结构实际问题设未知数，列方程二元或三元一次方程组实际问题的答案二、回顾与思考1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？2、什么是消元的思想？解二元一次方程组消元的途径有哪些？3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么相同之处？有什么不同之处？三、例题导引ax y 15,(1)甲由于看错了方程（1）中的 a，得到方程组的解为x 3，乙由于看错了例 1 已知方程组4xby 2.(2)y 1x 4,，若按正确的计算，求 x6y 的值。方程(2)中的 b，得到方程组的解为y 3.解方程组代入法加减法检验二元或三元一次方程组的解例 2甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50的利润定价，乙服装按 40的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？例 3据研究， 一般洗衣粉含量以 0.20.5为宜， 即 100 千克洗衣水里含 200500 克的洗衣粉比较合适，因为这时表面活性最大，去污效果最好。现在，洗衣缸里放了两汤匙洗衣粉（一汤匙约 0.02 千克） ，4 千克衣服，若要使洗衣粉的含量为 0.4（放入衣服之后） ，容量达到 15 千克，还需加多少洗衣粉，添多少水才合适？三、练习升华四、课堂小结：五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：49第九章不等式与不等式组9.1.1 不等式及其解集教学目标 1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上；2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想；3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。教学重点：建立方程解决实际问题，会解“axb=cx+d”类型的一元一次方程教学难点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。教学过程1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了这是什么原因呢？2、一辆匀速行驶的汽车在 11：20 时距离 A 地 50 千米。要在 12：00 以前驶过 A 地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时 x 千米，能用一个式子表示吗？探究新知（一）不等式、一元一次不等式的概念在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“”或“”表示大小关系的式子叫做不等式；用“并”表示不等关系的式子也是不等式。2、下列式子中哪些是不等式？（1）ab=b+a（2）35（3）xl（4）x 十 36（5）2m50 的解？2x问题 4，数中哪些是不等式350 的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式巩固新知下列哪些是不等式x36 的解？哪些不是？4，2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x36（2）2x0拓广探索：比较分析对于问题1 还有不同的未知数的设法吗？x x2x 1402学生思考回答：若设去年购买计算机x 台，得方程50xx x 140若设今年购买计算机 x 台，得方程42解决问题某开山工程正在进行爆破作业已知导火索燃烧的速度是每秒0.8 厘米，人跑开的速度是每秒4 米为了使放炮的工人在爆炸时能跑到100 米以外的安全地带，导火索的长度应超过多少厘米？总结归纳：1、不等式与一元一次不等式的概念；2、不等式的解与不等式的解集；3、不等式的解集在数轴上的表示五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.1.2 不等式的性质（一）教学目标 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；2、初步体会不等式与等式的异同； 3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性教学重点：理解并掌握不等式的性质。教学难点：正确运用不等式的性质。教学过程（师生活动）提出问题：教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：1、天平被调整到什么状态？2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？探究新知 1、用“”或“”填空（1）16 的解？哪些不是？ 4，2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x36（2）2x0巩固新知51(2)535a3+a5a3a（4）十（2） （6）十（2）(3)6265256（5）2（5）(4)23（2）636（2）（6）3（一 6）2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并1.判断ab33（3）ab2a0a0（5）a0a3（1）ababbb（2）a3aa 是数（2）32a 是数（3）ax1a 是数3.根据下列已知条件，说出a 与 b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。ab33（3）4a4b（1）a3b3（2）总结归纳：在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：1、等式性质与不等式性质的不同之处；2、在运用“不等式性质 3时应注意的问题五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.1.2 不等式的性质（二）教学目标：1、会根据“不等式性质 1解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；2、学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；3、在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯教学重点：根据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。教学难点：根据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。教学过程（师生活动）提出问题：小希就读的学校上午第一节课上课时间是8 点开始小希家距学校有 2 千米，而他的步行速度为每小时 10 千米那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？若设小希上午 x 点从家里出发才能不迟到，则x 应满足怎样的关系式？你会解这个不等式吗？请说说解的过程你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？探究新知分组探讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，作出记录，最后各组派代表发主。在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：x x 应满足的关系是：15852111147根据“不等式性质 1”，在不等式的两边减去5，得：x5585，即 x5这个不等式的解集在数轴上表示如下：4我们在表示5的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数。7例题解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3x2x1（2）35x46x师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于由3x2x+1，得 3x-2x1；由 35x46x，得5x+6x4-3.这类似于解方程中的“移项”可见，解不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向最后由教师完整地板书解题过程巩固新知1、解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）x51（2）4x3x-5（3）8x-27x32、用不等式表示下列语句并写出解集： （1）x 与 3 的和不小于 6； （2）y 与 1 的差不大于 0.解决问题1、 某容器呈长方体形状， 长 5cm， 宽 3cm， 高 10cm.容器内原有水的高度为 3cm。 现准备继续向它注水 用 Vcm，示新注入水的体积，写出V 的取值范围。2、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？总结归纳：师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法。还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.1.2 不等式的性质（3）教学目标 1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。教学重点：熟练并准确地解一元一次不等式。教学难点：熟练并准确地解一元一次不等式。教学过程（师生活动）53提出问题：某地庆典活动需燃放某种礼花弹为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到 10米以外的地方 已知导火索的燃烧速度为0.02m/s， 人离开的速度是 4m/s， 导火索的长 x(m)应满足怎样的关系式？你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程探究新知1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法教师规范地板书解的过程2、例题解下列不等式，并在数轴上表示解集：2（1）3x50(2)-4x3 (3)73x10（4）2x-33x1分组活动 先独立思考， 然后请 4 名学生上来板演， 其余同学组内相互交流， 作出记录， 最后各组选派代表发言，点评板演情况教师作总结讲评并示范解题格式3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处。16x7（2）8x10巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）712、用不等式表示下列语句并写出解集： （1）x 的 3 倍大于或等于 1； （2）y 的4的差不大于2.解决问题测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的树龄一般规定以树干离地面 1.5m 的地方作为测量部位某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约 3cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4m?总结归纳：围绕以下几个问题：1、这节课的主要内容是什么？2、通过学习，我取得了哪些收获？3、还有哪些问题需要注意？让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.2 实际问题与一元一次不等式（一）教学目标 1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。教学重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。教学难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。教学过程（师生活动）54提出问题某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000 元，并且多买都有一定的优惠甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠 25；乙商场的优惠条件是：每台优惠 20如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？探究新知 1、分组活动先独立思考，理解题意再组内交流，发表自己的观点最后小组汇报，派代表论述理由2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)什么情况下，两个商场收费相同？3、我们先来考虑方案：设购买 x 台电脑，如果到甲商场购买更优惠问题 1：如何列不等式？问题 2：如何解这个不等式？在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如下：解：设购买 x 台电脑，如果到甲商场购买更优惠，则 60006000（125） （x1）6000（120）x去括号，得去括号，得：60004500x450044800x移项且合并，得：300x1500不等式两边同除以300，得：x3x202（一 3x）3（x2）(x5)a 或 xa)的形式巩固新知解下列不等式，并在数轴上表示解集：x 12x 5x 12x 517364（1）（2）2、 当 x 或 y 满足什么条件时，下列关系成立？（1）2(x+1）大于或等于 1；（2）4x 与 7 的和不小于 6；（3）y 与 1 的差不大于 2y 与 3 的差；1（4）3y 与 7 的和的4小于2.总结归纳：师生共同归纳解一元一次不等式的一般步骤，并与解一元一次方程再次进行比较。布置作业：教科书第 134 页习题 9.2 第 1 题（3）（6） 、第 3 题（3） 、 （4） 。9.2 实际问题与一元一次不等式（三）教学目标 1、会根据实际向题中的数量关系列不等式解决问题，熟练掌握一元一次不等式的解法；2、初步感知实际问题对不等式解集的影响，培养学生的数学建模能力和分析问题、解决问题的能力；3、通过开放性问题的设计，增强学生的创新意识和挑战自我意识，激发学习兴趣教学重点：根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练列不等式解应用问题。教学难点：把生活中的实际问题抽象为数学问题。教学过程（师生活动）引入新课前面我们结合实际问题， 讨论了如何根据数量关系列不等式以及如何解不等式 在本节课上，我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题56提出问题某次知识竞赛共有 20 道题每道题答对加 10 分，答错或不答均扣 5 分：小跃要想得分超过 90 分，他至少要答对多少道题？探究新知 1、与题目数量有什么关系？2、跃答对了 x 道题，则如何用含有 x 的式子表示得分？3、不等式应用题的解法教师在学生充分讨论的基础上板书解题过程，并指出：用不等式解应用问题时，必须注意对未知数的限制条件解决问题某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评活动聘请A，B，C，D，E 五位老师为评委，对演讲答辩进行评分；全班50 位同学参与了民主测评规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确定；民主测评得分一“好”票数2分十“较好”票数l 分“一般”票数综合得分一演讲答辩得分(1a)民主测评得分a(0a0.8(1)当 a=0.6 时，甲的综合得分是多少？(2)a 在什么范围时，甲的综合得分高？a 在什么范围时，乙的综合得分高？五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.3 一元一次不等式组（一）教学目标 1.了解一元一次不等式组的概念， 理解一元一次不等式组的解集的意义， 掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法；2.经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性；3.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想。教学重点：一元一次不等式组的解集和解法。教学难点：一元一次不等式组解集的理解教学过程（师生活动）创设情境：提出问题小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72 千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地。后来，小宝借来一副质量为66 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，如果设小宝的体重为x千克，（1）从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？（2）你认为怎样求 x 的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？在讨论或议论中，列出不等式：2x 十 x722x 十 x672其中 x 同时满足以上两个不等式在议论的基础上，老师揭示：一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多类比探索引出新知问题 2(教科书第 137 页）57现有两根木条 a 和 b，a 长 10cm，b 长 3cm.如果再找一根木条。 ，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条的长度有什么要求？等式的性质 1。如果设木条长 xcm， 那么 x 仅有小于两边之和还不够， 仅有大于两边之差也不行， 必须同时满足 x10-3.类似于方程组，引出一元一次不等式组的概念和记法 （教科书 137 页）类比方程组的解，引出一元一次不等式组的解集的概念 （教科书 127 页）利用数轴，师生一起将问题1、问题 2 的解集求出来解法探讨出示教科书例 1，解下列不等式组：2x 3 x 112x 1 x 12x 51 2 xx 8 4x 1（1）（2）3小组讨论： 根据不等式组的解集的意义， 你觉得解决例 1 需要哪些步骤？在这些步骤中， 哪个是我们原有的知识，哪个是我们今天获得的新方法？在讨论的基础上，师生一起归纳解一元一次不等式组的步骤：(1)求出各个不等式的解集；(2)找出各个不等式的解集的公共部分（利用数轴） 师生一起完成例 1巩固练习：学生练习：教科书第140 页练习 1教师巡视、指导，师生共同评讲小结与作业1.课堂小结这节课你学到了什么？有哪些感受？2.教师归纳：学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要；学习不等式组时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深的体验五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：9.3 一元一次不等式组（二）教学目标 1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题；2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力；3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。教学重点：建立不等式组解实际问题的数学模型。教学难点：正确分析实际问题中的不等关系，列出不等式组。教学过程（师生活动）一、复习归纳在习题 9.3 第 1 题中，我们知道以下不等式组与解集的对应关系58x 4x 2x 4x 2x 4x 2x 4x 2做出答案，请问你从中发现了什么？如果 a、b 都是常数，且 ab，你能不画数轴（但头脑中可以想数轴）很快地写出它们的解集吗？x ax bx ax bx ax bx ax b老师推荐一个口诀帮助大家记忆：小小取小；大大取大；大小小大取中间；大大小小取无聊。探究实际问题出示教科书第139 页例 2(略）问： （1)你是怎样理解“不能完成任务”的数量含义的？(2)你是怎样理解“提前完成任务”的数量含义的？(3)解决这个问题，你打算怎样设未知数？列出怎样的不等式？师生一起讨论解决例 2.归纳小结 1、教科书 129 页“归纳”2、你觉得列一元一次不等式组解应用题与列二元一次方程组解应用题的步骤一样吗？在讨论或议论的基础上老师揭示：步法一致（设、列、解、答） ；本质有区别 （见下表）一元一次不等式组应用题与二元一次方程组应用题解题步骤异同表设列解（结果）答一元一次不等式组一个未知数找不等关系一个范围根据题意写出答案二元一次不等式组两个未知数找等量关系一对数教师揭示：列不等式解应用题时， （1)不等号方向要符合实际的数量关系，不能颠倒；(2)未知数所代表的量要确切，不能含含糊糊练习：教科书 129 页练习第 2 题。某校在一次参观活动中，把学生编为8 个组，若每组比预定人数多1 人，则参观人数超过200 人，若每组比预定人数少 2 人，则参观人数不大于184 人，试求预定每组学生的人数教师巡视、指导、调控。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：不等式与不等式组知识总结一、不等式的概念1不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。593不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5用数轴表示不等式的解集。二、不等式的基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。三、一元一次不等式1一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：60第十章 数据的收集、整理与描述10.1 统计调查（一）教学目标 1、了解全面调查的概念； 2、会设计简单的调查问卷，收集数据； 3、掌握划记法，会用表格整理数据；4、会画扇形统计图，能用统计图描述数据；5、经历统计调查的一般过程，体验统计与生活的关系.教学重点：全面调查的过程（数据的收集、整理、描述）教学难点：绘制扇形统计图教学过程一、问题导入在日常生活中，我们可能遇到下面一些问题：（1）中央电视台青年歌手大奖赛的收视情况怎样？（2）班级里同学出生主要集中在哪一年？（3）本年度最受欢迎的影片是哪几部？要解决这些问题，需要进行统计调查。二、数据的收集问题 1：现在我们如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，你怎样才能知道结果？举手表决、问卷调查等。问卷调查是一种比较常用的调查方式，采用这种方式要设计好调查问卷。你认为设计调查问卷应包括哪些内容？问卷设计的内容应包括调查中所提的问题、答案选项以及要求等。就上面的问题我们可以设计如下的调查问卷： 、调查问卷调查问卷年月在下面四类电视节目中，你最喜爱的是 （单选）A、新闻 B、体育 C、动画 D、娱乐填完后，请将问卷交数学课代表。如果想了解男、女生喜爱节目的差异，问卷中还应该包含什么内容？应加“男女（打勾）”这一项.问卷设计好后，请每位同学填写，然后收集起来。例如，调查的结果是：DCADBCADCDDBDCDBDCDB三、数据的整理从上面的数据中你容易看出全班同学喜爱各类节目的情况吗？为什么？不容易。因为这些数据杂乱无章，不容易发现其中的规律。为了更清楚地了解数据所蕴含的规律，需要对数据进行整理。你认为应该怎样整理我们收集到的数据？划“正”字。这就是所谓的划记法。下面我们利用下表整理数据。全班同学最喜爱节目的人数统计表：节目类型A 新闻CDABDDBCDBABBDDDCDBD注意：用字母代替节目的类型，可方便统计.划记人数461百分比10%B 体育C 动画D 娱乐合计正正正正正正40108184025%20%45%100%上表可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况。四、数据的描述为了更直观地看出上表中的信息，我们还可以用条形统计图和扇形统计图来描述数据。绘制条形统计图投影 720人数8151010540绘制扇形统计图我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇形代表总体的一部分。 扇形图通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比。扇形的大小是由圆心角的大小决定的， 所以，我们只要知道圆心角的度数就可以画出代表某一部分的扇形。因为组成扇形图的各扇形圆心角的和是 3600，所以只需根据各类节目所占的百分比就可以算出对应扇形圆心角的度数。新闻：360010360 ，体育：360025900，动画：360020720，娱乐：3600451620.在一个圆中，根据算得的圆心角的度数画出各个扇形，并注明各类节目的名称及相应的百分比。投影 81045%动画2520%体育新闻18新闻 体育动画娱乐节目类别娱乐你能根据上面的条形统计图和扇形统计图直接说出全班同学喜爱各类电视节目的情况吗？在上面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱电视节目的数据， 利用表格整理数据，并用统计图进行直观形象的描述。通过分析表和图，了解到了全班同学喜爱电视节目的情况。在这个调查中，全班同学是要考察的全体对象，我们对全体对象都进行了调查，像这样考察全体对象的调查叫做全面调查。例如，2000 年我国进行的第五人口普查，就是一次全面调查。请你举出一些生活中运用全面调查的例子.五、课堂练习：课本 137 页第 1 题。六、课堂小结1、本节课我们经历了全面调查的一般过程，知道了利用问卷调查来收集数据，利用表格来整理数据，利用条形统计图和扇形统计图来描述数据。2、学会了设计调查问卷和扇形统计图的画法。62五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：10.1 统计调查（二）教学目标 1、经历数据的收集、整理和分析的模拟过程，了解抽样调查、样本、个体与总体等统计概念；2、初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想。教学重点： 抽样调查、样本、总体等概念以及用样本估计总体的思想教学难点：样本的抽取教学过程一、问题导入要了解一罐八宝粥里各种成分的比例， 你会怎么做？把一罐八宝粥铺开在一个盆子里查看。 这样可行吗？这样方便吗？为此我们必须找到一种方便合理的调查方法才行。二、抽样调查及有关概念问题 2 某校有 2000 名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查， 然后整理收集到的数据， 统计出全校学生对四类电视节目的喜爱情况。这样做，当然好，可以准确、全面地了解情况。但是，由于学生人数比较多，这样做又会有许多弊病，你能说说吗？花费的时间长，消耗的人力、物力大。你能找到一种既省时省力又能解决问题的调查方法吗？可以抽取一部分学生进行调查.这种只抽取一部分对象进行调查， 然后根据调查数据推断全体对象的情况的方法就是抽样调查。 这里要考查的全体对象称为总体，组成总体的每一个考查对象称为个体， 被抽取的那些个体组成一个样本， 样本中个体的数目称为样本容量。上面问题中全校学生是总体，每一名学生是个体，我们从总体中抽取的部分学生是一个样本，抽取的学生数就是样本容量。例如抽取100 名学生，样本容量就是100。注意：抽样调查还适用一些具有破坏性的调查，如关于灯泡寿命、火柴质量等。三、样本的抽取抽样调查的关键是样本的抽取，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则，抽样调查的结果会偏离总体情况。上面的问题，抽取样本的要求是什么呢？一、抽取的学生数目要适当。如果抽取的学生数太少，那么样本就不能很好地反映总体的情况；如果抽取的学生人数太多，那么达不到省时省力的目的。我们可以取100 名学生作为一个样本。二、要尽量使每一个学生抽取到的机会相等。例如，可以在2000 名学生的注册学号中，用电脑随机抽取100 个学号，调查这些学号对应的100 名学生。你还能想出使每个学生都有相等机会被抽到的方法吗？从 2000 名学生的注册学号中，用电脑抽取能被5 整除的 100 个学号，调查这些学号对应的学生；放学或上学时在校门口随机访问 100 名学生，等等。这种总体中的每一个个体都有相等机会被抽到的抽样方法是一种简单随机抽样。63现在你能回答“要了解一罐八宝粥里各种成分的比例，你会怎么做？”这个问题了吗？搅拌均匀后，舀一勺查看，用所得的结果估计这罐八宝粥成分的比例。四、样本的处理和全面调查一样，对收集的数据要进行整理。下面是某同学抽取样本容量为100 的调查数据统计表。投影 3抽样调查 100 名学生最喜爱节目的人数统计表从上表可最多，是学生中，节目类型A 新闻B 体育C 动画D 娱乐合计划记正正正正正正正正正正正正正正正正正正100人数8243038100百分比8%24%30%38%100%以看出， 样本中喜爱娱乐节目的学生38%，据此可以估计出，这个学校的喜欢娱乐节目的人最多，约为38%。类似地，由上表可以估计这个学校喜爱其他节目的学生人数的百分比。表格中的数据也可以用条形统计图和扇形统计图来表示描述。40人数30302420810038娱乐838%2430%动画节目类别体育新闻新闻 体育动画娱乐五、课堂练习：课本P137 练习 1、2、3。六、课堂小结1、个体、总体、样本、样本容量及抽样调查的概念；2、抽取样本的要求： （1）抽取的样本容量要适当； （2）要尽量使每一个个体被抽取到的机会相等简单随机抽样。3、全面调查和抽样调查的优缺点是什么？全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查；抽样调查具有花费少、省时的特点，但没有全面调查准确，受样本选取的影响比较大。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：10.1 统计调查（三）教学目标 1、经历较复杂问题的处理过程，感受分层抽样的必要性，掌握分层抽样的方法；2、学会从样本中分析、归纳出较为正确的结论，增强用统计方法解决问题的意识。教学重点：分层抽样的方法和样本的分析、归纳教学难点：分层抽样方案的制定64教学过程一、复习导入什么是抽样调查？什么是简单随机抽样？仔细观察我们身边周围，抽样调查的应用是十分普遍的。有些问题总体量不大，个体差异程度小，只需进行简单随机抽样就可以了，有些问题总体量大，个体差异程度较大，必须有更好的抽样方法才行。二、分层抽样问题 3 某地区有 500 万电视观众，要想了解他们对新闻、体育、动画、娱乐四类节目的喜爱情况。（1）能不能用问题 2 中对学生的调查数据去估计整个地区电视观众的情况呢？为什么？不能。一是样本容量太小；二是学生、成年人、老年人喜欢的电视节目往往有明显不同.所以要了解整个地区观众的情况，需要在更大范围内抽取样本。（2）如果抽取一个容量为1000 的样本进行调查，你会怎样调查？由于各年龄段对节目爱好有明显的不同， 而同一个年龄段对节目的喜爱又存在共性， 因此可以对青少年、 成年人、老年人各人群分别独立进行简单随机抽样， 使每个年龄段都能抽取一定的人数来代表所在的人群， 然后汇总调查结果。这里还有一个问题，每个年龄段抽取的人数怎么确定呢？可以根据各年龄段实际人口的比例分配，以确保每一个年龄段都有相应比例的代表。如果青少年、成年人、老年人的人数比例为253，那么各年龄段抽取的人数分别是多少？抽取的人数青少年200成年人500老年人300合计1000先将总体分成几个年龄段（层） ，然后再在各年龄段（层）中进行简单随机抽样，这是一种分层抽样。分层抽取的样本与这个地区所有观众的年龄结构基本相同， 与在整个地区直接进行简单随机抽样相比， 更具有代表性。三、样本的分析：下表是用分层抽样进行调查并整理得到的数据。人数年龄节目类型段A 新闻B 体育C 动画D 娱乐合计青少年16505678200成年人13711857188500老年人120822870300合计2732501413361000百分比27.32514.333.6100请你自己画条形统计图和扇形统计图描述上表中的数据。从上表中可以大致估计整个地区观众对四种节目的喜爱情况，你能谈谈吗？此外，还可以估计各个年龄段中观众对某类节目喜爱的情况。例如，估计各个年龄段中观众对动画类节目和娱乐类节目喜爱的情况。能根据上表中的数据进行估计吗？为什么？不能。因为不同年龄层抽取的人数不相等。那么根据什么来进行估计呢？可根据不同年龄层中喜爱动画和娱乐类节目的百分比来估计。如表：动画娱乐青少年2839成年人11.237.6老年人9.323.3从表中你看到了什么？不同年龄段的观众对节目喜爱不尽相同。用什么方式可以直观地反映这种变化呢？折线统计图。下图是不同年龄段观众喜爱娱乐和动画类节目的折线统计图。65百分率403020100娱乐动画青少年 成年人 老年人年龄段从上图中可以清楚地看到，随着年龄的增加，观众对动画类、娱乐类的喜爱程度逐渐下降。四、课堂练习：课本P140 练习 1、2、3.五、课堂小结1、对于总体量大，个差异程度较大的问题，需要采取分层抽样的方法确定样本，这样可使样本更具有代表性。2、对样本进行分析、归纳，得出的结论可以用来估计总体的情况，这就是统计的思想。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：10.2 直方图（一）教学目标 1、理解频数、频数分布的意义，学会制作频数分布表；2、学会画频数分布直方图和频数折线图。教学重点：学会画频数分布直方图教学难点：确定组距和组数教学过程一、导入新课收集数据、整理数据、描述数据是统计的一般过程。我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，今天我们学习另一种描述数据的统计图直方图。二、频数分布直方图问题 4 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛， 七年级准备从 63 名同学中挑出身高相差不多的40 名同学参加比赛。为此收集到这 63 名同学的身高（单位：）如下：158168159149162155156158158167163163156157160154170163157165153168158153162162166165159154160172162156159159169160161161154157151158159153157166155158158159156157164164159158160162164165156选择身高在哪个范围的学生参加呢？为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据（身高）的分布情况，即在哪些身高范围内的学生比较多。为此我们把这些数据适当分组来进行整理。66计算最大值与最小值的差（极差）最小值是 149，最大值是 172，它们的差是 23。说明身高的变化范围是23 .2、决定组距与组数把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。作等距分组（各组的组距相同） ，取组距为 3 （从最小值起每隔 3 作为一组） 。最大值最小值2327组距33将数据分成 8 组：149x152，152x155，170x173.注意：根据问题的需要各组的组距可以相同或不同；组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定；当数据在 100 个以内时，按照数据的多少，常分成512 组，一般数据越多分的组数也越多。3、频数分布表对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数） 。用表格整理可得频数分布表：频数分布表身高分组149x152152x155155x158158x161161x164164x167167x170170x173划记正一正正正正正正正正频数26121910842从表格中你能看出应从哪个范围内选队员吗？可以看出，身高在 155x158，158x161，161x164 三个组的人数最多，一共有 12191041 人，因此，可以从身高在 155164 （不含 164 ）的学生中选队员。4、画频数分布直方图为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据上表画出频数分布直方图。频数/组距76543210149 152 155158 161 164167 170173身高（）上面小长方形的面积表示什么意义？频数小长方形的面积组距组距频数.可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的多少。等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距） 。因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数。这样，上面的频数分布图可画成下面的形式：67频数21150149 152 155 158 161164 167 170 173身高 （）三、频数分布折线图在频数分布直方图的基础上，我们还可以用频数折线图来描述频数的分布情况。首先取直方图的每一个长方形上边的中点， 然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0 的点， 它们分别与直方图左右相距半个组距。例如，在上面的直方图的左边取点（147.5，0） ，在直方图右边取点（174.5，0） ，将所取的这些点用线段依次连接起来，就得到频数分布折线图。频数（学生人数）20151050149 152 155158 161 164167 170173身高（）四、课堂小结频数分布直方图是描述数据的又一方式， 画频数分布直方图的关键是确定组距和组数， 而这一点没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定。频数分布折线图也是描述频数分布情况的一种方式。五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：10.2 直方图（二）教学目标：掌握频数分布直方图和频数折线图的画法， 并能用频数分布直方图解释数据中蕴含的信息， 进一步体会统计图表在描述数据中的作用。教学重点：画频数分布直方图教学难点：解释数据中蕴含的信息教学过程一、复习导入上节课我们学习了画频数分布图，回忆一下，画频数分布直方图有哪些步骤？怎样确定组距和组数？二、例题看下面的例子：68为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田时抽取了100 个麦穗，量得它们的长度如下表（单位：） ：6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.65.85.56.06.55.16.55.35.95.55.86.25.45.05.06.86.05.05.76.05.56.86.06.35.55.06.35.26.07.06.46.45.85.95.76.86.66.06.45.77.46.05.46.56.06.85.86.36.06.35.65.36.45.76.76.25.66.06.76.76.05.56.26.15.36.26.86.64.75.75.75.85.37.06.06.05.95.46.05.26.06.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图。解：1、计算最大值与最小值的差是多少？最大值最小值的差：7.44.03.4（）2、决定组距和组数：组距取多少时组数合适？3.4111取组距 0.3 ，那么0.33,可分成 12 组，组数合适。3、列频数分布表分组划记4.0x4.3一4.3x4.6一4.6x4.94.9x5.2正5.2x5.5正正一5.x5.8正正正5.8x6.1正正正正正6.1x6.4正正6.4x6.7正正一6.7x7.0正正7.0x7.37.3x7.6一合计4、画频数分布直方图频数3025201510504.0 4.34.6 4.9 5.25.55.86.16.46.77.07.37.6穗长/69频数112511152813111021100仔细观察上面的表和图，这组数据的分布规律是怎样的？麦穗长度大部分落在 5.2 至 7.0 之间，其他区域较少。长度在5.8x6.1 范围内的麦穗个数最多，有28 个，长度在 4.0x4.3，4.3x4.6，4.6x4.9，7.0x7.3，7.3x7.6 范围内的麦穗个数很少，总共只有7 个。三、课堂练习P149 练习（1）你认为组距是多少比较合适？为什么？ 5 组，因为 100 个数据以内可以分 512 组，这里有 48个数据，分 5 组或 6 组比较合适。 （2）画出直方图。作业：P150 第 2、4 题。本章小结一、知识结构全面调查收集数抽样调查据制表整理数据绘图描述数据分析数据得出结论条形图么？统计调查对我们有什么帮助？统计调查一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程；可以帮助我们更好地了解周围世界，对未知的事物作出合理的推断和预测。2、全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式。什么是全面调查？什么是抽样调查？它们各有什么优缺点？考察全体对象的调查叫做全面调查。只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法是抽样调查。全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些具有破坏性的调查不宜用全面调查；抽样调查花费少、时间短，节省人力、物力、财力，破坏性小；结果往往不如全面调查准确，且样本选取不当，会增大估计总体的误差。3、实际调查中常常采用抽样调查的方法获取数据。抽样调查的要求是什么？（1）每个个体被抽到的机会相同； （2）样本容量要适当。4、利用统计图表描述数据是统计分析的重要环节。对于收集到的数据加以整理，并用统计图表描述出来，这有什么作用？帮助我们从数据中获得信息，得出结论。5、如何画扇形图、频数分布直方图和频数分布折线图？各种统计图都有什么特点？根据各部分所占的百分比计算出各部分所对应的圆心角，从而把一个圆分成几部分，标上百分比，写出名称，就得到了扇形统计图。绘制频数分布直方图：列频数分布表计算最大值与最小值的差；决定组距和组数；画频数分布直方图。扇形图折线图直方图二、回顾与思考1、统计调查的一般过程是什首先取直方图中每一个长方形上边的中点， 然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0 的点， 它们分别与直方图左右相距半个组距，将所取的这些点用线段依次连接起来，就得到频数折线图。条形图能够显示每组中的具体数据； 扇形图能够显示部分在总体中所占的百分比； 折线图能够显示数据的变化趋势；频数分布直方图能够显示数据的分布情况。三、例题导引例 1 测得某市 2 月份 110 日最低气温随日期变化折线图如图所示。 （1）最高气温为2的天数为天； （2）该市这 10 天气温变化趋势图； （3）写一条有关的结论：.70气温/222018161412108642O份数例 1 图例 2 某校学生在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查， 并组织评委对学生写的调查报告进行统计， 绘制了统计图，请根据该图回答下列问题： （1）学生会抽取了多少份调查报告？（2）若等第 A 为优秀，则优秀率为多少？（3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E？例 3 初中学生的视力状况已受到全社会的广泛关注。某市有关部门对全市20 万名初中学生视力状况进行了一次抽样调查，从中随机抽查了 10 所中学全体学生的视力情况，图（1） 、图（2）是 2004 年抽样情况统计图。请你根据两图解答以下问题： （1）2004 年这 10 所中学学生的总人数是多少？（2）2004 年这 10 所中学学生的视力在4.35 以上的人数占全市中学生总人数的百分比是多少？（3）2004 年该市参加中考的学生达66000 人，请你估计2004 年该市这 10 所中学参加中考的学生共有多少人？百分比55 10 所中学其它中学 95图（1）四、练习提高：五、作业布置：六、板书设计：七、教学反思：321012312345678910日期/日等第例 2 图60504030201010 15 20 3.553.954.354.755.15图（2）视力71