( (数学数学) )学科学案学科学案6.2 函数的周期性与对称性一一、学习目标（1）了解函数周期性和对称性的含义，会判断函数是否具备周期性和对称性.（2）能利用函数周期性、对称性及单调性解决函数综合问题二二、知识解析（一)函数的周期性对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f (xT) f (x)，那么函数f (x)叫做周期函数T叫做这个函数的一个周期，如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期周期函数不一定有最小正周期，如常函数，任意小的正数都是它的周期一般说的周期指的是最小正周期，如果T是f (x)的周期，则kT (kN N*)也是该函数的周期.（二）周期性结论若a 0且函数f (x)在其定义域内任意自变量x满足：1f (x a) f (x b)(a b)，则T ba2f (xa) f (x)，则T 2a13f (xa) ，则T 2af (x)14f (xa) ，则T 2af (x)另外，应了解以下形式与周期有关：1 f (x)若f (x a) ，则2a为其一个正周期；1 f (x)1 f (x)若f (x a) ，则4a为其一个正周期；1 f (x)若f (x a) f (x a) f (x)，则6a为其一个正周期.1注：求函数的周期、证明上述结论，常用迭带法，如f (x a) ，f (x)11f (x 2a) f (x)，T 2a是它的一个周期.1f (x a)f (x)（三）对称性结论1对称轴的常用表达形式：f (a x) f (a x)，则f (x)的对称轴为x a；f (x) f (2a x)，则f (x)的对称轴为x a；f (x) f (x)，则f (x)的对称轴为x 0 (即 y 轴 ).2对称中心的常用表达形式：f (a x) f (a x)，则f (x)的对称中心为(a，0)；f (x) f (2a x)，则f (x)的对称中心为(a，0)；0) (即原点).f (x) f (x)，则f (x)的对称对称中心为(0，（四）对称性与周期性区别6.2 函数的周期性和对称性（第 1 页 共 4 页）若f (x a) f (x b)，则f (x)具有周期性；若f (x a) f (b x)，则f (x)具有对称性；规律： “内同”表示周期性， “内反”表示对称性.（五）对称性与周期性联系若函数图象同时具备两种对称性；两条对称轴、两个对称中心、一个对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然.1.若f (x)的图象有两条对称轴x a和x b(a b)，则f (x)周期为2(b a)；2.若f (x)的图象有两个对称中心(a，0)和(b，0)(a b)，则f (x)周期为2(b a)；3.若f (x)的图象有一个对称轴x a和一个对称中心(b，0)(a b)，则f (x)周期为4(b a).注：以上结论均可由对称性和周期性的表达式推得，如 f (x) f (x)，设f (x)是定义在R R上的偶函数，其图象关于直线x 1对称，则f (x) f (2 x)，f (x) f (2 x)，即f (x)周期为 2.三、典型例题例 1 已知函数f (x)对于x0，都有f (x2) f (x)，且当x0，2)时，f (x) log2(x1)，则f (2012) f (2013)的值为1例 2 已知偶函数y f (x)对任意实数x都有f (x1) f (x)，且在0， 1上单调递减，则（ B ）777（A）f ( ) f ( ) f ( )235777（B）f ( ) f ( ) f ( )523777777（C）f ( ) f ( ) f ( )（D）f ( ) f ( ) f ( )325532例 3定义在(， )上的偶函数f (x)满足f (x1) f (x)，且f (x)在1， 0上是增函数， 下面五个关于f (x)的命题中：f (x)是周期函数；f (x)图象关于x 1对称；f (x)在0， 1上是增函数；f (x)在1，2是为减函数；f (2) f (0)正确命题的个数是（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：由于f (x1) f (x)，从而f (x2) f (x1) f (x) f (x)，于是f (x)是以 2 为周期的周期函数，命题正确又因为f (x) f (x2)，可得f (x) f (x2)，因为f (x)为R R上的偶函数，故从而f (2 x) f (x)， 于是f (x)的图象关于直线x 1对称， 命题正确， 且命题正确f (x)f (x) f (x)，为偶函数，且在1， 0上是增函数，则在0， 1上是减函数，命题不正确由于命题正确，命题不正确，从而f (x)在1，2上是增函数，命题不正确，故选C例 4 设f (x)是定义在R R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x2) f (x)，当x0， 2时，f (x) 2x x2（）求证：f (x)是周期函数；（）当x2， 4时，求f (x)的解析式；（）计算f (0) f (1) f (2) f (2013)的值解析： （）因为f (x2) f (x)，所以f (x4) f (x2) f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数；（）当x2， 0时，x0，2，由已知得f (x) 2(x)(x)2 2x x2，又f (x)是奇函数，所以f (x) f (x) 2x x2， 所 以f ( x) 2 x2，x又 当x 2， 2，4时 ，x4 ，0所 以f (x4) (x4)2 2(x4) x26x8 又f (x)是 周 期 为4的 周 期 函 数 ， 所 以f (x) f (x4) x26x8，从而求得x2， 4时，f (x) x26x8；（）f (0) 0， f (1)1，f (2) 0 ，f (3) 1，又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (0) f (1) f (2) f (2013) f (0) f (1)1四四、巩固提高6.2 函数的周期性和对称性（第 2 页 共 4 页）（一）选择题（1）已知函数f (x)是定义域为R R的奇函数，且f (x)的图象关于直线x 1对称，那么下列式子中对任意xR R恒成立的是 （D）（A）f (x 1) f (x)（B）f (x 2) f (x)（C）f (x 3) f (x)（D）f (x 4) f (x)（2）已知f (x)满足：f (1) 2，f (x1)（A）2（B）31 f (x)，则f (82)等于（ B ）1 f (x)1（C）21（D）3（3）在R R上定义的函数f (x)是偶函数，且f (x) f (2 x)，若f (x)在区间1，2上是减函数，则f (x)（ B ）（A）在区间2，4上是增函数1上是增函数，在区间3，（B）在区间2，4上是减函数1上是增函数，在区间3，（C）在区间2，4上是增函数1上是减函数，在区间3，（D）在区间2，4上是减函数1上是减函数，在区间3，（4）定义在R R上的奇函数f (x)满足f (3 x) f (3 x)，若当x(0，3)3)时，f (x) 2x，则当x(6，时，f (x) （B）（A）2x6（B）2x6（C）2x6（D）2xx6（5）f (x)是定义在R R上的以3为周期的奇函数，且f (2) 0，则方程f (x) 0，则方程f (x) 0在区间(0， 6)内的解最少有（ D ）（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个（6）已知函数f (x)的周期为2，当x1， 1时，f (x) x2，那么函数f (x)的图像与函数y |lgx|的图像的交点共有（A）（A）10 个（B） 9 个（C） 8 个（D）1 个3（7）已 知 定 义 在R R上 的 函 数f (x)的 图 像 关 于 点(，0)成 中 心 对 称 ， 对 任 意 实 数x都 有41f (x) ，f ( 1)则f (0) f (1) f (2) f (2017)的值为（C） ，1 f( 0 ) ，23f (x )2（A）2（B）1（C）1（D）3（8）已知f (x)是R R上最小正周期为2的周期函数，且当0x 2时,f (x) x3 x,则函数y f (x)的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为（A）（A）6（B）7（C）8（D）9（二）填空题6.2 函数的周期性和对称性（第 3 页 共 4 页）1x 0ax1，（9）设f (x)是定义在R R上的周期为2 的函数，在区间1，其中1上，f (x) bx2， 0x1 x113a， bR R若f ( ) f ( )，则a3b的值为1022（10）已知定义在R R上的奇函数f (x)，满足f (x 4) f (x),且在区间0，2上是增函数 ,若方程f (x) m(m 0)在区间8， 8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1 x2 x3 x4.解析：8（11）已知函数y f (x)是R R上的偶函数，对于xR R都有f (x6) f (x) f (3)成立，当x1，x20， 3，且x1 x2时，都有f (3) 0； 直线x 6是函数y f (x)的图象的一条对称轴； 函数y f (x)在9，6上为增函数； 函数y f (x)在9， 9上有两个零点其中正确命题的序号为f (x1) f (x2) 0，给出下列命题：x1 x2（三）解答题（12）已知函数f (x) x2 mx n的图像过点(1，3)，且f (1 x) f (1 x)对任意实数都成立，函数y g(x)与y f (x)的图像关于原点对称.（）求f (x)与g(x)的解析式；（）若F(x) g(x) f (x)在1， 1上是增函数，求实数的取值范围.m解析： （）由f (1 x) f (1 x)可知，函数f (x)的对称轴为x 1，有 1， m 2，即2f (x) x2 2x n，又f (1)1 2 n 3， n 0，f (x) x2 2x.设函数y f (x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y),则x0 x，y0 y，因为点Q(x0，y0)在函数y f (x)的图象上， y x2 2x，即g(x) x2 2x.（）F(x) g(x) f (x) x2 2x (x2 2x) (1)x2 2(1)x，因为F(x)在1， 1上是增函数，1 x22所以F(x) 2(1)x 2(1)0恒成立， 即由1上恒成立，11在(1，1在(1，1 x1 x1 x上恒减，当x 1时取最小值0，故0.另 解 ：F(x)在1， 1上 是 增 函 数 ，F(x) 2(1)x 2(1)在1， 1上 非 负 ，2(1) 2(1)0，解得0.2(1)(1) 2(1)0五五、感知高考（1）(2014 安徽文)若函数f (x)(xR R)是周期为 4 的奇函数，且在0， 2上的解析式为0 x1x(1 x)，2941f (x) ， 则f () f () 1 x246sin x，.5166.2 函数的周期性和对称性（第 4 页 共 4 页）