第六章 二次型与二次曲面 第一节第一节 二次型二次型 第二节第二节 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 第三节第三节 二次曲面二次曲面 第四节第四节 用用Matlab解题解题 柯西柯西柯西柯西 法法法法 A. L. A. L. Cauchy Cauchy (1789.8-1857.5) (1789.8-1857.5) 高斯高斯高斯高斯 德德德德 J.C.F.J.C.F. Gauss Gauss (1777.4-1855.2) (1777.4-1855.2) 西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特 英英英英 J. J.J. J. Sylvester Sylvester (1814.9-1897.3) (1814.9-1897.3) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 德德德德 K.T.W. K.T.W. Weierstrass Weierstrass (1815.10-1897.2) (1815.10-1897.2) 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 二次型二次型 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25+ y2 9 = 1 3 5 1/25 0 0 1/9 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 二次型二次型 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线axax2 2+ +bxybxy+ +cycy2 2 =1 =1 mm( (x x ) )2 2 + + n n( (y y ) )2 2 = 1 = 1 O Ox xy yy yO Ox xx = x cos y sin y = x sin + y cos 一一. 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 f(x1, x2, , xn)= a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an 1,nxn 1xn n元实二次型元实二次型 aij = aji n n aijxixj i i, , j j =1 =1 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 n n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i i, , j j =1 =1A = a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annx = x1x2xn xTAx f 的矩阵的矩阵A的二次型的二次型 f 的秩的秩: r(A) r( f ) 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 n n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i i, , j j =1 =1 k1y12 + k2y22 + +knyn2 ? f 的标准形的标准形 xTAx= (y1, y2, , yn) = k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn y1 y2 yn 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) 寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵P, 使得使得寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换x = Py, 使得使得 PTAP =k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形 1. 矩阵的合同矩阵的合同 A与与B相合相合或或合同合同 (记为记为 A B): (2) 反身性反身性: A A. 可逆可逆矩阵矩阵P, 使得使得PTAP = B. 注注: (1) A B A B. ETAE = A 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形 1. 矩阵的合同矩阵的合同 A与与B相合相合或或合同合同 (记为记为 A B): (2) 反身性反身性: A A. (3) 对称性对称性: A B B A. 可逆可逆矩阵矩阵P, 使得使得PTAP = B. 注注: (1) A B A B. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形 1. 矩阵的合同矩阵的合同 A与与B相合相合或或合同合同 (记为记为 A B): (2) 反身性反身性: A A. (3) 对称性对称性: A B B A. (4) 传递性传递性: A B, B C A C. 可逆可逆矩阵矩阵P, 使得使得PTAP = B. 注注: (1) A B A B. P PT TAP AP = = B B Q QT TBQ BQ = = C C Q QT T( (P PT TAPAP) )Q Q = = ( (PQPQ) )T TA A( (PQPQ) ) = = 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形 1. 矩阵的合同矩阵的合同 A与与B相合相合或或合同合同 (记为记为 A B): (2) 反身性反身性: A A. (5) A AT T = = A A(4) 传递性传递性: A B, B C A C. 可逆可逆矩阵矩阵P, 使得使得PTAP = B. 注注: (1) A B A B. (3) 对称性对称性: A B B A. = = P PT TAPAP. . ( (P PT TAPAP) )T T = = P PT TA AT TP P 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例1. 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 33 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 40 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 01 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 01 0 01 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 00 1 01 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 00 1 03 3 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 01/ 1/ 3 3 0 0 0 0 0 1/ 0 1/2 2 0 0 0 0 0 0 1 11/ 1/ 3 3 0 0 0 0 0 1/ 0 1/2 2 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 定理定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵正交矩阵Q使得使得 Q 1AQ = QTAQ是对角矩阵是对角矩阵. ( E A)x = | E A| = 0 特征值特征值 特征向量特征向量 正交化正交化 单位化单位化 Q 回忆回忆6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 定理定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同实对称矩阵与对角矩阵合同. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 n n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i i, , j j =1 =1= 1y12 + 2y22 + + nyn2 xTAx= (y1, y2, , yn) = 1 0 0 0 2 0 0 0 n y1 y2 yn x = Qy = yT(QTAQ)y (Qy)TA(Qy) 2. 二次型在正交变换下的标准形二次型在正交变换下的标准形 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 定理定理6.2. f(x1, x2, , xn) = xTAx可经正交变换可经正交变换 化为标准形化为标准形 1y12 + 2y22 + + nyn2, 其中其中 1, 2, , n为为A的特征值的特征值. 2. 二次型在正交变换下的标准形二次型在正交变换下的标准形 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例2. 用正交变换把用正交变换把将将二次型二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x32 2x1x3 化为标准形化为标准形. | EA| = ( 1)( 2). 所以所以A的特征值为的特征值为 1= 0, 2= 1, 3= 2.代入代入( EA)x = 求得对应的特征向量求得对应的特征向量 1 =(1, 0, 1)T, 2 =(0, 1, 0)T, 3 =( 1, 0, 1)T. 它们是两两正交的它们是两两正交的. 解解: f 的矩阵的矩阵A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 , 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 所以所以A的特征值为的特征值为 1 = 0, 2 = 1, 3 = 2.代入代入( EA)x = 求得对应的特征向量求得对应的特征向量 1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = ( 1, 0, 1)T. 它们是两两正交的它们是两两正交的. 把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵 令令x = Qy, 得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f = y22 +2y32. Q =0 1 0 0 , 2 2 2 2 1 1 1 1 0 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例3. 求二次型求二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x3 4x2x3 在条件在条件x12+x22+x32 = 1下的最大下的最大, 最小值最小值. 由此可得由此可得A的的对应于特征值对应于特征值 = 4的一个特的一个特 征向量征向量: 1 = (1, 1, 0)T, | E A| = ( 4)2( +2). 初等初等 行行变换变换 解解: f 的矩阵的矩阵A = 3 1 2 1 3 2 2 2 0 , 4E A = 1 1 2 1 1 2 2 2 4 1 0 0 1 0 0 2 0 0 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 此外此外A的的对应于特征值对应于特征值 = 2的一个特征向量的一个特征向量 为为 3 = (1, 1, 2)T, 得得 2 = (1, 1, 1)T, 由此可得由此可得由此可得由此可得A A的的的的对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 = = 4 4的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量: : 1 1 = = (1, 1, 0)(1, 1, 0)T T, , 4 4E E A A = = 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 为了求为了求对应于对应于 = 4 的另外一个与的另外一个与 1 正交的特正交的特 征向量征向量, 再解方程组再解方程组1 1 1 1 2 0 x = 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 f = 4y12 +4y22 2y32 由此可得正交矩阵由此可得正交矩阵Q = 且且x12+x22+x32 = 1化为化为y12+y22+y32 = 1, 此时此时 0 , 616 22121313 1316 1令令x = Qy, 得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f = 4y12 +4y22 2y32. = 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 最大值为最大值为4, 最小值为最小值为 2. = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 例例4. 用配方法化用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形为标准形. 解解: f =4x12+3x22+3x32+2x2x3 令令 则则 f =4y12+3y22+(8/3)y32. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例5. 用配方法化用配方法化f =x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3 为标准形为标准形, 并求所用的可逆线性变换并求所用的可逆线性变换.解解: f = x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3 = x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2 (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22 其中其中y = x. 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 因而因而x = y. 1 1 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 3/2 3/2 1/21/2 1 1 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例6. 用配方法化用配方法化f =2x1x2+2x1x3 6x2x3为标准形为标准形. 并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.| EA| = ( 3) + (3+ ) + (3 ). 1 1 2 2 17171 1 2 2 分析分析: 若用前面正交变换的方法化若用前面正交变换的方法化f为标准形为标准形, 非常麻烦非常麻烦. 因为因为 但由此可见但由此可见 f 可化为可化为 f = 3y12 (3+ )y22+ ( 3)y32. 1 1 2 2 17171 1 2 2 0 1 1 1 0 3 1 3 0 , f(x1, x2, x3)的矩阵的矩阵A = 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例6. 用配方法化用配方法化f =2x1x2+2x1x3 6x2x3为标准形为标准形. 并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.解解解解: : 先配先配先配先配x x1 1. . 令令令令x x1 1 = = y y1 1 + + y y2 2, , x x2 2 = = y y1 1 y y2 2, , x x3 3 = = y y3 3. . 则则则则f f =2=2y y1 12 2 2 2y y2 22 2 4 4y y1 1y y3 3+8+8y y2 2y y3 3. . 配方得配方得配方得配方得f f = 2= 2( (y y1 1 y y3 3) )2 2 2( 2(y y2 2 2 2y y3 3) )2 2 +6+6y y3 32 2. . 令令令令z z1 1 = = y y1 1 y y3 3, , z z2 2 = = y y2 2 22y y3 3, , z z3 3 = = y y3 3, , 即即即即y y1 1 = = z z1 1 + + z z3 3, , y y2 2 = = z z2 2 +2+2z z3 3, , y y3 3 = = z z3 3, , 则则则则f f = 2= 2z z1 12 2 2 2z z2 22 2 +6+6z z3 32 2. . 所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为x =y 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 y =z 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 0 0 1 C = 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 = . 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 三三. 惯性定理与规范形惯性定理与规范形 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 用配方法得到的标准形为用配方法得到的标准形为: 例例6中中,在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为: f = 3y12 (3+ )y22+ ( 3)y32. 1 1 2 2 17171 1 2 2 f = 2z12 2z22 + 6z32.标准形不一定唯一标准形不一定唯一标准形不一定唯一标准形不一定唯一!?!?!?!? r = r( f ) = r(A) 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 定理定理6.3. f(x1, x2, , xn) = xTAxk1y12 + k2y22 + + knyn2, k1, , kn中中r个非零个非零 p个正的个正的 可逆线性变换可逆线性变换x = Py q个负的个负的 = p + q r, p, q是确定的是确定的, 与与P的选择无关的选择无关. 正惯性指数正惯性指数 负惯性指数负惯性指数 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 用配方法得到的标准形为用配方法得到的标准形为: 例例6中中,在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为: f = 3y12 (3+ )y22+ ( 3)y32. 1 1 2 2 17171 1 2 2 f = 2z12 2z22 + 6z32.r = 3, p = 2, q = 1. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例1. 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 33 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 40 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 01 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 01 0 01 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 00 1 01 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 00 1 03 3 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 01/ 1/ 3 3 0 0 0 0 0 1/ 0 1/2 2 0 0 0 0 0 0 1 11/ 1/ 3 3 0 0 0 0 0 1/ 0 1/2 2 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0回忆回忆 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 推论推论1. 实二次型实二次型f(x) = xTAx总可以通过总可以通过Rn中中 的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为规范形规范形 且规范形是唯一的且规范形是唯一的. p项项 q项项 r项项 这个这个这个这个真真真真是唯一的是唯一的是唯一的是唯一的! ! ! ! 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 推论推论2. 设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的秩为的秩为r, 正惯性指正惯性指 数为数为p, 则存在可逆阵则存在可逆阵P, 使使PTAP = 0 0 1 1 1 1 Ep Eq O . = p r p n r 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 两个两个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A与与B合同合同 A与与B具有相同的秩和正惯性指数具有相同的秩和正惯性指数. 推论推论3. Ep Eq O A与与B具有相同的规范形具有相同的规范形 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 四四. 二次型的正定性二次型的正定性 1. 定义定义: f(x) = xTAx x f(x) 0 实二次型实二次型 f(x), A正定正定 x f(x) 0. d1 dn (x1, , xn) x1 xn = d1x12 + + dnxn2 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 (3) A正定正定, P可逆可逆 2. 性质性质 (1) An n, Bn n正定正定 A + B正定矩阵正定矩阵. (2) diagd1, , dn正定正定i, di 0. x PTAP正定正定. Px (Px)TA(Px) 0 xT(PTAP)x 0 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 判定判定 An n正定正定, PTAP = diagd1, , dn, P可逆可逆 d1, , dn 0 A的正惯性指数的正惯性指数 = n 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 判定判定 An n正定正定 A的正惯性指数的正惯性指数 = n QTAQ = diag 1, , n, Q正交正交 1, , n 0 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 判定判定 QTAQ = 1 n 1/ 1 1/ n 1/ 1 1/ n = E An n正定正定 A的正惯性指数的正惯性指数 = n A的特征值的特征值 1, , n 0 1 n 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 判定判定 E与与A合同合同 An n正定正定 A的正惯性指数的正惯性指数 = n A的特征值的特征值 1, , n 0 A与单位矩阵与单位矩阵E合同合同 可逆阵可逆阵P使得使得PTEP = A 可逆阵可逆阵P使得使得A = PTP 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 判定判定 An n正定正定 A的正惯性指数的正惯性指数 = n A的特征值的特征值 1, , n 0 A与单位矩阵与单位矩阵E合同合同 可逆阵可逆阵P使得使得A = PTP x Px (Px)T(Px) = |Px|2 0 xT(PTP)x 0 xTAx 0 A正定正定 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 An n正定正定 A的正惯性指数的正惯性指数 = n A的特征值的特征值 1, , n 0 A与单位矩阵与单位矩阵E合同合同 可逆阵可逆阵P使得使得A = PTP 定理定理6.4. 设设A为为n阶实对称阵阶实对称阵, 则下列条件等价则下列条件等价: (1) (2) (3) (4) (5) (即即x xTAx 0) 推论推论. |A| = 1 n |A| 0. A正定正定|A| = |PTP| = |PT| |P| = |P| |P| 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例7. 若若实对称阵实对称阵A满足满足A2 3A + 2E = O, 故故存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得A = PTP. 设设 为为A的特征值的特征值, 则则 2 3 +2为为A2 3A+2E = O的特征值的特征值, 因而因而 2 3 + 2 = 0. 由此可得由此可得 = 1或或2. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例8. 若若A为为n阶正定矩阵阶正定矩阵 则则A的特征值的特征值 1, , n全大于零全大于零, 且存在正交矩阵且存在正交矩阵Q使得使得 |A + E| = ( 1+1)( n+1) 1. Q 1AQ = Q 1(A+E)Q 1 n , = Q 1AQ + E = 1+1 n+1 , 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例9. 若若A = 正定正定, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33(1, 0, 0)A 100则则 0. a11 = 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例9. 若若A = 正定正定, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33则则 x1 x2 x1 x2 0 (x1, x2, 0) x1 x2 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 0. = (x1, x2) x1 x2 a11 a12 a21 a22 a11 0. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例9. 若若A = 正定正定, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33则则 a11 a12 a21 a22 正定正定, a11 0. a11 a12 a21 a22 因而因而 0. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例9. 若若A = 正定正定, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33则则 a11 0. a11 a12 a21 a22 0. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 0. A的的顺序主子式顺序主子式 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 定理定理6.5. n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定 A的各阶的各阶顺序主子式顺序主子式 , 2 = a11 a12 a21 a22 , 1 = a11,均大于零均大于零. n = |A| 2 6 6 3 2 = = 30, 故故A不是正定的不是正定的. 例如例如A = 2 6 4 6 3 1 4 1 4 中二阶顺序主子式中二阶顺序主子式 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例10. 若若f(x1, x2, x3) = x12 + x22 + 5x32 + 2ax1x2 2x1x3 + 4x2x3 是正定的是正定的, 求求a的取值范围的取值范围. 解解: f(x1, x2, x3)的矩阵的矩阵A = f(x1, x2, x3)是正定的是正定的 1 a 1 a 1 2 1 2 5 的顺序的顺序 主子式主子式 1 = 1 0, 2 = 1 a a 1 = 1 a2, 3 = |A| = a(5a+4). 1 a2 0, a(5a+4) 4/5 a 0, yTBy = ( T, yT)M y 0, A, B都正定都正定. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例11. 设设A, B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明证明: M正定正定 A, B都正定都正定. 证明证明: () 设设设设P P 1 1APAP = = M正定正定 1, , s, 1, , t 0 1 s , Q Q 1 1BQBQ = = 1 t , 则则则则 P P O O O O Q Q 1 1 A A O O O O B B P P O O O O Q Q = = 1 1 s s 1 1 t t A, B都正定都正定. 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例11. 设设A, B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明证明: M正定正定 A, B都正定都正定. 证明证明: () 设设设设A A为为为为s s阶的阶的阶的阶的, , 则当则当则当则当i i s s时时时时, , MM正定正定正定正定 MM的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式 0 0 A A, , B B的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式 0 0 A B O O MM的的的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式 = = A A的的的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式当当当当i i s s时时时时, , MM的的的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式 = |= |A A| | B B的的的的i i s s阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式阶顺序主子式 A A, , B B都正定都正定都正定都正定. . 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例11. 设设A, B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明证明: M正定正定 A, B都正定都正定. 证明证明: () 因为因为A, B都正定都正定, PTAP = E, QTBQ = E, 于是于是 P O O Q T A O O B P O O Q = , E O O E 所以存在可逆阵所以存在可逆阵P, Q使使 因而因而M正定正定. 其中其中 可逆可逆, P O O Q 6.1 6.1 二次型二次型二次型二次型 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例11. 设设A, B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明证明: M正定正定 A, B都正定都正定. 证明证明: () 因为因为A, B都正定都正定, A = PTP, B = QTQ, 所以存在可逆阵所以存在可逆阵P, Q使使 因而因而M正定正定. 其中其中 可逆可逆, P O O Q 于是于是 P O O Q T P O O Q = A O O B , 6.2 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.2 6.2 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 S P(x, y, z) F(x, y, z) = 0 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0x = x(t) y = y(t) z = z(t) 曲面的一般方程曲面的一般方程: 曲线的一般方程曲线的一般方程: 曲线的参数方程曲线的参数方程: x y z O P0(x0, y0, z0) 6.2 6.2 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 一一. 几种常见的曲面几种常见的曲面 1. 球面球面 点点P(x, y, z)在球面上在球面上 R |P0P| = R ( (x x x x0 0) )2 2+(+(y y y y0 0) )2 2+(+(z z z z0 0) )2 2 = R (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 6.2 6.2 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 x x2 2 + + y y2 2 + + z z2 2 2 2x x0 0x x 2 2y y0 0y y 2 2z z0 0z z + + x x0 02 2 + +y y0 02 2 + +z z0 02 2 R R2 2 = 0 = 0 特点特点: 三元二次三元二次; 二次项二次项x2, y2, z2前面的系数相同前面的系数相同; 没有没有xy, yz, zx这类的二次项这类的二次项. b2 4a2 + c2 4a2 + d2 4a2 e a 6.2 6.2 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 ax2 + ay2 + az2 + bx + cy + dz + e = 0 (x )2 + (y )2 + (z )2 = k b 2a c 2a b 2a 当当k 0时时: 球面球面, 球心球心( , , ), b b 2 2a a c c 2 2a a b b 2 2a a 半径半径 k 当当k = 0时时: 点点 当当k 0) 令令y = acost, z = asint, 代入代入x2 + z2 = b2得得 x = b2 a2sin2t 由此可得该双柱面曲线的参数方程为由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x = b2 a2sin2t (0 t 0)的简图的简图. 得得z2 + z 20 = 0, 解解: 由由 x2+y2+z2 = 25 z = x2+y2 5 而而z 0, 所以所以z = 4. 因而该曲线也可以看成因而该曲线也可以看成柱面柱面x2+y2 = 9与平面与平面z=4的交线的交线. 其简图如右图所示其简图如右图所示.O x y z 6.3 二次曲面二次曲面 一一. 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 1. 椭球面椭球面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) b a c xyzO 当当a = b = c = R时时半径为半径为R的球面的球面 当当a, b, c中有两个相等时中有两个相等时旋转面旋转面 y y2 2 b b2 2 + + z z2 2 c c2 2 = 1 = 1 x x = 0, = 0,x x2 2 a a2 2 + + z z2 2 c c2 2 = 1 = 1 y y = 0, = 0,x x2 2 a a2 2 + + y y2 2 b b2 2 = 1 = 1 z z = 0, = 0, 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 2. 单叶双曲面单叶双曲面 O x y z a b x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) y2 b2 z2 c2 = 1 x = 0,x2 a2 z2 c2 = 1 y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 1 z = 0, 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 3. 双叶双曲面双叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) O x y z c y2 b2 z2 c2 = 1 x = 0,x2 a2 z2 c2 = 1 y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 1 z = 0, 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 4. 二次锥面二次锥面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) O x y z y2 b2 z2 c2 = 0, x = 0,x2 a2 z2 c2 = 0, y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z = 0,y = bz c x = az c 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 5. 椭圆抛物面椭圆抛物面 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) O O x x y y z z y2 2b2 z = x = 0,y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z = 0, x2 2a2 z = 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 O x y z 6. 双曲抛物面双曲抛物面 x2 a2 y2 b2 = 2z (a0, b0)(马鞍面马鞍面) y2 2b2 z = x = 0,y = 0,x2 a2 y2 b2 = 0 z = 0, x2 2a2 z = 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 7. 椭圆柱面椭圆柱面 x2 a2 + y2 b2 = 1 (a0, b0) 双曲柱面双曲柱面 x2 a2 y2 b2 = 1 (a0, b0) z z y y O O x x y y O O x x z z z z y y O O x x 抛物柱面抛物柱面 x2 = 2py (p 0) 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 二二. 一般方程表示的二次曲面一般方程表示的二次曲面 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 一般方程一般方程 二次型二次型 xTAx + + c = 0 BTx A = a a1111 a a1212 a a1313 a a1212 a a2222 a a2323 a a1313 a a2323 a a3333x = x y z B = b1 b2 b3 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 标准方程标准方程 xTAx + BTx + c = 0 正交变换正交变换x = Qy y = (x , y , z )T 1x 2 + 2y 2 + 3z 2 + b1x + b2y + b3z + c = 0 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0. Q = 0 1 0 0 , 2 2 2 2 1 1 1 1 0 A = 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 , QTAQ = 0 0 1 1 2 2 , 令令 x y z x y z = Q , 则原方程化为则原方程化为 y 2 + 2z 2 + 2y = 0. 即即(y +1)2 + 2z 2 = 1. 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0. 令令 x y z x y z = Q , 则原方程化为则原方程化为 y 2 + 2z 2 + 2y = 0. 即即(y +1)2 + 2z 2 = 1. 再作平移变换再作平移变换 x = x , y = y1, z = z ,则上式化为则上式化为 y 2 + 2z 2 = 1. 可见原方程表示一个椭圆柱面可见原方程表示一个椭圆柱面. z z x x O O y y 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例16. x2 + y + z 2 = 0. 1 0 0 1 0 0 0 2/2 0 2/2 2/2 2/2 0 2/2 2/2 0 2/2 2/2 , 令令 x y z x y z = 则原方程化为则原方程化为 x 2 + 2(y 1) = 0. 再作平移变换再作平移变换 x = x , y = y +1, z = z ,则上式化为则上式化为 x 2 = 2y . 可见原方程表示一个抛物柱面可见原方程表示一个抛物柱面. 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例17. z = xy. 其中其中|Q| = 1. 解解: xy = (x, y, z) 0 1/2 0 1/2 0 0 x y z , 0 0 0 先求得正交矩阵先求得正交矩阵Q = , 2121212 10 0 0 0 1 使使QT , Q = 1/2 0 0 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 可见原方程表示一个双曲抛物面可见原方程表示一个双曲抛物面. 则原方程化为则原方程化为 x 2 y 2 = 2z , x y z 令令 = , 2121212 10 0 0 0 1 x y z 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz. 试就参数试就参数k不同的取值范围不同的取值范围, 讨论二次讨论二次曲面曲面f(x, y, z) = 1的类型的类型. 解解: f(x, y, z)的矩阵的矩阵 A = 1 0 1 0 k k 0 1 0 0 1 0 k k 0 0 1 1 , | E A| = ( 2)( +1 k)( +1+ k). A的特征值的特征值 1 = 2, 2 = k 1, 3 = 1 k. f(x, y, z) = 1的标准方程为的标准方程为 2x 2 + (k 1)y 2 + ( 1 k)z 2 = 1. 6.3 6.3 二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz. 试就参数试就参数k不同的取值范围不同的取值范围, 讨论二次讨论二次曲面曲面f(x, y, z) = 1的类型的类型. 解解: f(x, y, z) = 1的标准方程为的标准方程为 2x 2 + (k 1)y 2 + ( 1 k)z 2 = 1. k k的取的取的取的取值值k k 1 1 k k = = 1 1 1 1 k k 1 1 1 2 2 = = k k 1 1 3 3 = = 1 1 k kf f( (x x, , y y, , z z) = 1) = 1的的的的类类型型型型 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 = 0 0 0 0 0 0 0, 而而 1 = 2 0, 3 = |A| = 1 k2/2. 由此可得由此可得, k A=1,0,-1; 0,1,0;-1,0,1;A=1,0,-1; 0,1,0;-1,0,1;A=1,0,-1; 0,1,0;-1,0,1;A=1,0,-1; 0,1,0;-1,0,1;% % % %二次型二次型二次型二次型f f f f的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 Q,D=eig(A) Q,D=eig(A) Q,D=eig(A) Q,D=eig(A) % % % %输出正交矩阵和对角形矩阵输出正交矩阵和对角形矩阵输出正交矩阵和对角形矩阵输出正交矩阵和对角形矩阵 Q = Q = Q = Q = -0.7071 0 -0.7071 -0.7071 0 -0.7071 -0.7071 0 -0.7071 -0.7071 0 -0.7071 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 1.0000 0-0.7071 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 D = D = D = D = 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 可见正交变换可见正交变换可见正交变换可见正交变换x x = = QyQy把把把把 二次型二次型二次型二次型f f化为标准形化为标准形化为标准形化为标准形 y y2 22 2 + 2 + 2y y3 32 2 6.4 6.4 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 z = -1:0.001:1; z = -1:0.001:1; z = -1:0.001:1; z = -1:0.001:1; %z%z%z%z的范围和取点间距的范围和取点间距的范围和取点间距的范围和取点间距 y = abs(z.(1/3); y = abs(z.(1/3); y = abs(z.(1/3); y = abs(z.(1/3); % % % %计算对应的计算对应的计算对应的计算对应的|y|y|y|y| 二二.绘制曲面和曲线的图形绘制曲面和曲线的图形 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例20. 绘制曲线绘制曲线 绕绕z轴旋转一周所得的旋转曲面轴旋转一周所得的旋转曲面. ( 1 y 1)z = y3 x = 0 mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) % % % %绘制网线图绘制网线图绘制网线图绘制网线图 X,Y,Z=cylinder(y,100);X,Y,Z=cylinder(y,100);X,Y,Z=cylinder(y,100);X,Y,Z=cylinder(y,100);% % % %半径半径半径半径= = = =y,100y,100y,100y,100点点点点/ / / /圈圈圈圈 6.4 6.4 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 x = -pi:0.1:pi;x = -pi:0.1:pi;x = -pi:0.1:pi;x = -pi:0.1:pi; %x%x%x%x的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距 z = 0:0.1:1;z = 0:0.1:1;z = 0:0.1:1;z = 0:0.1:1; %z%z%z%z的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距 例例21.绘制柱面绘制柱面y = sinx ( x , 0 z 1). surf(X,Y,Z)surf(X,Y,Z)surf(X,Y,Z)surf(X,Y,Z) % % % %绘制表面图绘制表面图绘制表面图绘制表面图 X,Z=meshgrid(x,z);X,Z=meshgrid(x,z);X,Z=meshgrid(x,z);X,Z=meshgrid(x,z); % % % %用用用用x x x x和和和和z z z z产生格点矩阵产生格点矩阵产生格点矩阵产生格点矩阵 Y = sin(X); Y = sin(X); Y = sin(X); Y = sin(X); % % % %计算对应的计算对应的计算对应的计算对应的y y y y 6.4 6.4 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例22. 绘制曲面绘制曲面x2 + y2 + z2 = 4和曲线和曲线 (z 0)x2 + y2 + z2 = 4 x2 + y2 2x = 0 解解: 曲面曲面x2 + y2 + z2 = 4 (z 0)可以由曲线可以由曲线 (z 0)y2 + z2 = 4 x = 0 绕绕z轴旋转一周得到轴旋转一周得到. 曲线曲线 (z 0)的参数方程为的参数方程为 x2 + y2 + z2 = 4 x2 + y2 2x = 0 x = cost + 1, y = sint, z = 2sin , (0 t z = 0:0.1:2;z = 0:0.1:2;z = 0:0.1:2;z = 0:0.1:2; y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2); mesh(X1,Y1,2*Z1), hold mesh(X1,Y1,2*Z1), hold mesh(X1,Y1,2*Z1), hold mesh(X1,Y1,2*Z1), hold onononon, , , , plot3(X2,Y2,Z2, r *)plot3(X2,Y2,Z2, r *)plot3(X2,Y2,Z2, r *)plot3(X2,Y2,Z2, r *) X1,Y1,Z1 = cylinder(y,30);X1,Y1,Z1 = cylinder(y,30);X1,Y1,Z1 = cylinder(y,30);X1,Y1,Z1 = cylinder(y,30); t = 0:0.05:2*pi;t = 0:0.05:2*pi;t = 0:0.05:2*pi;t = 0:0.05:2*pi; Z2 = 2*sin(t/2);Z2 = 2*sin(t/2);Z2 = 2*sin(t/2);Z2 = 2*sin(t/2); Y2 = sin(t);Y2 = sin(t);Y2 = sin(t);Y2 = sin(t); X2 = cos(t)+ones(size(t);X2 = cos(t)+ones(size(t);X2 = cos(t)+ones(size(t);X2 = cos(t)+ones(size(t); 6.4 6.4 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第六章第六章第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面二次型与二次曲面 z = 0:0.005:2;z = 0:0.005:2;z = 0:0.005:2;z = 0:0.005:2; y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2);y = sqrt(4*ones(size(z)-z.2); mesh(X1,Y1,2*Z1)mesh(X1,Y1,2*Z1)mesh(X1,Y1,2*Z1)mesh(X1,Y1,2*Z1) X1,Y1,Z1 = cylinder(y,X1,Y1,Z1 = cylinder(y,X1,Y1,Z1 = cylinder(y,X1,Y1,Z1 = cylinder(y,200200200200);););); xy=find(X1.2+Y1.2-2*X10);xy=find(X1.2+Y1.2-2*X10);xy=find(X1.2+Y1.2-2*X10);xy=find(X1.2+Y1.2-2*X1 Z1(xy) = NaN; Z1(xy) = NaN; Z1(xy) = NaN; Z1(xy) = NaN; % % % %产生镂空效果产生镂空效果产生镂空效果产生镂空效果