第第4章章 随机变量数字特征随机变量数字特征数学期望数学期望方差与标准差方差与标准差协方差与相关系数协方差与相关系数矩矩条件数学期望条件数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数4.1 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征引例引例 一位射手的水平用打出的环数来记，其分布一位射手的水平用打出的环数来记，其分布列为：列为：4.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望则射手射击则射手射击100次的平均环数近似为：次的平均环数近似为：由于打出环数的概率不同，所以不由于打出环数的概率不同，所以不是是1到到10的算术平均的算术平均. 若当若当 时，则称时，则称 为随机为随机变量变量X的数学期望或均值，记作的数学期望或均值，记作 ，即有，即有1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 例例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为甲、乙两射手的稳定成绩分别为X（甲中环数）（甲中环数）8910概率概率0.30.10.6Y（乙中环数）（乙中环数）8910概率概率0.20.40.4试比较甲、乙两射手谁优谁劣试比较甲、乙两射手谁优谁劣。 解解 甲的平均环数甲的平均环数因此，从某种角度说，甲比乙射击本领高因此，从某种角度说，甲比乙射击本领高。乙的平均环数乙的平均环数 例例 XB(n,p)，求求EX。二项分布的数学期望二项分布的数学期望 例例 若若X服从泊松分布服从泊松分布P()，试求，试求EX。解解泊松分布的数学期望几何分布的期望几何分布的期望证明：证明：例例4 例例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在元压注在1到到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现出现i次（次（i=1，2，3），则下注者赢），则下注者赢i元，否则没收元，否则没收1元元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利? 解：解：用用随随机机变变量量表表示示下下注注者者1元元注注金金带带来来的的赢赢利利，其其可可能能取取值值是是1，1，2，3。显显然然可可以以用用考考察察E是是否否等等于于零零来来评评价价这这一一游游戏戏规规则则对对下下注注者者是是否有利。否有利。的分布列为的分布列为即即由由于于平平均均赢赢利利小小于于0，故故这这一一游游戏戏规规则则对对下下注注者是不利的。者是不利的。离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望g(X)的数学期望为的数学期望为 例例6 设设X的分布律为的分布律为X1013概率概率 求求E(X2) 及及E(X+2) 。019P解：解：数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x20, D(Y)0,称称也经常用也经常用 来表示相关系数来表示相关系数.相关系数的性质：相关系数的性质：2. X和和Y独立时，独立时， ，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.故故但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.Cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例1 设设X服从服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布内的均匀分布 , 而而Y=cos X,不难求得不难求得即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立 .若若 Y 与与 X 无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若若若 的值越接近于的值越接近于1, Y 与与 X 的线性相关程度越高的线性相关程度越高; 的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.例例设二维随机向量（设二维随机向量（X,YX,Y）的联合密度为）的联合密度为 解：解：4.2.3 条件数学期望条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望连续型随机变量的条件数学期望连续型随机变量的条件数学期望条件期望的性质条件期望的性质(1)(2)(3)特别地特别地(4)例例( (随机个随机变量的和随机个随机变量的和) ) 解：解：