七七 数学广角数学广角其中一瓶少其中一瓶少3片。片。打开瓶子打开瓶子数一数数一数 用手掂一掂，用手掂一掂，比较轻的就比较轻的就是少的那一是少的那一瓶瓶。 用秤称用秤称 像这种比较轻的物品，像这种比较轻的物品，我们一般借助我们一般借助天平天平来来测量它的重量测量它的重量。在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶钙片，瓶钙片，如果平衡说明这两个都不是次品如果平衡说明这两个都不是次品. 在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶钙片，如果不平衡，说瓶钙片，如果不平衡，说明次品就在翘起来的那边。明次品就在翘起来的那边。 在生活中我们常常会遇在生活中我们常常会遇到这样的情况，在一些外观到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一看似相同的物品中，混着一个质量不同轻一点或重一点个质量不同轻一点或重一点的物品，需要我们想办法把的物品，需要我们想办法把它找出来，像这类问题我们它找出来，像这类问题我们把它叫做把它叫做“找次品找次品”。这里有这里有 5 瓶口香糖，其中瓶口香糖，其中 1 瓶少了瓶少了 3 片，设片，设法把它找出来。法把它找出来。可以用天平称。可以用天平称。天平平衡天平平衡了，剩下了，剩下的那瓶就的那瓶就是次品。是次品。1我用手掂了掂，我用手掂了掂，掂不出来。掂不出来。这里有这里有 5瓶口香糖，其中瓶口香糖，其中 1 瓶少了瓶少了3片，用天片，用天平秤来称，几次保证找到。平秤来称，几次保证找到。1小组合作讨论：小组合作讨论：（1 1）把物品分成几份？每份是多少？）把物品分成几份？每份是多少？（2 2）假如天平平衡，次品在哪里？）假如天平平衡，次品在哪里？（3 3）假如天平不平衡，次品在哪里？）假如天平不平衡，次品在哪里？（4 4）至少称几次，能保证找出次品来）至少称几次，能保证找出次品来？在天平的两边各放在天平的两边各放2瓶钙片，天平瓶钙片，天平不平衡，次品就在翘起来的那边。不平衡，次品就在翘起来的那边。再把翘起来的那边的再把翘起来的那边的2个分一个到个分一个到天平的另一边，翘起来的那边就天平的另一边，翘起来的那边就是次品。是次品。如果用如果用5（2，2，1），），天平如果第一次就平天平如果第一次就平衡，那剩下的那个就衡，那剩下的那个就是次品，就只要称是次品，就只要称1次。次。也就是说这是偶然情况，如果我们也就是说这是偶然情况，如果我们要保证一定能从要保证一定能从5个零件当中找到个零件当中找到1个次品，个次品，就需要就需要2次次。 1 这里有5瓶木糖醇，其中一瓶少了3片，设法把它找出来。瓶数瓶数分成的份数分成的份数称几次就一定能找到称几次就一定能找到这个次品这个次品5 55 535（2，2，1）（1，1，1，1，1）22把每次称的把每次称的过程记录下过程记录下来吧。来吧。每次拿每次拿 2 个称太慢了，能个称太慢了，能不能分成几份称呢不能分成几份称呢?在一些零件里有在一些零件里有 1 个是次品个是次品( (次品重一些次品重一些) )，用天平称，至少称几次就一定能找出次品来用天平称，至少称几次就一定能找出次品来? 2咱们从咱们从 9 个零件个零件开始实验吧开始实验吧!观察实验记录，你能发现什么观察实验记录，你能发现什么? 零件个数零件个数分成的份数分成的份数称的次数称的次数保证能找出次品保证能找出次品需要称的次数需要称的次数93( (4, ,4, ,1) )393( (3, ,3, ,3) )294( (2, ,2, ,2, ,3) )3如果待测物体总数是三的倍数，如果待测物体总数是三的倍数，其中有一个是次品，用天平来其中有一个是次品，用天平来称，我们把它平均分成三份，称，我们把它平均分成三份，保证找出次品所用的次数就是保证找出次品所用的次数就是最少的。最少的。小结：小结：平均分成平均分成 3 份称，份称，需要称的次数最少。需要称的次数最少。平均分成平均分成 3 份份称的方法最好。称的方法最好。如果零件是如果零件是 10 个，个，11 个个应该怎样称应该怎样称?研究记录表研究记录表分一分分一分称一称称一称想一想想一想瓶瓶 数数分成几份分成几份每份各是几个每份各是几个称的次数称的次数保证能找出次品保证能找出次品称的最少次数称的最少次数 53(2, 2, 1)2263(2, 2, 2)2273(2, 2, 3)2283(3, 3, 2)2293(3, 3, 3)2最佳分法最佳分法3最好是平均分最好是平均分或者使多的一份与少的一份个数只相差或者使多的一份与少的一份个数只相差12103(3, 3, 4)33113(4, 4, 3)33 找次品的最优策略：找次品的最优策略： 一、把待测物品分成一、把待测物品分成3 3份；份； 二、能够平均分成二、能够平均分成3 3份就平均分成份就平均分成3 3份，份，尽量尽量平均分平均分，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差。如如9 9（3 3，3 3，3 3）; ;不能平均分成不能平均分成3 3份的，要使份的，要使3 3份每份份每份分得尽量平均，如分得尽量平均，如7 7（2 2，2 2，3 3）。）。 有有 10 瓶水，其中瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有瓶质量相同，另有 1 瓶是盐瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水这瓶盐水? 分成分成 3 份份( (3，3，4) )，则至少称，则至少称 3次可以保证找次可以保证找出这瓶盐水。出这瓶盐水。1. ( (1) )如果用天平称，称几次可以找出来如果用天平称，称几次可以找出来? 2 次。次。我吃了我吃了 2 个。个。这这 9 筐里你吃筐里你吃的是哪一筐的是哪一筐?300 g/筐筐( (2) )你能称你能称 2 次就保证把它找出来吗次就保证把它找出来吗?将将 9 筐分成筐分成 3 份份( (3，3，3) )，天平两边分别放天平两边分别放 3 筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。 再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中各一再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中各一筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即为小松筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一筐即为树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一筐即为小松鼠吃的那一筐。若第小松鼠吃的那一筐。若第步天平不平衡，则从较步天平不平衡，则从较轻的三筐中取两筐，操作如轻的三筐中取两筐，操作如。( (3) )如果天平两边各放如果天平两边各放 4 筐，称一次有可能称出来吗筐，称一次有可能称出来吗? 有可能。有可能。2. 有有 15 盒饼干，其中的盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有盒质量相同，另有 1 盒盒 少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出 这盒饼干这盒饼干?3 次。次。3. 计算。计算。37+ 45= +15352835=4335= 1835512+ 58= +10241524=2524= 112479+ 67= +49635463=10363= 140631 - - - - 2737= - - -772737=2714+ + 16- - 121634= + +143416= 116= - - 3616=2613=13= 1 + 164. 小明和爸爸现在年龄的和是小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，岁，3 年后爸爸比年后爸爸比 小明大小明大 24 岁。今年小明和爸爸各多少岁岁。今年小明和爸爸各多少岁?今年小明的年龄今年小明的年龄: ( (34 - - 24) )2 = 5 ( (岁岁) )今年爸爸的年龄今年爸爸的年龄: 5 + 24 = 29 ( (岁岁) )答答: 今年小明今年小明 5 岁，爸爸岁，爸爸 29 岁。岁。5. 1 箱糖果有箱糖果有 12 袋，其中有袋，其中有 11 袋质量相同，另有袋质量相同，另有 1 袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋 糖果来糖果来?你会用下面的图表示你会用下面的图表示称的过程吗称的过程吗?把把 12 袋糖袋糖分成分成 3 份，份，每份每份 4 袋。袋。天平两边各天平两边各放放 4 袋。袋。平衡平衡不平衡不平衡 6. 有有 3 袋白糖，其中袋白糖，其中 2 袋每袋袋每袋 500 g，另，另 1 袋不是袋不是 500 g， 但不知道比但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗重还是轻。你能用天平找出来吗?任任意意取取出出两两袋袋，放放在在天天平平上上，若若天天平平平平衡衡，则则将将其其中中一一袋袋与与未未称称量量的的那那袋袋一一起起放放到到天天平平上上，若若未未称称量量的的重重，则则它它大大于于 500 克克, 若若轻轻, 则则它它小小于于 500 克克; 如如果果任任取取两两袋袋放放在在天天平平上上时时, 天天平平不不平平衡衡, 则则将将较较重重的的与与未未称称量量的的一一起起放放到到天天平平上上, 若若较较重重的的与与未未称称量量的的一一样样重重, 则则先先前前那那袋袋小小于于 500 克克, 若若较较重重的的依依然然重重,则则较较重的大于重的大于 500 克。克。7.* 五五( (1) )班有班有 25 人，许多同学参加了课外小组。参人，许多同学参加了课外小组。参 加音乐组的有加音乐组的有 12 人，参加美术组的有人，参加美术组的有 10 人，两人，两 个组都没参加的有个组都没参加的有 6 人。既参加音乐组又参加美人。既参加音乐组又参加美 术组的有多少人术组的有多少人? 12 + 10 + 6 - - 25 = 3( (人人) ) 答答: 既参加音乐组又参加美术组的有既参加音乐组又参加美术组的有 3 人。人。用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系关系: ( (只含一个次品，已知次品比正品重或轻。只含一个次品，已知次品比正品重或轻。) )要辨别的物品数目要辨别的物品数目保证能找出次品需要测的次数保证能找出次品需要测的次数2349102728818224312345( (1) )要保证要保证 6 次能测出次品，待测物品可能是多少个次能测出次品，待测物品可能是多少个? 244729。( (2) )从上表你能发现什么规律从上表你能发现什么规律? 为什么为什么?要辨别的物品数目要辨别的物品数目保证能找出次品需要测的次数保证能找出次品需要测的次数2349102728818224312345