目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考点4考点3方法易错易误考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系考试大纲01011.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域点、线、面的位置关系 【20%】数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测异面直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定是高考热点,题型以选择题、填空题或解答题形式呈现,分值512分.2.趋势分析以柱体或锥体为载体,考查直线与平面平行或垂直的位置关系的趋势较强,在2018年高考复习时应引起重视.命题趋势数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识全通关知识全通关1考点一平面的基本性质继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.公理1(1)自然语言:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.图8-3-1(2)图形语言:如图8-3-1所示.(3)符号语言:Al,Bl,且A,Bl.(4)作用:检验一个面是不是平面的依据;判断直线是否在平面内的依据;判断点是否在平面内的依据.知识全通关2继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系2.公理2(1)自然语言:过 不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.图8-3-2(2)图形语言:如图8-3-2所示.(3)符号语言:A,B,C不共线有且只有一个平面,使得A,B,C.(4)作用:确定一个平面的依据;判断两个平面重合的依据;证明点、线共面的依据.知识全通关3继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系由公理2,结合初中所学的“两点确定一条直线”,易得以下推论:推论1经过 一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过 两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过 两条平行直线,有且只有一个平面.知识全通关4【名师提醒】1.三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个,所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.2.公理和推论中“有且只有”一个平面的含意是:平面存在,而且唯一, “有且只有”有时说成 “确定”.3.使用公理或推论确定平面时,哪些元素(点或直线)确定了平面,该元素本身就在确定的平面内.继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识全通关53.公理3(1)自然语言:如果两个不重合的平面 有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线.图8-3-3(2)图形语言:如图8-3-3所示.(3)符号语言:P,且P=l,且Pl.(4)作用:判断两个平面是否相交的依据;可以找到两个平面的交线;可以判定点在直线上.继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识全通关6继续学习考点二空间中直线间的位置关系数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个平行在同一平面内零个异面不同在任何一个平面内零个1.空间两直线的位置关系易错警示(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.(3)异面直线不具有传递性,即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识全通关7继续学习知识全通关82.异面直线所成的角(1)(2)图8-3-4如图8-3-4,直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,分别作直线aa,bb,相交直线a,b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,则称这两条异面直线互相垂直.注意异面直线所成的角的范围是(0,90,所以垂直有两种情况异面垂直和相交垂直.继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系3.公理4平行于同一条直线的两条直线平行,即若直线ab,bc,则ac.说明 公理4也称为平行公理,表明空间的平行具有传递性,它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用.4.等角定理空间中如果两个角的 两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.说明 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向都相反,那么这两个角相等.考点全通关9继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系考点全通关10继续学习考点三直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线a与平面相交a=A有且只有一个公共点直线a与平面平行a没有公共点直线与平面的位置关系有且只有以下三种: 说明直线l和平面相交、直线l和平面平行统称为直线l在平面外,记作l.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识全通关11考点四两个平面的位置关系数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面与平面平行没有公共点平面与平面相交=l有一条公共直线两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:注意(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面不一定平行;(2)即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,也不能推出这两个平面平行.返回目录题型全突破考法1点、线、面的位置关系的判定及应用继续学习题型全突破1考法指导1.点、线、面的位置关系的判定(1)平面的基本性质及有关定理是判断空间点、线、面位置关系的基础.(2)对点、线、面位置关系的判断,常采用穷举法,即对各种关系都进行考虑,要充分发挥模型的直观性作用.(3)对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等.另外,若原命题不太容易判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题的真假,再根据原命题与逆否命题真假性相同得出原命题的真假.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习题型全突破2数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系2.点、线、面的位置关系的应用(1)证明点共线问题的方法:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.(2)证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.(3)证明点、直线共面问题的方法:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.题型全突破3继续学习考法示例12015安徽高考已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误;C中,若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;D中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面.答案D数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习题型全突破4数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习题型全突破5数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系返回目录题型全突破6【突破攻略】公理体系是整个立体几何的基础,是空间线面位置关系的支撑,是形成空间想象能力的基本依据.熟练掌握四个公理及其推论,是解决共点、共线、共面问题的关键.公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据,公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据,公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习题型全突破7考法指导1.判断两条直线是异面直线可以用定义法,若判断较难,可使用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.2.求异面直线所成角的一般步骤为:平移 选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条得到相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点证明 证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找 在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之考法二异面直线的判断及求其所成的角数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系取舍因为异面直线所成角的取值范围是090,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角继续学习题型全突破8考法示例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.思路分析(1)A,M,C,N共面AM和CN不异面(2)假设D1B和CC1共面推出矛盾D1B和CC1是异面直线图8-3-7数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系题型全突破9解析(1)AM和CN不是异面直线.理由如下:如图8-3-7,连接MN,A1C1,AC.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1.又A1A平行且等于C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形.所以A1C1AC,所以MNAC.所以A,M,N,C在同一平面内,所以AM和CN不是异面直线.(2)D1B和CC1是异面直线.证明如下:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,所以D1,B,C,C1,与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系考法示例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.思路分析平移线段构造三角形求角异面直线所成角解析(1)如图8-3-8所示,连接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.图8-3-8题型全突破10继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系题型全突破11继续学习因为AB1=AC=B1C,所以B1CA=60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD,如图8-3-8,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1.因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系 求异面直线所成的角的方法(1)“平移法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.题型全突破12继续学习数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系【突破攻略】能力大提升构造平面研究直线相交问题能力大提升1继续学习示例5在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.思路分析找与三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面研究交线解析图8-3-10数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系能力大提升2解法一如图8-3-10,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.解法二在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因为CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习能力大提升31.本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大.2.本题解法较多,关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系【温馨提示】继续学习易混易错求解两条直线所成角问题概念不准确致误能力大提升4继续学习示例6过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作A.1条B.2条C.3条D.4条易错分析忽视异面直线所成的角,只找两条相交直线所成角,没有充分认识正方体中的平行关系.图8-3-11,数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系能力大提升5数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系继续学习能力大提升6返回目录求空间直线所成的角时,常犯以下错误:(1)不能挖掘题中的平行关系,找不到其所成的角;(2)线多、图形复杂、空间想象力不够,感觉无从下手.数学第八章第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系【温馨提示】