本章(bn zhn)主要内容本章阐述了控制系统(xtng)(xtng)的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统(xtng)(xtng)根轨迹的基本条件和基本规则, ,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控制系统(xtng)(xtng)的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。本章(bn zhn)重点学习本章内容, ,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能, , 参量根轨迹的概念和绘制方法, ,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。第1页/共69页第一页，共70页。4-1 4-1 根轨迹(guj)(guj)的基本概念根轨迹的主要内容根轨迹的主要内容 当当系系统统的的某某一一参参数数(cnsh)(cnsh)变变化化时时，利利用用已已知知的的开开环环传传递递函函数数的的极极点点和和零零点点，绘绘制制闭环系统的特征根的轨迹。闭环系统的特征根的轨迹。 下下面面结结合合具具体体的的例例子子来来说说明明什什么么是是根根轨轨迹迹。控控制制系系统统框框图图如如图图4-1-14-1-1所所示示，其其开开环环传传递函数为递函数为图4-1-14-1-1控制系统(kn (kn zh x tn)zh x tn)框图第2页/共69页第二页，共70页。将上式化为即为根轨迹所用(su yn)传函的标准形式，其中由式(4-1-2)(4-1-2)解得两个(lin )(lin )开环极点：p1 =0p1 =0， p2 =-2 p2 =-2画于图4-1-24-1-2中。由式(4-1-2)(4-1-2)求得闭环传递函数为(4-1-1)(4-1-1)(4-1-2)(4-1-2)(4-1-3)(4-1-3)第3页/共69页第三页，共70页。于是(ysh)(ysh)得到闭环系统的特征方程下面(xi mian)(xi mian)说明，当k k从00，特征根即闭环极点 如何变化。(4-1-4)(4-1-4)解得(4-1-5)(4-1-5)当k=0k=0时， ，此时闭环极点(jdin)(jdin)就是开环极点(jdin)(jdin)。当0k10k1时， 均为负实数，在(-2,0)(-2,0)一段负实轴上。当k=1k=1时， ，两个负实数闭环极点(jdin)(jdin)重合在一起。当1k1kmnm时，式(4-2-3)(4-2-3)改写为当kk时(4-2-4)(4-2-4)(4-2-5)(4-2-5)第12页/共69页第十二页，共70页。 可可 见见 ， 开开 环环 零零 点点 和和 无无 穷穷 远远 处处 都都 是是 根根 轨轨 迹迹 的的 终终 点点(zhngdin)(zhngdin)。若若称称系系统统有有n-mn-m个个无无穷穷大大的的开开环环零零点点，则系统的开环零点和开环极点数相同了。则系统的开环零点和开环极点数相同了。规则三规则三 根轨迹根轨迹(guj)(guj)起于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目起于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m m小于开环小于开环极点数目极点数目n n，则有，则有(n-m)(n-m)条根轨迹条根轨迹(guj)(guj)终止于终止于ss平面无穷远处。平面无穷远处。根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线就是确定当开环零点(ln din)(ln din)数目m m小于极点数目n n时，(n-m)(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于ss平面无穷远处。由式(4-1-7)(4-1-7)及式(4-2-1)(4-2-1)求得第13页/共69页第十三页，共70页。图图4-2-14-2-1(4-2-6)(4-2-6)第14页/共69页第十四页，共70页。当ss时，可以认为分子分母中各个(gg)(gg)一次因式项相等，即对于渐近线上的点，有(4-2-7)(4-2-7)式中， 是实数(shsh)(shsh)， 如图4-2-14-2-1所示。将上式代入式（4-2-64-2-6）可得式(4-2-8)(4-2-8)就是(jish)(jish)渐近线应满足的方程。由此式可得(4-2-8)(4-2-8)第15页/共69页第十五页，共70页。有无数个解，但这些(zhxi)(zhxi)解由上式可知(k zh)(k zh)实际上只表示(biosh)(biosh)过点的n-mn-m个不同位置的直线，因此可认为只有n-mn-m个不同的解。故有下面求a a利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)(4-2-6)可得(4-2-9)(4-2-9)第16页/共69页第十六页，共70页。利用(lyng)(lyng)二项式定理将入上式左边展开后得可得将式(4-2-8)(4-2-8)代入上式可得第17页/共69页第十七页，共70页。上式两边(lingbin) (lingbin) 的系数应相等，故有(4-2-10)(4-2-10)若开环传递函数无零点(ln din)(ln din)，取第18页/共69页第十八页，共70页。规则四规则四 如果控制系统的开环零点数目如果控制系统的开环零点数目m m小于开环小于开环极点数目极点数目n n，当，当kk时，伸向无穷时，伸向无穷(wqing)(wqing)远处远处根轨迹的渐近线共有根轨迹的渐近线共有(n-m)(n-m)条。这些渐近线在实轴条。这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标是上交于一点，其坐标是而渐近线与实轴正方向(fngxing)(fngxing)的夹角是第19页/共69页第十九页，共70页。实 轴 上 的 根 轨 迹(guj)(guj)设其中(qzhng)(qzhng)是共轭复数极点(jdin)(jdin)，开环极点(jdin)(jdin)、零点在 ss平面上的位置。如图(4-2-2)(4-2-2)所示第20页/共69页第二十页，共70页。图图4-2-24-2-2确定确定(qudng)(qudng)实轴上的根实轴上的根轨迹轨迹第21页/共69页第二十一页，共70页。说明说明(shumng)s2(shumng)s2不是根轨迹上的点。不是根轨迹上的点。说明s1s1是根轨迹(guj)(guj)上的点。其次，在(-(-，z1)z1)中间取试验点s2s2，则有在ss平面实轴上取试验点，用相角条件(tiojin)(tiojin)检查该试验点是不是根轨迹上的点。首先在z1z1、p3p3之间选试验点s1s1，则有第22页/共69页第二十二页，共70页。规则五规则五 实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开环实数极点、实数零点总数为奇数的线段环实数极点、实数零点总数为奇数的线段(xindun)(xindun)。共轭复数开环极点、零点对确定实。共轭复数开环极点、零点对确定实轴上的根轨迹无影响。轴上的根轨迹无影响。图4-2-3分离点与会合点根轨迹(guj)(guj)在实轴上的分离点和会合点第23页/共69页第二十三页，共70页。特征方程为图4-2-34-2-3的根轨迹中的点A A和点B B分别是根轨迹在实轴上的分离点和会合点。显然(xinrn)(xinrn)分离点和会合点是特征方程的实数重根。设开环传递函数为(4-2-11)(4-2-11)其中(qzhng)(qzhng)，(4-2-12)第24页/共69页第二十四页，共70页。设特征方程有2 2重根 ，则有式中，p (s)是s的n-2n-2次多项式所以重根及分离点和会合点满足(mnz)(mnz)下述方程(4-2-13)及(4-2-14)第25页/共69页第二十五页，共70页。由式(4-2-12)(4-2-12)得k=-k=-D(s)/N(s)，代入式(4-2-14)(4-2-14)得规则规则(guz)(guz)六六 根轨迹在实轴上的分离点或会合点的坐标应满足方程根轨迹在实轴上的分离点或会合点的坐标应满足方程(4-2-(4-2-13)13)或或(4-2-15)(4-2-15)。(4-2-15)(4-2-15)例例4-2-1 4-2-1 已知负反馈系统已知负反馈系统(xtng)(xtng)的开环传递函数为的开环传递函数为试绘制试绘制(huzh)(huzh)系统的根轨迹。系统的根轨迹。第26页/共69页第二十六页，共70页。解 令s(s+1)(s+2)=0s(s+1)(s+2)=0，解得三个开环极点1 1）根轨迹分支数等于3 3。2 2）三条根轨迹的起点分别为：(0,j0)(0,j0)、(-1,j0)(-1,j0)、(-2,j0)(-2,j0)，终点均为无穷远处。3 3）根轨迹的渐近线：由于n=3,m=0n=3,m=0，所以该系统(xtng)(xtng)的根轨迹共有三条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是第27页/共69页第二十七页，共70页。渐近线与实轴正方向(fngxing)(fngxing)的夹角分别是4 4）实轴上的根轨迹：(-(-，-2-2段及-1-1，00段。5 5）根轨迹与实轴的分离点坐标(zubio)(zubio) 闭环系统特征方程为第28页/共69页第二十八页，共70页。由前边分析得知， 不是(b shi)(b shi)根轨迹上的点，故舍去。 是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出根轨迹如图4-2-44-2-4所示。第29页/共69页第二十九页，共70页。图4-2-4 4-2-4 例4-2-14-2-1的跟轨迹(guj)(guj)图第30页/共69页第三十页，共70页。根轨迹(guj)(guj)与虚轴的交点规则七规则七 根轨迹与虚轴相交根轨迹与虚轴相交(xingjio)(xingjio)，说明控制，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将根，将s=js=j代入特征方程式代入特征方程式(4-1-6)(4-1-6)中，得到中，得到或(4-2-16)(4-2-16)将上式分为实部、虚部两个(lin )(lin )方程，即(4-2-17)(4-2-17)第31页/共69页第三十一页，共70页。解式(4-2-17)(4-2-17)两个方程，可以求得根轨迹与虚轴的交点(jiodin)(jiodin)坐标值及与交点(jiodin)(jiodin)相对应的参数k k的临界值 。例例4-2-2 4-2-2 求求例例4-2-14-2-1系系统统根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴交交点点的坐标的坐标(zubio)(zubio)及参数临界值及参数临界值解解 控制系统的特征方程是控制系统的特征方程是令s=j s=j ，代入上式，得写出实部和虚部方程(fngchng)(fngchng)第32页/共69页第三十二页，共70页。求得参数(cnsh)k(cnsh)k的临界值kc=6kc=6。当kkckkc时，系统将不稳定。由虚部方程解得根轨迹与虚轴的交点(jiodin)(jiodin)坐标为代入实部方程(fngchng)(fngchng)，第33页/共69页第三十三页，共70页。根轨迹(guj)(guj)的出射角与入射角出射角根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，如图4-2-54-2-5中的 。入射角根轨迹进入(jnr)(jnr)开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角，如图4-2-54-2-5中的第34页/共69页第三十四页，共70页。图4-2-5 4-2-5 根轨迹(guj)(guj)的出射角与入射角第35页/共69页第三十五页，共70页。图4-2-6 4-2-6 出射角 的求取第36页/共69页第三十六页，共70页。因为下面以图4-2-64-2-6所示开环极点与开环零点分布为例，说明(shumng)(shumng)如何求取出射角 。在图4-2-64-2-6所示的根轨迹上取一试验点S1S1，使S1S1无限地靠近开环复数极点p1p1，即认为 这时依据(yj)(yj)相角条件由上式求得出射角 为第37页/共69页第三十七页，共70页。推向一般(ybn)(ybn)，计算根轨迹出射角的一般(ybn)(ybn)表达式为 同理可求出根轨迹(guj)(guj)入射角的计算公式为(4-2-18)(4-2-18)(4-2-19)(4-2-19) 规则规则(guz)(guz)八八始于开环复数极点处的根轨迹的出射角按式始于开环复数极点处的根轨迹的出射角按式(4-2-18)(4-2-18)计算，止于开环复数计算，止于开环复数零点处的根轨迹的入射角按式零点处的根轨迹的入射角按式(4-2-19)(4-2-19)计算。计算。第38页/共69页第三十八页，共70页。例例4-2-3 4-2-3 已知负反馈系统已知负反馈系统(xtng)(xtng)的开环传递函数为的开环传递函数为1)1)根轨迹的分支数等于(dngy)2(dngy)2；2)2)二条根轨迹起点分别是 。终点是z1z1即无穷远处；3)3)根轨迹的渐近线：因为n=2n=2，m=1m=1，所以只有一条渐近线，是负实轴；4)4)实轴上的根轨迹：(-(-，-1;-1;试绘制系统试绘制系统(xtng)(xtng)的根轨迹图。的根轨迹图。解 令令s+1=0 s+1=0 ，解得z z1 1=-1=-1第39页/共69页第三十九页，共70页。5)5)根轨迹根轨迹(guj)(guj)与实轴会合点坐标与实轴会合点坐标解得解得 不是不是(b shi)(b shi)根轨迹上的点，故舍去，根轨迹上的点，故舍去， 是根轨迹与实轴的会合点。是根轨迹与实轴的会合点。6)6)求出射角求出射角第40页/共69页第四十页，共70页。最最后后(zuhu)(zuhu)画画出出根根轨轨迹迹图图，如如图图4-2-74-2-7所示。所示。图图4-2-7 4-2-7 例例4-2-34-2-3系统系统(xtng)(xtng)根轨迹图根轨迹图第41页/共69页第四十一页，共70页。例例4-2-4 4-2-4 负反馈控制系统负反馈控制系统(kn zh x tn)(kn zh x tn)的开环传递函数为的开环传递函数为 试绘制试绘制(huzh)(huzh)系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。解解 由已知的由已知的G(s)H(s)G(s)H(s)1)1)渐近线分支数等于渐近线分支数等于4 4。2)2)四条根轨迹四条根轨迹(guj)(guj)分别是分别是p1p1、p2p2、p3p3、p4p4，终止于无穷远处。，终止于无穷远处。3)3)根轨迹根轨迹(guj)(guj)的渐近线：根轨迹的渐近线：根轨迹(guj)(guj)有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是第42页/共69页第四十二页，共70页。 渐 近 线 与 实 轴 正 方 向 ( f n g x i n g ) 的 夹 角 分 别 是第43页/共69页第四十三页，共70页。解得：解得： ，这是起源于开环极点，这是起源于开环极点的两条根轨迹的两条根轨迹(guj)(guj)脱离实轴时的分离点坐标。脱离实轴时的分离点坐标。4)4)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(guj)(guj)：(-2.73,0)(-2.73,0)。5)5)根轨迹根轨迹(guj)(guj)与实轴的分离点坐标。根据式与实轴的分离点坐标。根据式(4-2-15)(4-2-15)6)6)根轨迹根轨迹(guj)(guj)的出射角。根据式的出射角。根据式(4-2-18)(4-2-18)可求得出射角可求得出射角第44页/共69页第四十四页，共70页。7)7)根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点(jiodin)(jiodin)。起源于开环极点。起源于开环极点p2p2、p3p3的两条根轨迹与虚轴相交，的两条根轨迹与虚轴相交，其交点其交点(jiodin)(jiodin)坐标可根据式坐标可根据式(4-2-17)(4-2-17)求得的实部方程与虚部方程进行计算，即求得的实部方程与虚部方程进行计算，即由虚部方程解得由虚部方程解得第45页/共69页第四十五页，共70页。将将=1.07=1.07代入实部方程求得参数代入实部方程求得参数k k的临界值的临界值kc=7.23kc=7.23。给定。给定( (i dni dn) )系统为系统为1 1型系统，型系统，根据式根据式(4-2-25)(4-2-25)可求得该系统的临界开环放可求得该系统的临界开环放大系数大系数kvc kvc 最后绘出该系统的根轨迹最后绘出该系统的根轨迹(guj)(guj)图如图图如图4-2-84-2-8所所示。示。8)8)闭环极点的和与积。系统的特征方程为闭环极点的和与积。系统的特征方程为求得四个闭环极点求得四个闭环极点(jdin)(jdin)之和为之和为第46页/共69页第四十六页，共70页。四个闭环极点四个闭环极点(jdin)(jdin)之积为之积为已知系统在临界状态时两个已知系统在临界状态时两个(lin(lin )闭环极点为闭环极点为 及及 kc =7.23 kc =7.23利用前边两个利用前边两个(lin(lin )关系式可求得关系式可求得此时对应的另外两个此时对应的另外两个(lin(lin )闭环极点闭环极点s3s3、s4 s4 。第47页/共69页第四十七页，共70页。图4-2-8 4-2-8 例4-2-44-2-4系统(xtng)(xtng)根轨迹图第48页/共69页第四十八页，共70页。例例4-2-5 4-2-5 已知单位已知单位(dnwi)(dnwi)负反馈的开环传负反馈的开环传递函数为递函数为解将开环传递函数G(s)化为在根轨迹法中常(zhngchng)用的形式用根轨迹分析用根轨迹分析(fnx)(fnx)开环放大系数开环放大系数K K对系统性能的影响，对系统性能的影响，并计算并计算K=5K=5时，系统的动态性能指标。时，系统的动态性能指标。按根轨迹图分析，K为任意值时，系统都是稳定的。当0K0.5(1k1)时，系统具有两个不相等的负实根。第49页/共69页第四十九页，共70页。于是(ysh)得系统的性能指标第50页/共69页第五十页，共70页。第51页/共69页第五十一页，共70页。图4-2-9 4-2-9 例4-2-54-2-5系统(xtng)(xtng)的根轨迹第52页/共69页第五十二页，共70页。例例4-2-6 4-2-6 已知系统已知系统(xtng)(xtng)的开环传递函数为的开环传递函数为解 系统(xtng)(xtng)的特征方程为要求绘制系统的根轨迹要求绘制系统的根轨迹(guj)(guj)，并求其稳定临界状态的，并求其稳定临界状态的开环增益。开环增益。第53页/共69页第五十三页，共70页。渐近线与实轴的交点(jiodin)为第54页/共69页第五十四页，共70页。根轨迹之分离点必须满足下列(xili)方程系统的根轨迹如图4-2-104-2-10所示。系统处于稳定(wndng)(wndng)临界状态时的开环增益为第55页/共69页第五十五页，共70页。图4-2-10 4-2-10 例4-2-64-2-6的根轨迹(guj)(guj)第56页/共69页第五十六页，共70页。4-3 4-3 正反馈回路和零度(ln d)(ln d)根轨迹设有局部(jb)(jb)正反馈系统的方框图如图4-3-4-3-1 1所示。图4-3-1 4-3-1 具有局部(jb)(jb)正反馈的系统第57页/共69页第五十七页，共70页。正反馈回路(hul)的闭环传递函数为相应(xingyng)的特征方程为(4-3-1)根据(gnj)式(4-3-1)正反馈回路根轨迹的幅值条件和相角条件为：(4-3-2)第58页/共69页第五十八页，共70页。根据式(4-3-3)(4-3-3)的相角条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时，需对绘制根轨迹的规则进行如下(rxi)(rxi)修改：(4-3-3)规则规则(guz)(guz)三三 在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边的开环零、极点数目之和为偶数。右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则规则(guz)(guz)四四 (n-m) (n-m)条渐近线的相角为条渐近线的相角为(4-3-4)第59页/共69页第五十九页，共70页。图4-3-24-3-2列出了几种(j zhn)(j zhn)负反馈和正反馈回路的根轨迹图。规则规则(guz)(guz)七七 根轨迹的出射角为根轨迹的出射角为(4-3-5)入射角为除了上述三项规则(guz)(guz)修改外，其它规则(guz)(guz)均不变。第60页/共69页第六十页，共70页。第61页/共69页第六十一页，共70页。第62页/共69页第六十二页，共70页。粗实线相应(xingyng)于负反馈回路；虚线相应(xingyng)于正反馈回路图4-3-2 4-3-2 几种正、负反馈回路(hul)(hul)的根轨迹第63页/共69页第六十三页，共70页。例例4-3-1 4-3-1 已知系统已知系统(xtng)(xtng)的开环传递函数的开环传递函数为为解 系统(xtng)(xtng)的特征方程为要求要求(yoqi)(yoqi)绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。第64页/共69页第六十四页，共70页。上式可近似(jns)化为第65页/共69页第六十五页，共70页。第66页/共69页第六十六页，共70页。由此可得第67页/共69页第六十七页，共70页。图4-3-3 4-3-3 具有滞后环节(hunji)(hunji)的系统的根轨迹第68页/共69页第六十八页，共70页。谢谢您的观看(gunkn)！第69页/共69页第六十九页，共70页。内容(nirng)总结本章主要内容。当1k时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。此时开环极点就是闭环极点，说明根轨迹。规则三 根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。有无数个解，但这些解。在s平面(pngmin)实轴上取试验点，用相角条件检查该试验点是不是根轨迹上的点。式中，p (s)是s的n-2次多项式。2)四条根轨迹分别是p1、p2、p3、p4，终止于无穷远处。将=1.07代入实部方程求得参数k的临界值kc=7.23。谢谢您的观看第七十页，共70页。