第7讲正弦定理和余弦定理考纲要求考点分布考情风向标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2011年新课标第15题考查余弦定理和面积公式；2012年新课标第17题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；2013年新课标第10题以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2014年新课标第16题以解三角形为背景，考查正弦定理；2015年新课标第17题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面积公式；2016年新课标第4题考查正弦定理、余弦定理的应用；2017年新课标第11题、新课标第16题、新课标第15题考查正弦定理三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意：(1)强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用.(2)本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理.(3)重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题.正弦定理余弦定理定理 R是三角形外接圆的半径a2_；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C1.正弦定理与余弦定理b2c22bccos A正弦定理余弦定理变形(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；应用已知两角及任一边，求其他边或角；已知两边及一边对角，求其他边或角已知两边及夹角，求其他边或角；已知三边，求三个角(续表)A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：145，则 AC_.2)120，则 AC(A.1C.3B.2D.4解析：由余弦定理，得139AC23ACAC1(AC4，舍去).故选 A.A考点 1 正弦定理例1：(1)(2017年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c解析：由题意 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，得sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即答案：B(2)(2017年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.或 B135(舍), 则 A75.答案：75【规律方法】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考点 2 余弦定理答案：D答案：B【规律方法】在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角；(2)已知三边，求三个角.【互动探究】1.(2015 年福建)若锐角三角形ABC的面积为10，且 AB5，AC8，则 BC_.7考点 3 正弦定理与余弦定理的综合应用由余弦定理，得a2b2c2bc(bc)23bc9.【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：(1)先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系；(2)再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【互动探究】答案：C思想与方法转化与化归思想在解三角形中的应用例题：(1)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析：方法一，由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B.所以 2A2B 或 2A2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.方法二， acos Abcos B，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，整理化简，得(a2b2)(a2b2c2)0，即ab或a2b2c2.所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案：等腰三角形或直角三角形(2)在ABC 中，acos Bbcos A，则这个三角形的形状为_.解析：方法一，由正弦定理，得 sin Acos Bsin Bcos A，即 sin(AB)0.所以 AB.所以这个三角形为等腰三角形.整理化简，得a2b20.所以这个三角形为等腰三角形.答案：等腰三角形【规律方法】已知条件acos Abcos B，acos Bbcos A 中既有边，又有角，解决此问题的一般思路有两种：(1)利用正弦定理将所有的边转换成角后求解(如方法一)；(2)利用余弦定理将所有的角转换成边后求解(如方法二).【互动探究】A.直角三角形C.钝角三角形B.锐角三角形D.不确定 ABC 为直角三角形.故选 A.3.(2013年陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为( )方法二，由 bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A.sin(BC)sin Asin Asin A.ABC 为直角三角形.故选 A.答案：A