1、设、设 ,求求 An 2An-1 (n2)。 A= 1 0 1 0 2 0 1 0 1解：解：An 2An-1 =(A-2E )An-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 An-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 A An-2=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 An-2 1 0 1 0 2 0 1 0 1=0线性代数习题习题课（一）12、设、设n 维向量维向量 =(a , 0 , , 0 , a)T(a0),其中其中A的逆矩阵为的逆矩阵为B B，求求a的值。的值。A=E-T , B=E-T/a ,解：解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E 1-1/a-2a =0a=-1/2 ( a =1舍去舍去)线性代数习题习题课（一）23、设设A与与A+ +E均可逆均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求求 G-1。G =E-(A+E)-1 =A(A+E) -1G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1由由A与与A+ +E均可逆可知均可逆可知G也可逆，且也可逆，且线性代数习题习题课（一）34、设四阶矩阵设四阶矩阵A=( , r2, r3, r4), B=(, r2, r3, r4),|A+B|=|+，2r2, 2r3, 2r4| =8(|A|+|B|) =40 其中其中，r2, r3, r4均为均为4维向量，维向量，且已知且已知| |A|=|=4 , |B|=1 , 求求|A+B|。线性代数习题习题课（一）45、设、设且且 AX=A+2X, 求矩阵求矩阵X.线性代数习题习题课（一）5解解: 因为因为 AX=A+2X,所以所以(A2E)X=A,而而又又线性代数习题习题课（一）6所以所以线性代数习题习题课（一）76、设、设求求 An线性代数习题习题课（一）8解：设解：设 A=E+H，Hn=0(n3),，H= 0 1 1 0 0 1 0 0 0 则则H2= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 其中其中 故故 An=(E+H)n= n E +n-1H+n-2H2 n nn-1 n(n-1) n-2/2 0 n nn-1 0 0 n=线性代数习题习题课（一）97、设矩阵、设矩阵且且r(A)=2，求求 和和 的值的值。线性代数习题习题课（一）101 -1 1 25 3 63 -1 2解：解：A r2r3 r2-5r1 r3-3r11 -1 1 20 8 -5 -40 +3 -4 -4 r3-r21 -1 1 20 8 -5 -40 -5 +1 0 又又 r(A)=2,故故 = 5 , = -1线性代数习题习题课（一）118、多项式多项式 , x -1 0 x 2 2 3 x-7 10 4 3 1 -7 1 x f(x)=求求f(x)中常数项的值。中常数项的值。解：观察解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为的结构可知，常数项的值为d =-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3)=3线性代数习题习题课（一）129、设、设 , ,求求A2014。解：注意到解：注意到A3=-E , A6=E，故故 A2014=(A6)335A3A=-A线性代数习题习题课（一）1310、计算行列式、计算行列式 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 D=解：解：5 5 4 05 1 0 02 2 1 -11 2 3 0 D=5 5 4 5 1 0 1 2 3 =-20 5 4 0 1 0 -9 2 3 =-20 4 -9 3 =24线性代数习题习题课（一）1411、设、设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*, (1) 若若| A | = 0, 则则| A* | = 0; 证明证明:(2) |A*| = | A | n1.线性代数习题习题课（一）15证证(1): 当当A = 0时时, 则则 | A |的所有代数余子式的所有代数余子式从而从而A* = 0, 故故| A* | = 0.当当 A O且且| A | = 0时时, , 用反证法证明用反证法证明.假设假设| A* | 0, 则有则有A*(A*)1 = E,故故 A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1 = | A |E(A*)1 = O,这与这与A 0矛盾矛盾, 故当故当| A | = 0时时, | A* | = 0.均为均为0,线性代数习题习题课（一）16(2) 当当| A | = 0时时, , 则由则由(1)得得| A* | = 0, 从而从而| A* | = | A |n1成立成立.当当| A | 0时时, , 由由 AA* = | A | E 得得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由由| A | 0得得, | A* | = | A |n1.线性代数习题习题课（一）17 12、设设A A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是也是证证: : A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则|A* |=|A|n-10，故故A*是可逆的。是可逆的。又又 A*=|A|A-1，故故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A显然显然 A*(A-1)*=E，故故(A*)=(A-1)*。可逆的，且可逆的，且(A*)=(A-1)*。线性代数习题习题课（一）1813、设矩阵、设矩阵A,B满足满足A*BA=2BA-E,其中其中A=diag(1,-2,1), A*为为A的伴随矩阵，求矩阵的伴随矩阵，求矩阵B解解:|A|=-2,故故A可逆，且可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1),又又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故故2(E+A-1)BA=E , 即即B=(E+A-1)-1A-1/2故故B=diag(-1,1/2,-1)又又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1)线性代数习题习题课（一）1914、设、设n阶矩阵阶矩阵 A、B、A+B可逆，可逆，试证明试证明:A-1+B-1可逆可逆,并求其逆矩阵。并求其逆矩阵。证明：证明： A+B=A(A-1+B-1)B, |A+B|=|A|A-1+B-1|B|,又因为又因为 A、B、A+B可逆，可逆，故故A、B、A+B的行列式不为零。的行列式不为零。故故A-1+B-1的行列式不为零，的行列式不为零，即即A-1+B-1为可逆矩阵。为可逆矩阵。又又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A线性代数习题习题课（一）2015、设行列式、设行列式 ， 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 D=解：解：1 1 2 23 -1 -1 11 -1 1 -11 2 3 0D=2 1 3 2 -4 4 3 2 1 =34第三行各元素余子式之和。第三行各元素余子式之和。 1 2 1 33 2 -4 41 0 0 01 3 2 1 =显然显然 M31+M32+M33+M34 =D=34线性代数习题习题课（一）21线性代数习题习题课（一）16、设、设1=(1 , 1 , 1)T, 2=(1 , 2 , 3)T, 1=(1 , 3 , t)T(1)问问t为何值时，向量组为何值时，向量组1、2、3线性无关线性无关？(2)问问t为何值时，向量组为何值时，向量组1、2、3线性相关线性相关？线性相关时，将线性相关时，将3 由由1、2线性表出。线性表出。解：解：(1, 2, 1)=1 1 121 2 331 3 t1 1 120 1 230 0 t-51 0 -120 1 230 0 t-5故故t=5时，向量组时，向量组1、2、3线性相关，线性相关，且且 3=-1+2222线性代数习题习题课（一）17、设、设1=m1+32+3 , 2=21+(m+1)2+ +3 , 3=-21-(m+1)2+(m-1)3 , 其中向量组其中向量组1、2、3线性无关，线性无关，试讨论向量组试讨论向量组1、2、3线性相关性。线性相关性。23线性代数习题习题课（一）解：解： (1 2 3)=(1 2 3)m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1 m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1=m(m-2)(m+1)故故m=0 ,否则否则向量组线性无关。向量组线性无关。或或m=-1 , 或或m=2时向量组线性相关。时向量组线性相关。241、设、设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为其伴随矩阵，为其伴随矩阵，det (-1)n 3det(A)=1/3 , 则则线性代数习题习题课（一）252、设三阶方阵、设三阶方阵A0，B= ,且且AB=0，则，则t =41 3 52 4 t33 5 3解：设解：设A=(1 , 2 , ,3) , 则则AB=(1+ +22+33 , ,31+42+53 , 51+t2+33)由于由于AB=0，则，则B的列向量为的列向量为AX=0的解的解又又三阶方阵三阶方阵A0，故，故AX=0至多有两个至多有两个线性无关的解向量线性无关的解向量, ,即即r(B)2。 线性代数习题习题课（一）263、若、若n阶矩阵阶矩阵A满足方程满足方程A2+2A+3E=0则则 A-1=4、设、设A为三阶矩阵，且为三阶矩阵，且|A| = 1则则 |2A-1 +3A* |=53=125线性代数习题习题课（一）275、设、设A= ,则则 An= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 3n 0 0 0 1 0 0 0 4n线性代数习题习题课（一）设设A= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0则则 An= 12n 0 0 0 1 0 0 0 12nA2n+1= 0 0 4n3n+1 0 1 0 4n+13n 0 0 A2n=286、设、设A= ,则则 A-1= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 1/3 0 0 0 1 0 0 0 1/47、设、设 =(a1 , a2 , , ,an) 0, =(b1 , b2 , , bn) 0且且A=T ，则，则 r(A)= 1r(AB)minr(A) , r(B)线性代数习题习题课（一）设设A= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0则则 A-1= 0 0 1/4 0 1 0 1/3 0 0298、设、设A为为4阶方阵阶方阵, 则则r(A*)= 1 r(A*)= n, 若若r(A)=n1, 若若r(A)=n-10, 若若r(A)n-2(2)若若矩阵矩阵A的秩的秩r(A)=2，A*为为A的伴随矩阵，的伴随矩阵，则则r(A*)=0线性代数习题习题课（一）(1)若若矩阵矩阵A的秩的秩r(A)=3，30线性代数习题习题课（一）9、设、设A为为43矩阵，且矩阵，且r(A)=2, 而而B= , 1 0 2 0 2 0-1 0 3则则 r(AB)=210、设、设A= , k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k且且r(A)=3,则则 k =-33111、设三阶矩阵、设三阶矩阵A= , B= , 1 2 1 2且|A|=2 , |B|=3, 则则|3A|=|A+B|= ,|A-B|=|AT+BT|=5420020线性代数习题习题课（一）32作 业 题 答 案1、设矩阵设矩阵2 0 4 11 -2 4 3A=1 2 -2 30 2 -1 4B=3 4 1 22 -3 2 -1C=则则(1)A+B=3 2 2 441 0 3 72A-3C=-2 -2 -3 1-2 5 -3 5B-C=-5 -12 5 -4-4 5 2 9(2)若矩阵若矩阵X满足满足A+2X=C ,则则X =(C-A)/2=1/2 2 -3/2 1/21/2 -1/2 -1 -233(3) 若矩阵若矩阵Y满足满足(2A+Y)+3(B-Y)=0 ,则则Y=(2A+3B)/2 =7/2 3 1 11/2 1 1 5/2 9(4) 若矩阵若矩阵X、Y满足满足3X-Y=2A , X+Y=B ,则则X=(2A+B)/4 =5/4 1/2 3/2 5/41/2 -1/2 7/4 5/2则则Y=(3B-2A)/4 =-1/4 3/2 -7/2 7/4-1/2 5/2 -11/4 3/5作 业 题 答 案34 4 -1 0 5-2 2 1 32、 设矩阵设矩阵A= , B= 1 0 -2 34 -2 -1 055 -3 2 1则则ABT= 4 -1 0 5-2 2 1 3 1 4 5 0 -2 -3 -2 -1 2 3 0 119 18 28 5 -13 11= 作 业 题 答 案35线性代数习题习题课（一）3、用初等变换将矩阵、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、化成阶梯形矩阵、行最简形矩阵、及标准型行最简形矩阵、及标准型 。A=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 91 1 -2 1 42 -1 -1 1 24 -6 2 -2 43 6 -9 7 9 r1r2 r4-(r1+r2) r3-2r2 r2-2r11 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 -4 4 -4 00 6 -6 5 3(-1/4)r3 r4+r21 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 1 -1 1 00 2 -2 1 336 r3+3r2 r4-2r2 r2r31 1 -2 1 40 1 -1 1 00 -3 3 -1 -60 2 -2 1 31 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 2 -60 0 0 -1 3 r3r41 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 -1 30 0 0 2 -6 r1+r3 r1-r2 r4+2r3 -r31 0 -1 0 70 1 -1 0 00 0 0 1 -30 0 0 0 0 c3+c1 c3-c2 c5-7c1 c3-3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0 c3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0作 业 题 答 案37作 业 题 答 案4、求、求A的逆矩阵的逆矩阵(AE)= 1 1 -1 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 r2-r1 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 1 1 0 0 1 r3-r2 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 3 1 -1 1(1/3)r3 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1+r3 r2+2r3 1 1 0 4/3 -1/3 1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1-r2 1 0 0 5/3 -2/3 -1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/338作 业 题 答 案5、解矩阵方程、解矩阵方程:(AB)= 1 2 1 -1 3 3 2 4 5 3r2-3r1 1 2 1 -1 3 0 -4 1 8 -6(AX=B)(-1/4)r2 1 2 1 -1 3 0 1 -1/4 -2 3/2r1-2r2 1 0 3/2 3 0 0 1 -1/4 -2 3/2 3/2 3 0 -1/4 -2 3/2 X=39作 业 题 答 案6、解矩阵方程、解矩阵方程: (AXB=C) 2 -4 3 2 0 1 1 -2 4 =A=E(r1, r2)=A-1, B=E(r2 , r3)=B-1,X=A-1CB-1=E(r1, r2)E(r2 , r3) 2 1 0 2 3 -4 1 4 -240作 业 题 答 案7、设矩阵、设矩阵A、B满足满足AB=2B+A,且且A= 3 0 1 1 2 0 0 1 4解、有题设可知：解、有题设可知：(A-2E)B=A(A-2E A)= 1 0 1 3 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 1 0 0 1 2 0 0 1 0 -4 5 2 0 0 1 2 -2 1B= 1 2 0-4 5 2 2 -2 1418、计算行列式、计算行列式2 0 0 40 1 -1 20 -4 0 05 2 -3 8 D=2 0 40 -1 25 -3 8 =41 0 10 -1 15 -3 4=161 0 00 -1 15 -3 -1=161 0 00 -1 05 -3 -4=16=64作 业 题 答 案42作 业 题 答 案9、求矩阵、求矩阵A的伴随矩阵及逆矩阵。的伴随矩阵及逆矩阵。1 1 121 0 -133 2 3 A=矩阵矩阵A的代数余子式为：的代数余子式为：A11=2, A21=-1, A31=-1,A12=-6, A22=0, A32=2,A13=2,A23=1, A33=-1,A的伴随矩阵为：的伴随矩阵为： 2 -1 -1-6 0 2 2 1 -1A*=矩阵矩阵A行列式：行列式：|A|=-2A的逆矩阵为：的逆矩阵为：-1 1/2 1/2 3 0 -1-1 -1/2 1/2 A-1=43作 业 题 答 案10、设、设 A= 1 -2 3k-1 2k -3 k -2 3则则 A 1 -2 3k 0 2(k-1) 3(k-1) 0 0 3(k-1)(k+2)若若r( A)=1, 则则 k=1;若若r( A)=2,则则 k=-2;若若r( A)=3, 则则 k1 , k-2.44作 业 题 答 案11、设、设 A= 1 -1 1 2 3 a -1 2 5 3 b 6则则 A若若r( A)=2 , 则则 1 -1 1 2 0 8 b-5 -4 0 a+3 -4 -4a+3 8= -4b-5 -4 -4=故故 a=5 , b=145第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 12.已知向量组已知向量组 1=(1 , 1 , 1 , 2),2=(3 , 1 , 2 , 5),3=(2 , 0 , 1 , 3),4=(1 , -1 , 0 , 1),(2)求出该向量组所有的极大无关组；求出该向量组所有的极大无关组；(1)求该向量组的秩；求该向量组的秩；(3)确定一个极大无关组，并将其余向量确定一个极大无关组，并将其余向量5=(4 , 2 , 3 , 7),用该极大无关组线性表出用该极大无关组线性表出 复复 习习46第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 解解：(1T,2T, ,3T, ,4T , 5T)= 1 3 2 1 4 1 1 0 -1 2 1 2 1 0 3 2 5 3 1 7初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 1 3 2 1 4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换极大无关组为：极大无关组为：且且3 =-1+2，4 =-21+2 , 1 0 -1 -2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 , 2 ；1 , 3 ；1 , 4 ；1 , 5 ；5 =1+22 , 3 ；2 , 4 ；2 , 5 ；3 , 4 ；3 , 5 ；4 , 5 ； 复复 习习47作 业 题 答 案48作 业 题 答 案49作 业 题 答 案50线性代数习题习题课（一）51线性代数习题习题课（一）52线性代数习题习题课（一）53线性代数习题习题课（一）54线性代数习题习题课（一）55线性代数习题习题课（一）56线性代数习题习题课（一）57线性代数习题习题课（一）58线性代数习题习题课（一）59线性代数习题习题课（一）60