注意: 若函数(hnsh)在开区间上连续,结论(jiln)不一定成立 .一、最值定一、最值定理理(dngl)定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,第1页/共12页第一页，共13页。例如(lr),无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 第2页/共12页第二页，共13页。二、介值定理二、介值定理(dngl)由定理(dngl) 1 可知有证: 设上有界 .定理(dngl)2. ( 零点定理(dngl) )至少有一点且使( 证明略 )推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第3页/共12页第三页，共13页。定理定理(dngl)3.(介值定理介值定理(dngl)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点(y din)证: 作辅助(fzh)函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .第4页/共12页第四页，共13页。例例.证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证: 显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结 第5页/共12页第五页，共13页。*三三.一致一致(yzh)连续性连续性已知函数(hnsh)在区间(q jin) I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义:对任意的都有在 I 上一致连续 .显然:第6页/共12页第六页，共13页。例如例如(lr),但不一致(yzh)连续 .因为(yn wi)取点则 可以任意小但这说明在( 0 , 1 上不一致连续 .定理4.上一致连续.(证明略)思考: P74 题 *7提示:设存在,作辅助函数显然第7页/共12页第七页，共13页。内容内容(nirng)小结小结在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在第8页/共12页第八页，共13页。1. 任给一张面积(min j)为 A 的纸片(如图),证明(zhngmng)必可将它思考思考(sko)与与练习练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:第9页/共12页第九页，共13页。则证明至少(zhsho)存在使提示(tsh): 令则易证2.设设作业(zuy)P74 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 第10页/共12页第十页，共13页。备用备用(biyng)题题至少(zhsho)有一个不超过 4 的 证：证明(zhngmng)令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .第11页/共12页第十一页，共13页。感谢您的观看(gunkn)！第12页/共12页第十二页，共13页。内容(nirng)总结注意: 若函数在开区间上连续,。注意: 若函数在开区间上连续,。由定理 1 可知有。推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.。定理3. ( 介值定理 )。则对 A 与 B 之间的任一数 C ,。证: 作辅助函数。故由零点定理知, 至少有一点。例. 证明方程(fngchng)。在区间 I 上连续,。在 I 上一致连续 .。在( 0 , 1 上不一致连续 .。1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),。提示: 令。感谢您的观看第十三页，共13页。