第10章 变形能法 U=W (8-1) 变形能原理变形能原理：在整个加载过程中，物体的在整个加载过程中，物体的变形能在数值上等于外力做的功变形能在数值上等于外力做的功。变形能法变形能法:采用与变形能的概念有关的定理和原理来解决问题的方法。外部：外力做功W内部：势能 变形能U10、1 杆件变形能的计算杆件变形能的计算10、2 莫尔定理莫尔定理10、3 计算莫尔积分的图形互乘法计算莫尔积分的图形互乘法10、4 卡氏定理卡氏定理10、5 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 10.1 杆件变形能的计算杆件变形能的计算一、基本变形时的变形能一、基本变形时的变形能 现在来研究在几种基本变形下的变形能计算。1.轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩 对于等直杆的轴向拉伸或压缩，在线弹性范围内，外力与杆件的轴向变形量呈线性关系。ABoplD (a)plD l(b)p a. N为恒值：杆件的变形能为 b.若内力是呈阶梯形变化的结构的变形能m: 结构的拉压杆件的数目。 拉压杆件的单位体积内的变形能（比能或能密度）为 c. 若内力沿杆件的轴线连续变化，即 N=N(x), 此时杆件的变形能为ABoM j2.圆轴扭转圆轴扭转(a)lMjjM 外力偶矩所做的功 (b) 根据U=W，此功等于储存于圆轴中的扭转变形能。圆轴只在两端受外力矩作用时，扭矩为a. Mn为恒值：圆轴的扭转变形能可写为b.若内力偶矩沿圆轴的轴线连续变化，即 ，可得到整个圆轴的变形能为 (8-4b)c.若内力偶矩沿轴线阶梯形变化，得到整个圆轴的变形能为(8-4c)圆轴单位体积内的变形能，即纯剪切状态下的比能为 (8-5)3.平面弯曲平面弯曲等直悬臂梁的纯弯曲。当集中力偶矩从零开始逐渐增至最终值时，悬臂梁自由端的转角也从零逐渐增至最终值图(a)。(b)ABol(a)集中力偶矩在梁变形过程中所作的功 a. 纯弯曲梁的变形能为 (8-6a)讨论：b.横力弯曲情况的变形能为 在线弹性范围内，且在静载荷情况下，杆件的变形能可统一表示成 (8-7)P：广义力：与其相应的广义位移。P：力 ：位移；P：力偶矩 ：角位移。二、弹性变形能的主要特征二、弹性变形能的主要特征(1)一般情况下，一般情况下，变形能不能简单叠加。说明：若用 和 分别表示由外力P1和P2单独作用时梁的横截面弯矩，那么当共同作用时，梁的弯矩为 ，变形能为(2)变形能仅与外力和位移的最终值有关，而与加载次序无关。(3)当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。(4)杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对非线弹性体变形能将变为(5)变形能总是正的三、变形能的普遍表达式三、变形能的普遍表达式表示广义力作用点沿其作用方向上的广义位移，可以写成 式中 代表由广义力 引起的在 的作用点沿作用方向上的广义位移，余下类同。而 为与结构有关的常数。1p2p1d2dmpmd.各载荷所作功之和在数值上等于结构的变形能，即 (8-8)这一结论称之为克拉贝隆原理克拉贝隆原理。它可叙述为线弹性体的变形能等于每一外线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和力与其相应位移乘积的二分之一的总和。四、组合变形时的变形能四、组合变形时的变形能 利用变形能的普遍表达式，可得到承受弯曲、扭转和轴向拉压联合作用的杆件变形能。 现于杆件中截取一长为dx的微段，若两端横截面上的轴力、弯矩和扭矩分别 、 和 (对微段dx而言， 、 和 应看成外力)两个端截面间的相对轴向位移、相对转角和相对扭转角分别为 、 和 。由于 、 和 各自引起的变形是相互独立的，那么按式（8-8），微段dx内的变形能应为于是整个组合变形杆件的变形能为上式的积分，即 （8-9）例1:试求图所示的正方形桁架试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求结构的变形能，并求A、C两点两点的相对位移。已知各杆的抗拉的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度压刚度EA相同。相同。解：轴力为： 变形能为：BACDppl例1:试求图所示的正方形桁架试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求结构的变形能，并求A、C两点两点的相对位移。已知各杆的抗拉的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度压刚度EA相同。相同。外力做的功为因为U=W,故有由此可以求出BACDppl例例2:图为一平面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。解解AB段：BC段：变形能为：刚架的抗弯刚度与抗拉刚度分别为EI和EApBACa变形能：A截面竖直位移：例例2:图为一平面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。若a=l,且各杆横截面为直径等于d的圆形，l=10d,pBACa得：例例2:图为一平面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。上式括号内的第二项小于0.05%，故在求解抗弯杆件结构的变形或位移时，一般可 以不考虑轴力的影响。pBACa例例3:图示半圆形等截面曲杆位于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。解：由图b可以看出，截面mn上的扭矩和弯矩分别为 APROjdjpAmmndj(b)变形能为:整个曲杆的变形能:mndj(b)例例3:图示半圆形等截面曲杆位于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。设A的竖直位移为 ,在变形过程中，外力所做的功在数值上等于曲杆的变形能，即:由此求得:例例3:图示半圆形等截面曲杆位于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。mndj(b)10.2 莫尔定理莫尔定理莫尔定理是一种能够求解在复杂载荷作用下的结构任一处广义位移的有效工具。现在以梁为例，利用变形能的概念和特性来导出莫尔定理。假设梁在外力 , 作用下发生弯曲变形，如图a所示。今要确定在上述外力作用下，梁上任意一点C的挠度 。C1p2pABd(a)首先由外力可求得梁的弯矩首先由外力可求得梁的弯矩M(x),进而求出变形能进而求出变形能U.在C点作用一个单位力 此时梁的弯矩为 而梁内储存的变形能为 接着将 ， 重新加到梁上。在 ， 重新加载的过程中，单位力 又完成了数值为 的功。于是在图c的情况下，梁的变形能为(b)BAC0p0p2p1pCBAd(c). 因为在 和 共同作用下的弯矩为 ，所以还可以表示为 两式是相等的，即： 考虑 可得： 这就是莫尔定理莫尔定理也称莫尔积分莫尔积分。莫尔定理还可以求解平面曲杆的弯曲变形，对于小曲率曲杆，可把莫尔积分推而广之，得到求曲杆弯曲变形的莫尔积分 利用莫尔定理计算桁架节点位移公式 （8-12）计算组合变形结构位移的莫尔公式：使用莫尔定理的注意事项：使用莫尔定理的注意事项： M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。 M0(x)去掉主动力，在所求 广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。 M(x)：结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。xlqA(a)x1(b)由单位力引起的弯矩为解解 悬臂梁的弯矩方程为按莫尔定理得A截面的挠度为 xlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。x1(c)由单位力偶引起的弯矩为: 由莫尔定理得xlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。例：桁架中各杆的抗拉(压)刚度EA均相同，试求B、D两点间的相对位移。31452llP2PDACB31452llDA111CB例例 圆截面钢架受力如图a所示，整个钢架的抗扭刚度分别为 和EI，若不计剪力对变形的影响，试求钢架C截面沿竖直方向的位移。ABlq(a)Cl在计算钢架内力时，各段内力的正负可仍遵循杆件在各种基本变形下的内力的符号规定。BC段 AB段 1x2x2x1x(b)ABC1ABl(a)Clq可以求得C截面的数值位移为 例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数pAdsdjjR(a)解解 曲杆由载荷引起的弯矩为在A点作用一个集中力得弯矩A1(b)例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数A点的竖直位移为pAdsdjjR(a)A1(b)A(c)例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数在A点施加一单位力偶矩，可求出:pAdsdjjR(a)A1(b)103 计算莫尔积分的图形互乘法计算莫尔积分的图形互乘法对于等截面直梁的弯曲变形，在这种情况下,抗弯刚度EI为常数 变为 （a）由于式中的 是由单位力引起的内力因而必定由直线或折线组成。 设在载荷与单位力作用下的一段长为l的直杆的M(x)和 图分别为如图的形式。其中的图为一段 斜直线。 此直线方程为 Cxxl将上式代入（a）式得 (b) ( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M x( )0M xl第二项：表示M(x)图形的面积第一项：形心坐标( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M xl上式中的实际上是 图中与M(x) 图的形心C相对应的纵坐标，用 表示将莫尔积分运算简化为图形间的代数运算的方法称为图形互乘法，简称图乘法图乘法。（3）只要是求等直杆（包括分段等直杆）的变形或位移，都可以使用图乘法。说明：（1）w与 都是代数量，他们的符号w与M(x)一致， 与 一致。（2）如果M(x)为分段光滑的曲线，或者 为折线，则应分段使用图成法，然后求和。abh3l+a3l+blCh n+2 (n+1)llCn+2 lh4 3llC4 lh8 5llC8 3l顶点三角形 ： 二次抛物线：二次抛物线：n 次抛物线：例例 1 外伸梁受载如图所示。若抗弯刚度EI为常量，试求外伸端C的挠度。 AqBCeMla解解 ： 梁在荷载作用下的弯矩图，如图所示。 28ql1 1Cw2 2wCeMC3 3wAqBCeMla其中面积为 的抛物线部分是由均布载荷引起的，面积为 和 的折线部分是由集中力偶引起的。由图给出。 28ql1 1Cw2 2wCeMC3 3wAqBCeMla图中三部分图M(x) 的形心对应的 的值可利用线段之间的比例关系求出。可求的C截面的挠度为ABC101M02M03Ma由单位力作用引起的 图28ql1 1Cw2 2wCeMC3 3w例2 抗弯刚度EI为常量的钢架如图a所示，不计剪力和轴力，试求A截面的竖直位移。BCAq2a2a解:首先画出钢架在载荷作用下的弯矩图，如图所示。22qa22qaBCAq2a2a 计算A截面的竖直位移，需要在A截面作用一个竖直方向的单位力,然后画出相应的 图。 CBA12 a2a02M01MBCAq2a2a22qa22qa2w2C1C1w如图，并利用相应的公式，可以求出AB和BC两杆的弯矩图面积为BCAq2a2a22qa22qa1C1w2w2C 在图d中与和的形心对应的 为2 a2a02M01M22qa22qa1C1w2w2C 于是由式可求出A截面的竖直位移2 a2a02M01M22qa22qa2w2C1C1w 例3:已知抗弯刚度EI为常量，试求中间铰C两侧截面的相对转角。 AqBCDaa/2a/2a/2解: 在利用莫尔定理计算中间铰C两侧截面的相对转角时，应该在C铰的两侧截面上各作用一个 单位力偶矩，且方向相反（图b）。 (a)(b)ABDC11AqBCDaa/2a/2a/2 由荷载引起的子母梁的弯矩已按叠加法画成图c的形式由单位力偶矩引起 图，则在图 d中给出。28qa4pa4pa32101M02M03M04MqABCDaa/2a/2a/2ABCD113w3C1w1C2w2C4w4C28qa4pa4pa3w3C1w1C2w2C4w4C32101M02M03M04M计算莫尔积分的图乘法公式求得C铰两侧截面的相对转角为28qa4pa4pa3w3C1w1C2w2C4w4C32101M02M03M04M8.4 卡氏定理卡氏定理一、卡氏定理及其证明一、卡氏定理及其证明 设一抗弯刚度为EI的等直悬臂梁的自由端A受集中力P的作用，不难求出悬臂梁内储存的变形能为梁内的变形能在数值上等于外力功W，即pAlxAB由此求出悬臂梁自由端的挠度为 若将梁的变形能U对A截面处的集中力PA求偏导数则有这正好等于自由端挠度。即梁的变形能对集中力P的偏导数等于P力作用点沿P力作用方向的位移。此即为卡氏卡氏定理定理。卡氏定理可以叙述为：弹性体内的变形能对任一载荷的偏导数等于该载荷作用点沿载荷作用方向的位移。即 （8-15）现在以梁为例来证明这一定理。设作用在梁上的一组静载荷 使梁发生弹性变形。与这些载荷相应的位移为 。在变形过程中，上述载荷所做的功等于梁内储存的变形能，即变形能U为载荷 的函数，可以表示为 (a)1p2pnp1d2dnd(a).如果给上述载荷中的某一个 以增量 ，则变形能U也将有一增量 ，这样梁的弹性变形能可以写成 (b)1p2p.Pn + dpn改变加载次序，首先在梁上加 ，然后再作用 首先加 时， 引起其作用点沿着与其同方向的位移 此时梁内的变形能应为 ndp ndd 1p2p1d2dnd.dpn+pnndd 作用载荷 的变形能仍为U，同时 在 方向上引起了位移 ，因此又继续完成了 的做功。 (c)1p2p1d2dnd.dpn+pnndd 因为弹性体内的变形能只取决于载荷与变形的最终值，而与加载次序无关，所以忽略二阶微量，即可得 （8-15）这是卡氏定理卡氏定理的表达式。卡氏定理只适用于线弹性结构。卡氏定理只适用于线弹性结构。二、卡氏定理的特殊形式二、卡氏定理的特殊形式 1、桁架、桁架 若整个桁架由m根杆组成，那么整个结构的变形能可用式（8-2c）计算，即 按照卡氏定理有 （8-16） 2、直梁、直梁 对于发生平面弯曲的直梁，变形能可以用式（8-6b）计算，即应用卡氏定理得 上式中只有弯矩M（x）与载荷 有关，积分变量x和 无关，因而可以将被积函数先对 求偏导数，然后再积分。 （8-17）3、平面曲杆、平面曲杆 平面小曲率曲杆，其应力分布与直梁很相似。弯曲变形能可以写成按照卡氏定理得 （8-18）4、组合变形杆件、组合变形杆件 对于承受拉伸（压缩）、弯曲和扭转联合作用的杆件，变形能即应用卡氏定理得 （8-19） 解解：AC段 ： 例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACBC段 ：pBAC例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACpBACC截面的挠度为:例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACpBAC三、卡氏定理的特殊处理三、卡氏定理的特殊处理卡氏定理计算结构某处沿某一方向的广义位移，需要有与所求广义位移的形式及方向相应的广义外力。附加力法: 即设想在所求的广义位移处附加一个与所求位移相应的广义力，然后再应用卡氏定理进行求解。 例例2 求刚架B点的水平位移和C点的转角。解解:AB段：BC段： laABCp(a)2x2BACpfp(b)x1B截面的水平位移为 令Pf =0，B截面的水平位移为 (e)laABCp(a)BACpfp2x(b)laABCp(a)BACpfM2x(b)求C截面的转角时，在c处附件集中力偶Mf AB段：BC段： 应用卡氏定理，并在积分前令Mf =0,求得C截面的转角为 和 为正值，说明其方向与附加力、附加力偶矩方向相同。laABCp(a)BACpfM2x(b)例例3 求B点的竖直和水平位移。解解:任意横截面mm上的弯矩为 所以BApR利用计算曲杆变形的卡氏定理表达式得:AjBpR此时曲杆的任意截面mn上的弯矩及其对的偏导数分别为:应用卡氏定理jApB(b)pf卡氏定理应用注意：卡氏定理应用注意：（1）卡氏定理只适用于线弹性且变形很小的结构；（2） 用卡氏定理求结构某处的广义位移时，该处需要有与所求位移相应的广义力；若该处没有相应的广义力，则需采用附加力法；（3）结果为正，表明所求位移方向与相应力方向一致；若结果为负，则方向相反。莫尔定理与卡氏定理比较：莫尔定理与卡氏定理比较：二者都是用来求解线弹性杆件结构的变形或位移的，两者实质上是相同的。就梁的弯曲变形来说：用卡氏定理求解位移的表达式为莫尔积分表达式为 当结构所求广义位移处有与之相应的广义力时，用卡氏定理进行求解比较方便；当结构所求广义位移处没有与之相应的广义力时，采用莫尔定理则比较简单。莫尔定理与卡氏定理比较：莫尔定理与卡氏定理比较： 8.5 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理图示梁在支座约束下无刚体位移，并设1、2为梁上的任意两个点。单独作用于1点的载荷 引起1点的位移是 ，引起2点的位移是 ；单独作用于2点的载荷 引起1点的位移是 ，引起2点的位移是 。p111d 2121d p212d 2122d 改变加载次序，按静载荷方式先加 ，再加 ，最终平衡时，梁内储存的变形能为 2p111d 122d 12d 在最终平衡时梁内储存的变形能为:p22p111d 122d 21d p2 因为弹性变形能与加载次序无关，上两式应相等。于是得 这就是功的互等定理。可以叙述为：P1力在由P2力引起的位移上所做的功，等于P2力在由P1力引起的位移上所做的功。功的互等定理也称为贝提（贝提（E.Betti）互）互换定理换定理。二、位移互等定理二、位移互等定理 如果在功的互等定理式中令 ，则可得到 （8-21）这就是位移互等定理。叙述为：当 ，由2点引起的与1点载荷一致的1点的位移，等于由1点引起的与2点载荷一致的2点的位移。位移互等定理由马克思威尔在1864年提出的，也称为马克思威尔互换定理。