3.3.3函数的最大(小)值与导数1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.121.一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.归纳总结归纳总结 1.一个函数在闭区间上连续,一定有最大值和最小值,但不一定有极值.如f(x)=x,xa,b.2.一个函数在闭区间上连续,则只有一个最大值和最小值,但可以有多个极值.3.最值可能是某个极值,也可能是区间端点处的函数值.122.求函数y=f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.12【做一做1】给出下列四个命题:若函数f(x)在a,b上有最大值,则这个最大值一定是a,b上的极大值;若函数f(x)在a,b上有最小值,则这个最小值一定是a,b上的极小值;若函数f(x)在a,b上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得;若函数f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有最大值与最小值.其中真命题共有()A.0个 B.1个C.2个 D.3个12解析:答案:A12【做一做2】给出下列四个命题:函数y=2x在(-,0)内无最值.其中是真命题的是.(填序号)12解析:分别作出四个函数的图象:由图象可知命题是真命题.答案:12【做一做3】求函数f(x)=x3-4x2-3x在区间1,4上的最大值和最小值.解:f(x)=3x2-8x-3.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:故f(x)在区间1,4上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6.1.函数最值与极值的区别和联系剖析如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是函数取得最大值和最小值的点.(1)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如函数在(0,+)内连续,但没有最大值与最小值.(2)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念.函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.(3)函数f(x)在闭区间a,b上连续,是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.(5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.2.求最值的方法剖析利用导数法求最值,实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值,因此,我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通.令f(x)=0得到方程的根x1,x2,直接求得函数值f(x1),f(x2),然后与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然把导数法与函数的单调性相结合,也可以求最值.题型一题型二题型三分析使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较. 题型一题型二题型三当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:故当x=-3时,f(x)取最大值48;当x=0或x=2时,f(x)取最小值3.反思反思 1.求闭区间上可导函数的最值时,可不再判断函数的极值是极大值还是极小值,只需要把极值直接与端点的函数值比较即可获得.2.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】已知函数f(x)=ax3-6ax2+c在-1,2上的最大值为3,最小值为-29,求a,c的值.分析因为f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),所以f(x)的符号与a有关,从而影响到函数何时取到最大值和最小值,因此本题需要对a进行分类讨论.题型一题型二题型三解:显然a0,f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去).(1)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,所以c=3.因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c,所以f(-1)f(2).故当x=2时,函数f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.题型一题型二题型三(2)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,函数f(x)取得最小值,所以c=-29.因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c,所以f(-1)0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.解:(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b,题型一题型二题型三(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x,h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6x-9.令h(x)=0,得x1=-3,x2=1,当x变化时,h(x)及h(x)的变化情况如下表:当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-4.而h(2)=30).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.分析(1)利用二次函数求h(t);(2)h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立等价于g(t)=h(t)+2t-m0对t(0,2)恒成立,所以,只需求出g(t)的最大值,令g(t)max0),当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0,得t=1,t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:题型一题型二题型三对t(0,2),当t=1时,g(t)max=1-m,h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立,也就是g(t)0对t(0,2)恒成立,只需g(t)max=1-m1.故实数m的取值范围是(1,+).反思反思 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参数函数的最值即可.2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.题型一题型二题型三【变式训练3】已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR).(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x-2,6时,f(x)2|c|恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=3x2-2ax+b.函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.题型一题型二题型三(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f(x)=3x2-6x-9.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化如下表:而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,当x-2,6时,f(x)的最大值为c+54,要使f(x)2|c|恒成立,只要c+542|c|即可.当c0时,c+5454;当c0时,c+54-2c,解得c-18.c(-,-18)(54,+),此即为参数c的取值范围.