1 定积分的概念与性质一、定积分概念的引入二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质五、小结上一页下一页1abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）一、定积分概念的引入上一页下一页2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）上一页下一页3观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系上一页下一页4 曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann= = = =- -L个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间上一页下一页5曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为上一页下一页6实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv = =是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程 .上一页下一页7（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值上一页下一页8定义定义并作和并作和iinixfSD D= = = =)(1x x，二、定积分的定义上一页下一页9被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和上一页下一页10注意：注意：上一页下一页11曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值三、定积分的几何意义上一页下一页12几何意义：几何意义：上一页下一页13例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解：解：上一页上一页下一页下一页上一页下一页14上一页下一页15对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小四、定积分的性质上一页下一页16证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1上一页下一页17证：证：性质性质2 2上一页下一页 = =babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数).18补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3上一页下一页19证证性质性质4 4性质性质5 5上一页下一页20解：解：令令于是于是上一页下一页21性质性质5 5的推论：的推论：证：证：（1）上一页下一页22证：证：说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）上一页下一页23证：证：（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6上一页下一页24解：解：上一页下一页25解：解：上一页下一页26上一页下一页27证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式上一页下一页28使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：上一页下一页29解：解：由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使上一页下一页30定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限五、小结3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）注意估值性质、积分中值定理的应用）上一页下一页31