1.3弧度制【知识提炼知识提炼】1.1.弧度制的概念弧度制的概念(1)1(1)1弧度角弧度角: :在单位圆中在单位圆中, ,长度为长度为_所对的圆心角为所对的圆心角为1 1弧度角弧度角, ,它它的单位符号是的单位符号是radrad, ,读作弧度读作弧度. .(2)(2)弧度制弧度制: :以以_作为单位来度量角的单位制作为单位来度量角的单位制. .1 1的弧的弧弧度弧度2.2.角度与弧度的互化角度与弧度的互化3.3.弧度数与弧度制的作用弧度数与弧度制的作用正数正数负数负数0 0【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)长度为长度为1 1的弧所对的圆心角一定是的弧所对的圆心角一定是1 1弧度角吗弧度角吗? ?提示提示: :不一定不一定. .只有半径也是只有半径也是1 1时圆心角才是时圆心角才是1 1弧度的角弧度的角. .否则圆心角不否则圆心角不是是1 1弧度角弧度角. .(2)(2)弧度的计算公式为弧度的计算公式为|= ,|= ,为什么带绝对值号为什么带绝对值号? ?提示提示: :因为角度有正角、负角之分因为角度有正角、负角之分, ,而弧长为正值而弧长为正值, ,当当00时时, ,=- .=- .2.2.如果一扇形的弧长为如果一扇形的弧长为,半径等于半径等于2,2,则扇形所对圆心角为则扇形所对圆心角为( () )A.A.B.2B.2 【解析解析】选选C.C.由题意由题意=2=2, ,故故= .= .3.3.将将-300-300化为弧度为化为弧度为_._.【解析解析】-300-300 =- .=- .答案答案: :- -4. 4. 化为度化为度, ,结果为结果为_._.【解析解析】radrad=180=180, ,则则1rad= 1rad= 所以所以 答案答案: :1501505.5.把把-570-570化为化为2k+(02,kZ)2k+(02,kZ)的形式为的形式为_._.【解析解析】 答案答案: : 【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 角度制与弧度制角度制与弧度制观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :怎样理解、记忆角度制与弧度制的互化公式怎样理解、记忆角度制与弧度制的互化公式? ?【总结提升总结提升】1.1.角度制与弧度制的差别角度制与弧度制的差别(1)(1)定义不同定义不同. .(2)(2)单位不同单位不同. .弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为单位为单位, ,单位可以省略单位可以省略, ,而角度制是而角度制是以以“度度”为单位为单位, ,单位不能省略单位不能省略. .(3)(3)弧度制是十进制弧度制是十进制, ,而角度制是六十进制而角度制是六十进制. .2.2.角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的互化(1)(1)不管以不管以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是一个与圆的为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值半径大小无关的值, ,仅和半径与所含的弧这两者的比值有关仅和半径与所含的弧这两者的比值有关. .(2)(2)“弧度弧度”与与“角度角度”之间可以相互转化之间可以相互转化. .3.3.学习弧度制的注意点学习弧度制的注意点知识点知识点2 2 弧度制下的弧长公式及扇形面积公式弧度制下的弧长公式及扇形面积公式观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :怎样利用角度制下的扇形面积公式推导弧度制下的扇形面积公怎样利用角度制下的扇形面积公式推导弧度制下的扇形面积公式式? ?【总结提升总结提升】关于扇形的面积公式关于扇形的面积公式(1)(1)公式中共四个量分别为公式中共四个量分别为,l,R,S,R,S, ,由其中的两个量可以求出另外的由其中的两个量可以求出另外的两个量两个量, ,即知二求二即知二求二. .(2)(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多式简单得多, ,但要注意它的前提是但要注意它的前提是为弧度数为弧度数. .(3)(3)在运用公式时在运用公式时, ,还应熟练地掌握这两个公式的变形运用还应熟练地掌握这两个公式的变形运用: : 【题型探究题型探究】类型一类型一 角度与弧度的互化角度与弧度的互化【典例典例】1.(20151.(2015宝鸡高一检测宝鸡高一检测) )角角20132013的弧度表示为的弧度表示为( () ) 2.2.下列转化结果错误的是下列转化结果错误的是( () )A.67A.673030化成弧度是化成弧度是 radradB.- B.- 化成度是化成度是-600-600度度C.-150C.-150化成弧度是化成弧度是 radradD. D. 化成度是化成度是1515度度3.3.把下列各角写成把下列各角写成2k+(02,kZ)2k+(02,kZ)的形式的形式, ,并指出它们是第并指出它们是第几象限角几象限角: : 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1,21,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么? ?提示提示: : 2.2.用弧度判断角所在的象限一般考虑哪个范围用弧度判断角所在的象限一般考虑哪个范围? ?提示提示: :利用与该角终边相同的角利用与该角终边相同的角(0(020)0)的角的角的集合为的集合为 终边经过点终边经过点( (a,a)(aa,a)(a0)0)的角的角的集合为的集合为 所以终边经过点所以终边经过点(a,a)(a0)(a,a)(a0)的角的角的集合是的集合是 2.2.因为因为150150= .= .所以终边在阴影区域内角的集合为所以终边在阴影区域内角的集合为 因为因为20152015=215=215+5+5360360= +10,= +10,又又 所以所以20152015= S,= S,即即20152015是这个集合的元是这个集合的元素素. .【方法技巧方法技巧】1.1.用弧度表示角的注意点用弧度表示角的注意点(1)(1)注意角度与弧度不能混用注意角度与弧度不能混用. .(2)(2)各终边相同的角需加各终边相同的角需加2k,kZ.2k,kZ.(3)(3)求求两两个个角角的的集集合合的的交交集集时时, ,注注意意应应用用数数轴轴直直观观确确定定, ,可可对对k k进进行行适适当当地赋值地赋值. .2.2.解决解决“弧度弧度”与与“角度角度”概念问题的关键点概念问题的关键点(1)(1)引入弧度制后引入弧度制后, ,角的集合与实数集建立了一一对应关系角的集合与实数集建立了一一对应关系. .(2)(2)用用角角度度制制和和弧弧度度制制来来度度量量零零角角, ,单单位位不不同同, ,但但数数量量相相同同( (都都是是0);0);用用角度制和弧度制度量任意非零角角度制和弧度制度量任意非零角, ,单位不同单位不同, ,数量也不同数量也不同. .(3)(3)“角角度度”与与“弧弧度度”可可以以按按照照“180180= =radrad”这这一一等等量量关关系系进进行行相互转化相互转化. .【变变式式训训练练】用用弧弧度度表表示示终终边边落落在在如如图图所所示示阴阴影影部部分分内内( (不不包包括括边边界界) )的角的角的集合的集合. .【解析解析】(1)(1)以以OBOB为终边的为终边的330330角可看成角可看成-30-30角角, ,化为弧度化为弧度, ,即即- ,- ,而而 所以终边落在阴影部分内的角的集合为所以终边落在阴影部分内的角的集合为|2k- 2k+ ,|2k- 2k+ , kZkZ.(2)(2)因为因为3030= rad,210= rad,210= = radrad, ,这两个角的终边所在的直线相同这两个角的终边所在的直线相同, ,因此终边在直线因此终边在直线ABAB上的角为上的角为=kk + ,+ ,kZkZ, ,而终边在而终边在y y轴上的角为轴上的角为=kk+ ,+ ,kZkZ, ,从而终边落在阴影从而终边落在阴影部分内的角的集合为部分内的角的集合为 |k|k+ + 0,=40-2r0,解得解得0r20,0r20,6 6分分所以扇形的面积所以扇形的面积S= S= lr r= (40-2r)r= (40-2r)r=-r=-r2 2+20r=-(r-10)+20r=-(r-10)2 2+100,+100,8 8分分因为因为0r20,0r20,所以当所以当r=10r=10时时, ,面积取得最大值面积取得最大值100,100,9 9分分当当r=10r=10时时, ,弧长弧长l=20,=20,圆心角为圆心角为2,2,1111分分所以当半径为所以当半径为1010、圆心角为、圆心角为2 2时时, ,扇形的面积最大扇形的面积最大, ,最大值为最大值为100.100.1212分分【题后悟道题后悟道】1.1.关注题目中未知量的范围关注题目中未知量的范围题题目目中中往往往往含含有有多多个个变变量量, ,一一般般用用一一个个变变量量表表示示其其他他的的变变量量, ,可可以以利利用用已已知知范范围围、变变量量自自身身的的应应用用、变变量量之之间间的的关关系系限限制制等等确确定定变变量量的的范范围围. .如本题中一方面半径如本题中一方面半径r r大于大于0,0,另一方面利用另一方面利用l l的范围确定的范围确定r r小于小于20.20.2.2.准确求函数的最值准确求函数的最值配配方方法法是是解解决决二二次次式式最最值值问问题题的的主主要要方方法法, ,应应熟熟练练掌掌握握基基本本的的运运算算. .如如本题中求扇形面积的最大值就是利用的配方法本题中求扇形面积的最大值就是利用的配方法. .