一、二次函数的图像知识点一：用描点法画二次函数yax2（a主0）的图像基本知识：描点法画图像的步骤：例1、用描点法在同一坐标系中画出二次函数yx2和yx2的图像。解：列表:知识点二：二次函数yax2（a主0）的图像性质基本知识：二次函数yax2（a丰0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a0时，抛物线的开口向上，抛物线在x轴的上方，顶点（原点）是抛物线上的最低点；当a0时，抛物线开口向下，抛物线在x轴的下方，顶点（原点）是抛物线的最高点。知识点：（1）二次函数yax2（a主0）的图像与y，ax2（a丰0）的图像关于x轴对称，也就是说这两个图像的形状、大小相同，但开口方向相反。（2）抛物线yax2（a主0）的开口方向由a的符号决定，开口的大小由a的绝对值的大小决定，a越大，抛物线的开口,表明Y的值的变化越快（即上升或下降的越快）；|越小，抛物线的开口，表明y的值的变化越慢（即上升或下降越缓慢）注意点：（1）二次函数yax2的图像是抛物线，故可称为抛物线yax2o（2）抛物线是一个轴对称图形。开口方向，对称轴，顶点坐标通常被称为抛物线的三要素。（3）抛物线yax2中隐含的条件是a丰0例2、已知抛物线yax2（a主0）经过点A（-2,-8）。（1）求此抛物线的函数解析式，并判断该抛物线的开口方向；（2）判断点B（-1,-4）,C（2，-8）是否在此抛物线上。知识点二：二次函数yax2与函yax2,c（a主0）的图象的关系基本知识点：二次函数yax2,c（a主0）的图像可由抛物线yax2向上或向下平移得到。当c0当c0二次函数yax2,c（a主0）的图像特征。抛物线yax2,c（a丰0）与抛物线y=ax2的对称轴、开口方向相同，只是顶点不同。注意点：函数的图像上下平移时，对应点的横坐标不变。例3、在同一坐标系中，画出函数y二x2和y_x2,1的图象，问：抛物线y-x2,1经过怎样的平移才能得到抛物线yx2？解：列表：知识点四：二次函数yax2与ya(x,m)2(a主0)的图像的关系。基本知识：二次函数ya(x,m)2(a主0)的图像可由y=ax2向左或向右平移得到。当m0，当m0其顶点坐标是(-m，0)，对称轴是直线x=-m。知识要点：当a0时，抛物线ya(x,m)2的开口向上，顶点坐标(-m，0)是抛物线上的最低点；当a0时，抛物线ya(x,m)2的开口向下，顶点(-m，0)是抛物线上的最高点。例4、抛物线y2(x1)2是通过将y2x2怎样经行变换的得到的？知识点五：二次函数yax2与ya(x,m)2,k(a丰0)的图像间的关系基本知识点：二次函数图像ya(x+m)2+k(a,0)可由函数y=ax2的图像知识要点：(1)抛物线ya(x+m)2+k(a,0)的对称轴为直线x=-m,顶点坐标为(-m，k)，当a0时，该顶点是抛物线上的当a0时，该顶点是抛物线上的(2) 因为由抛物线ya(x+m)2+k(a,0)的解析式可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常将形如ya(x+m)2+k(a,0)的二次函数解析式叫做二次函数的顶点式。注意：(1)二次函数ya(x+m)2+k(a,0)的图像与抛物线y=ax2的开口方向，大小形状完全相同，只是位置不同。(3) 进行左右平移时改变横坐标和对称轴;只进行上下平移时改变的是顶点的纵坐标，对称轴不变。例5、要抛物线y3(x-2)2-4，应将抛物线y3x2知识点六：次函数yax2+bx+c(a,0)的图像基本知识点：(1)与抛物线yax2(a,0)的关系：对于ya2x+bxc,6可以通过配方法进行变形，得到ya(x+2)2+4，即得到形如ya(x+m)2+k的解析式，这里aabm，2a4ac-b2所以二次函数yax2+bx+c(a,0)与y=ax2(a，0)的图像形状，开口方向都是一样的，只是位置不同，可以通过平移得到(2)图像的特点：二次函数yax2+bx+c(a,0)是条抛物线，它的对称轴是直线x=/b4ac一b2、小顶点坐标是（-，4），当a0时，该顶点是抛物线上的；当aaa0时，该顶点是抛物线上的注意点：用配方法把二次函数化成顶点式的步骤:例6、已知二次函数y2x2+4x-2。（1）求出这个函数图像的对称轴与顶点坐标；（2）画出这个函数的图像，并验证（1）的结论。知识点七：经典题型例7、已知一个函数图像的形状与抛物线y4x2的形状相同，它的顶点坐标是（2,4）求二次函数的解析式。2、未将一般形式化成顶点式进行平移例8、把抛物线yx2+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图像的解析式为yx2-3x+5，则有b=c=3、将一般式化为顶点式时，易忽略首项系数的符号例9、将抛物线y-x2+16x-62化为顶点式为（）4、二次函数yax2（a主0）的图像及特征例10、已知A、B是抛物线yax2上的两个点，直线AB平行于x轴，交y轴于点p,点A的横坐标是1,点p的纵坐标是3.（1）求抛物线的解析式（2）说明这条抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴的位置；（3）求线段AB的长。分析：5、二次函数解析式的顶点式例11、已知抛物线ya（x-t一1）2+12（a，t是常数，a丰0,t主0）的顶点是A。（1）判断点A是否在抛物线yx2-2x+1上,为什么？（2）如果抛物线ya（x-1-1）2，t2经过点B（B点为抛物线yx22x,1的顶点），求a的值。6、二次函数的对称性和顶点坐标。例12、二次函数yax2,c（a丰0）中，若当x取x,x（x主x）时，函数值相1212等，则当x取x,x时，函数值等于12