-一方法综述一方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，则称这个多面体是球的接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考察的一个热点. 考察学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。二解题策略二解题策略类型一类型一构造法补形法构造法补形法【答案】9【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体正方体来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。【例 2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的外表积为【答案】A【解析】【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球一样来解即可。【举一反三】【举一反三】1 1、 如下列图，设 A，B，C，D 为球 O 上四点，AB，AC，AD 两两垂直，且 ABAC3，假设 ADR(R为球 O 的半径)，则球 O 的外表积为()AB2C4D8【答案】D【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如下列图，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC3，所以AE6，ADR，DE2R，则有R26(2R)2，解得R.z.-2，所以球的外表积S4R28.应选 D。2 2、 如下列图，三棱锥A BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的外表上，AC平面BCD，BCCD，且AC3，BC2，CD5，则球O的外表积为()A12B7C9D8【答案】A【解析】 由AC平面BCD，BCCD知三棱锥A BCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.应选 A。3、在三棱锥A BCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的外表积为_【答案】43【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则bc5 ，ca5 ，222222a2b262，得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的外表积为4R243.类型二类型二正棱锥与球的外接正棱锥与球的外接【例 3】 正四棱锥的顶点都在同一球面上， 假设该棱锥的高为 4， 底面边长为 2， 则该球的外表积为A8127B16C9D44【答案】A【指点迷津】求正棱锥外接球的外表积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径。【举一反三】【举一反三】1 1、在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC=3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为B.A【答案】D3C.4D.432、 球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共面，ABC 是边长为 2 的正三角形，平面SAB平面 ABC，则棱锥 S ABC 的体积的最大值为().z.-A.3B.3C23D43【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在最高点，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S ABC的体积最大22323因为ABC是边长为 2 的正三角形，所以球的半径rOCCH 2.332313在 RtSHO中，OHOC，23所以SH232321，331323故所求体积的最大值为 2 1.3433、把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架， 使皮球的外表与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A.10 3cmB.10cmC.10 2cmD.30cm【答案】B类型三类型三直棱柱的外接球直棱柱的外接球【例 4】直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，假设AB AC AA1 2,BAC 120，则此球的外表积等于。【答案】【解析】 在ABC中AB AC 2,BAC 120,可得BC 2 3,由正弦定理,可得ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R 5，故此球的外表积为4R2 20.【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径。【举一反三】1、 直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，假设ABACAA12，BAC90，则该球的体积等于_【答案】43【解析】设该球的球心为O，ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1平面ABC且OO11.在ABC中，.z.-11因为ABAC2，BAC90，所以ABC外接圆的半径rBCAB2AC22，所以该球的半径22Rr2O1O222123，所以该球的体积V R343.2、 三棱柱ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上,假设AB 3，AC 4,AB AC,AA112,则球O的半径为A433 1713B2 10CD3 1022【答案】C【解析】由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M。计算 AM=5，由垂径定理，OM=6，所以半径2R=( ) 6 522213,选 C.23、正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【答案】大【答案】大三强化训练三强化训练1、 矩形ABCD中，AB 4,BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D,则四面体ABCD的外接球的体积是()A.125125125125B.C.D.12963【答案】【答案】C C2 2、棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点都在球O的外表上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为A22B1C122D2【答案】【答案】D D3 3、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A5003866313722048cmBcmCcm3Dcm33333【答案】A.z.-【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于R2cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质，得 R2=R22+42，解出 R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V=应选 A4 4、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的外表积为()A8 B16 C32 D64【答案】C【解析】该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为22，外表积为 4(22)232.应选 C。5 5、四棱锥S ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面，当四棱锥的体积取得最大值时，其外表积等于16163，则球O的体积等于()42162322642A.B.C.D.3333【答案】D6 6、将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ()A.3 2 62 62 64 3 2 6B. 2+C. 4+D.3333【答案】【答案】C C球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3 倍。7、在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN,假设侧棱SA 2 3,则正三棱锥S ABC外接球的外表积是。【答案】368 8、【2021 课标 1，文16】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径假设平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为 9，则球O的外表积为_【答案】36因为平面SAC 平面SBC所以OA平面SBC设OA r所以r3 9 r 3，所以球的外表积为4r2 36.z.13-9 9、 球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共面，ABC 是边长为 2 的正三角形，平面SAB平面 ABC，则棱锥 S ABC 的体积的最大值为()3A.B.3C23D43【答案】A1010、 矩形ABCD中，AB 4,BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D,则四面体ABCD的外接球的体积是()A.125125125125B.C.D.12963【答案】【答案】 C C1111、在半径为 R 的球放入大小相等的4 个小球，则小球的半径的最大值为【答案】r ( 6 2)R1212、 如图 K38 16 所示，ABCDA1B1C1D1是边长为 1 的正方体，S ABCD是高为1 的正四棱锥，假设点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的外表积为()图 K38 169254981A.B.C.D.16161616【答案】D【解析】 如下列图作辅助线，易知球心O 在 SG1上，设 OG1*，则 OB1SO2*，同时由正方体的性质272222222知 B1G1，则在RtOB1G1中，由勾股定理得OB1G1B1OG1，即(2*) * ，解得* ，所2827981以球的半径 R2 ，所以球的外表积 S4R2.8816.z.