本章归纳整合 知识网络 要点归纳(一)合情推理与演绎推理1归纳推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论2类比推理(1)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠(2)归纳推理的一般步骤：通过观察一系列情形发现某些相同的性质从已知的相同的性质中推出一般性命题(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论注：归纳推理与类比推理都属于合情推理，两种推理所得的结论未必是正确的，但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的3演绎推理(1)从一个一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论(2)“三段论”推理是演绎推理的一般模式，它包括：大前提：已知的一般性推理小前提：所研究的特殊情况结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断4合情推理与演绎推理的区别与联系(1)区别：从定义上可以看出，合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真故在数学论证中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明从推理形式上看：合情推理是由特殊到一般(归纳推理)，或由特殊到特殊(类比推理)的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程(2)联系：二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理（二）直接证明与间接证明1综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：2分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)这种证明的方法叫做分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它成立的充分条件3反证法(1)定义：一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)用反证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾(3)步骤：分清命题的条件和结论；作出命题结论相矛盾的假设；由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；否定假设，从而间接的证明了结论4三种证明方法的总结在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，采取分析的方法或者是间接证明的方法反证法有时证明一道题需多法并用(三)数学归纳法1用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成，缺一不可尽管有些与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的2用数学归纳法证题的两个步骤的作用第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可步骤一是要选取使命题成立的最小的正整数n0作为起始值进行验证；步骤二推证当nk1时命题成立的过程中，必须要用到当nk时命题成立这个归纳假设，否则推理无法进行或推理无效完成了以上两个步骤，最后应完整地写出结论(四)归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明. 专题一合情推理与演绎推理数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断提出猜想、验证猜想的过程合情推理是富于创造性的必然推理，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论的作用；演绎推理是形式化程度较高的必然推理，它具有实验的功能，不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想做出判断和证明研究近三年的高考题，可以发现，考查合情推理和演绎推理多借助于其他数学知识，通过类比、猜想、归纳，或用三段论式的推理，得出某些结论，在选择题和解答题中有明显体现运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证【例1】 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是_解析在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得答案SSSS【例2】 自然数按下表的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()A2 0072 B2 0082C2 0062 007 D2 0072 008解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为(n1)21；第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为(2 0081)212 0062 0072 008.答案D点拨根据立体几何中平行与垂直关系的判定和性质定理，通过做出适当的辅助线即可求解(2)连结FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.专题二直接证明由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用 已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4b4c4abc(abc)证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42a2c2.又a，b，c互不相等，上面三式中至少有一个式子不能取“”号，a4b4c4a2b2b2c2c2a2 a2b22ab，a2c2b2c22abc2，同理a2b2a2c22a2bc，b2c2b2a22ab2c，a2b2b2c2c2a2abc2a2bcab2c 由，得a4b4c4abc(abc)【例4】【例6】 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证(ab)1(bc)13(abc)1.专题三反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法通过否定结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题专题四数学归纳法学习数学归纳法时，首先要明确不完全归纳和完全归纳的作用、区别与联系数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题两个步骤缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手、猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明(2)由(1)知a11，a26，a315，a428，由此猜想ann(2n1)下面用数学归纳法加以证明：当n1时，a11(211)1，结论成立当n2时，a22(221)6，结论成立假设当nk(k2，kN)时，结论成立即akk(2k1)，命题趋势1合情推理与演绎推理是科学产生与发展的两个重要的方面，它们相辅相成，互为补充，对于问题的发现与解决起到了举足轻重的作用同时，推理又是数学思维的基本思维过程，而数学课程一个重要的目标是培养和提高考生的推理能力，因此，合情推理与演绎推理在新课标高考中占有重要的地位，是新课标高考的重要内容之一，其主要要求是：会用归纳和类比推理解决简单的问题，灵活运用演绎推理证明数学中各个方面的问题从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查，直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中因此，对本部分知识的复习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明2直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容从近三年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的3数学归纳法是解决与正整数有关的数学命题证明的一种方法，是高考常考的一个重要内容从近三年的新课标高考看，对本部分的考查常常在解答题中进行，且多为解答题中的某一个小问，但考查问题多涉及数列、不等式、整除问题以及几何问题等，范围广因此，备考中，我们要做好以下几点：其一，要抓住数学归纳法证明数学命题的原理，明晰其内在的联系；其二，要把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步间的区别联系；其三，要熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧，并在证明的过程中注意使用1 根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)ffn1(x)_.2(2010湖南高考)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.答案2n2 4(2010重庆高考)在数列an中，a11，an1cancn1(2n1)(nN*)，其中实数c0. (1)求an的通项公式；(2)若对一切kN*有a2ka2k1，求c的取值范围解(1)法一由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，猜测an(n21)cncn1，nN*.下面用数学归纳法证明当n1时，等式成立假设当nk(kN*，k1)时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk1时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck，由可知，an(n21)cncn1对任意nN*都成立数列an的通项公式为an(n21)cncn1.(2)由a2ka2k1，得：(2k)21c2kc2k1(2k1)21c2k1c2k2，c2k20，4(c2c)k24ckc2c10对kN*恒成立，记f(x)4(c2c)x24cxc2c1，下面分三种情况讨论