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代入排除法范围:1. 典型题:年龄、余数、不定方程、多位数。2. 看选项:选项为一组数、可转化为一组数(选项信息充分)。3. 剩两项:只剩两项时,代一项即得答案。4. 超复杂:题干长、主体多、关系乱。方法:1. 先排除:尾数、奇偶、倍数。2. 在代入:最值、好算。数字特性一、奇偶特性:范围:1. 知和求差、知差求和:和差同性。2. 不定方程:一般先考虑奇偶性。注意是“先”考虑。3. A是B的2倍,将A平均分成两份:A为偶数。4. 质数:逢质必2.方法:1. 加减法:同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇。a+b和a-b的奇偶性相同。2. 乘法:一偶则偶,全奇为奇。4x、6x必为偶数,3x、5x不确定。倍数特性1. 整除型(求总体):若A二BxC(B、C均为整数),则A能被B整除且A能被C整除。试用范围:用于求总体,如工作量二效率x时间,S=VT,总价二数量x单价。2. 整除判定法则:口诀法:a)3/9看各位和,各位和能被3/9整除,这个数就能被3/9整除。例:12345,能被3整除不能被9整除。b)4/8看末2/3位,末2/3位能被4/8整除,这个数就能被4/8整除。例:12124,能被4整除不能被8整除。c)2/5看末位能否被2/5整除。2看末位能否被2整除,即是不是偶数,5是看尾数是不是0或5。拆分法:要验证是否是m的倍数,只需拆分成m的若干被+-小数字n,若小数字n能被m整除,原数即能被m整除。例:217能否被7整除?217=210+7,所以可以被7整除。复杂倍数用因式分解:判断一个数是否能被整除,这个数拆解后的数是否能被整除,拆分的数必须互质。3. 比例型:a)某班男女生比例为3:5,即可把男生看成3份,女生看成5份。男生是3的倍数,女生是5的倍数,全班人数是5+3=8的倍数,男生女生差值是5-3=2的倍数b)A/B二M/N(M、N互质)A是M的倍数,B是N的倍数,A+B是M+N的倍数,A-B是M-N的倍数。c)做题逻辑:想:看到比例要想到使用倍数特性。看:直接看问题,倍数特性是技巧性方法,无需分析题目,找出与问题相关的比例。干:找到做题方法,直接秒殺。方程法一、普通方程:找等量,设未知数,列方程,解方程。设未知数的技巧:1. 设小不设大(减少分数计算)。2. 设中间值(方便列式)。3. 问谁设谁(避免陷阱)二、不定方程1. 未知数必须是整数的不定方程:a)不定方程ax+by=m方法:分析奇偶、尾数、倍数等数字特性,尝试带入排除。奇偶:a、b恰好一奇一偶。尾数:a或b的尾数是5或0。倍数:a或b与m有公因子。b)不定方程组a1x+b1y+c1z=ma2x+b2y+c2z=n方法:先消元转化为不定方程,再按不定方程求解。2. 未知数可以不是整数的不定方程:a)未知数可以不是整数(时间、金钱)的方程。属于非限方程,只能考查方程组求总体,一般的方法是凑和赋0。b) 赋0法:未知数个数多于方程个数,且未知数可以不是整数。答案是一个算式的值,而非单一未知数的值,即必须是Nx(x+y+z)的形式。操作:赋其中的一个未知数为0,从而快速计算出其它未知数。赋0法只限用于求总体的情况,如果求单一值则不适用。工程问题一、工程量=效率x时间,效率=工程量十时间,时间=工程量十效率。注意:工程问题在于找对切入点。二、工程问题切入点:1. 给定时间型(完工时间):赋值工作量为完工时间的最小公倍数。2. 给效率型:具体值-列方程,效率比-赋值销量为对应的比值。行程问题一、行程问题的三量关系:路程=速度x时间,速度=路程十时间,时间=路程十速度。二、火车过桥问题。总路程=火车车身长度+桥长=火车速度x过桥时间。三、等距离平均速度:1. 公式:V=2VlxV2/(V1+V2),前一半路程的速度是VI,后一半路程的速度是V2,问全程的平均速度是多少。推导:V=S/t,设前一半路程为S,后一半路程为S,则V=2S/(S/V1+S/V2)=2VlxV2/(V1+V2)。2. 适用于:往返(一来一回为等距离)、上下坡(上下坡为等距离)。四、相遇与追击:1. 直线相遇:总路程S=(V1+V2)xt2. 直线追击:追击路程S=V1t-V2t=(V1-V2)t3. 环形相遇:a) 出发点相同,方向不同。b) 公式:S=(V1+V2)xtc) 相遇一次S=圈,相遇N次,S=N圈4. 环形追击:a)同点出发,同向而行。b) 追击路程S=V1t-V2t=(V1-V2)tc) 追上一次,S追=1圈,追上N次,S追=N圈5. 多次相遇a) 两端出发:第n次相遇,两人共走(2n-1)xS,n是次数,S是全程,如果第7次相遇,共计走了13S,13个全程。b) 同端出发:第n次相遇,两人共走2nS,2n个全程。c) 小结:给相遇次数,问路程或时间:根据相遇次数推路程,根据路程算时间。给相遇时间,问相遇次数:根据时间算路程,根据路程算次数。6. 流水行船a)概念:V顺、V逆、V水、V船。b)公式:顺水航行:V顺=v船+v水逆水航行:V逆=V船-V水V船=(V顺+V逆)/2静水速度=船速,漂流=水速7.比例行程:S=VTa)S一定,V与T成反比;V定,S与T成正比;T一定,S与V成正比。b)方法:确定不变量,再去找比例。经济利润问题一、经济利润问题涉及的公式1. 利润=售价-成本。2. 数量关系中,利润率=利润/成本。资料分析中,利润率=利润/收入。3. 售价=成本x(l+利润率)。4. 折扣=售价/原价。5. 总价=单价x数量,总利润=单个利润x数量。二、经济利润问题涉及的方法:1. 求具体价格:列式计算、方程。如:成本,售价,利润。2. 求比例:赋值法。如:利润率,打折。3. 赋值技巧:常设成本为1、10、100,好算的数,如果成本当中涉及数量,也可以对数量赋值。分段计价1. 在生活中,水电费、出租车计费等,每段计费标准不等。2. 计算方法:按标准,分开。计算后,汇总。排列组合与概率一、分类与分布1. 分类(要么要么):相加。2. 分布(先后):相乘。二、排列与组合1. 排列:与顺序有关。2. 组合:与顺序无关。3. 判断标准:从已选的主体中任意挑选出两个,调换顺序。有差别,与顺序有关(A);无差别,与顺序无关(C)。4. 相邻捆绑法有必须相邻的,先把相邻的捆绑起来,考虑内部顺序,捆绑后在与其它排列。5. 不相邻插空法先将可以相邻的进行排列,排列后行程若干个空位。再将不相邻的插入到行程的空位中去。谁不相邻,拿谁插空。6. 枚举法按照面额或数值的大小,从大到小列举枚举,不漏不重。注意每种数值的个数不得超过条件给的上限。概率1. 给情况求概率公式:概率=满足需求的情况数/全部的情况数。注:正难则反,满足概率=1-不满足概率2. 给概率求概率方法:分类:P(A)=P1+P2+.Pn分布:P(A)=P1xP2x.Pn容斥原理1. 在计数时,先不考虑重复的部分,先把符合条件的加在一起,最后再把重复的剔除遗漏的补上,做到“不重不漏”。2. 题型:两集合、三集合。3. 方法:公式法、画图法。4. 容斥问题在于找对题型和方法。5.两集合。a) A+B-ACIB=总数-都不满足。b) 推导:大框为总数,圈A和圈B,中间为AAB,圆圈夕卜的为都不满足的,可以发现总数-都不满足的=圆覆盖的面K=A+B-AAB。c) AUB:合集,两个集合共同覆盖的面积。AAB:交集,两个集合共有的面积。6. 三集合:标准型。a)标准型公式(给了两两之间的交集):全部-都不=A+B+C-(AAB+BAC+AnC)+AABnCob)推导:全部为大框,都不为圈外的部分,三个圆分别为A、B、C,求AUBUC。先把符合的A、B、C加在一起,即A+B+C。刨除重复的部分:ACIB、BCIC、AAC都加了2次,但是只要1次,因此需要减去1次。AABAC:在A+B+C中加了3次,只要1次;但是在减AClB、BClC、AAC,把AABAC减了3次,需要再加上一个AABAC。7. 三集合:非标准型。a)非标准型公式(给的为两者满足、三者满足):全部-都不-A+B+C-两者满足-2x三者满足。b)推导:先把A、B、C加在一起,即A+B+C。满足两种的每部分加了2次,要1次,因此把两者满足的部分减去1次。满足三中的加了3次,要1次,因此减去2次。8. 容斥问题解体方法:a)公式法:题目当中,所给所求都是公式的一部分。b)画图法:公式法解决不了的,问“只”满足。画图,标数字(从里往外标、每部分一层),列算式(尾数法)最值问题1. 识别:题目问法为至少才能保证”。2. 方法:保证数=最不利数+1。若要最不利就是要考虑最倒霉的情况,考虑最不利要有思维的过度。3. 引例:袋子中装有5个红球,8个白球,10个黄球。a)至少取出()个,才能保证有红球:8+10+1=19。b)至少取出()个,才能保证至少有2个同色的球:3+1=4。c)至少取出()个,才能保证至少有8个同色的球:5+7+7+1=20。注意:如果拿10个球完成了8个同色,这只是一种可能出现的状况,但是不能保证一定完成,而如果拿20个球一定能保证完成8个同色球。d)最不利数(求保证数的关键点):不够,全给你。够,少给一个气死你。构造数列(和定最值)1. 识别:和一定,求某个量的最多或最少。注:题干是否有各不相同,如果没有,默认相同。2. 方法(三步走):a)定位:求最大还是最小。b)反向构造(要有最值思想):和一定是此消彼长的关系。即若求最多,其他尽量少;若求最少,其它尽量多。c)加和求解。若结果不为整,问最多往小取,问最少往大取。3. 都至少:都”表示交集,如三者都喜欢,三项都参加过,问的是交集的最小值,是命题趋势。例:有100人,其中高的80人,富的70人,帅的60人,问“高富帅”至少有多少人。高富帅是三者都满足的都。至少”即交集最小,带入公式:80+7+60-2x100=10。结论:Sn-(n-1)M,Sn为高富帅的和,n代表项数,M是总体。原理:a)两集合公式:A+B-ACIB=全-都不,要求AAB最小,移项得:AClB=A+B-全+都不,A、B、全”是固定值,要让AAB最小,则都不”=0,此时:AAB=A+B-全。b)三集合:AABnC=AAB+C-=A+B-全+C-全=A+B+C-2全四集合:A+B+C+D-3全
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