第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014四川卷)双曲线y21的离心率等于_解析由双曲线方程y21，知a24，b21，c2a2b25，e.答案2(2014北京卷)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_解析由双曲线的焦点坐标知c，且焦点在x轴上，由顶点坐标知a1，由c2a2b2，得b21.所以双曲线C的方程为x2y21.答案x2y213(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知双曲线1的离心率为，则实数m的值为_解析由1表示双曲线得m0，所以离心率e，解得m4.答案44(2015镇江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F，一条渐近线为l，若过点F与直线l平行的直线为yx2，则ab_.解析在直线yx2中，令y0，故x2，所以a2b24；又，联立，解得a1，b，所以ab1.答案15(2014大纲全国卷改编)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于_解析由已知，得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得，解得c2，故2c4.答案46设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积等于_解析由可解得又由F1F210可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2PF1PF224.答案247(2014重庆卷改编)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1PF2)2b23ab，则该双曲线的离心率为_解析根据双曲线的定义，得|PF1PF2|2a.又(PF1PF2)2b23ab，所以4a2b23ab，即(ab)(4ab)0.又ab0，所以b4a，所以e.答案8已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案5二、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又OAm，OBn，SAOBOAOBsin 22mn2.能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2014江西卷改编)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为_解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx，因此可设点A的坐标为(a，b)设右焦点为F(c,0)，由已知可知c4，且AF4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即a2，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1.答案12(2015苏北四市模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A，B，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)答案(1,2)3(2015盐城模拟)若圆x2y2r2过双曲线1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为_解析由四边形OAFB是菱形可得OAAF，又OAOFc，则AOF是边长为c的等边三角形，所以渐近线OA的倾斜角是60，即，又因为b2c2a23a2，c2a，所以所求的离心率e2.答案24(2015上海八校联考)已知点F1，F2为双曲线C：x21(b0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F230.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求的值解(1)设F2，M的坐标分别为(，0)，(，y0)，因为点M在双曲线C上，所以1b21，即y0b2，所以MF2b2，在RtMF2F1中，MF1F230，MF2b2，所以MF12b2，由双曲线的定义可知MF1MF2b22，故双曲线C的方程为x21.(2)由条件可知两条渐近线分别为l1：xy0，l2：xy0.设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为，则点P到两条渐近线的距离分别为PP1，PP2，cos ，因为P(x0，y0)在双曲线C：x21上，所以2xy2，所以cos .