课时3定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.解(1)设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B(，).又直线OA的方程为yx，则A(c，)，kAB.又因为ABOB，所以()1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x的交点为N(，).则.因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，即所求定值为.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由.解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上，PQQF，又PQ是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0).(2)弦长TS为定值.理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径rMA，则TS22，因为点M在曲线C上，所以x0，所以TS22，是定值.题型三探索性问题例3(2015湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连结，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求曲线C的方程；(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解(1)设点D(t,0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且即且t(t2x0)0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0，y0，代入xy1，可得1，即所求曲线C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*1)又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和PQ|xPxQ|，可得SOPQPQd|m|xPxQ|m|.(*2)将(*1)代入(*2)得，SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因0k2，则0b0)以抛物线y28x的焦点为顶点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由.解(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点，即a2.又，故c1，b.椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x1x2，y1y2)，联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系，得x1x2，y1y2k(x1x2)2m.将P代入椭圆E的方程，得1，整理，得4m24k23.设T(t,0)，Q(4，m4k)，(4t，m4k)，.即.4k234m2，.要使为定值，只需2为定值，则1t0，t1，在x轴上存在一点T(1,0)，使得为定值.21.设而不求，整体代换典例(16分)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值.思维点拨第(3)问，可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程；联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则0；变为，把k与均用x0，y0表示后可消去.规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.2分由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设P(x0，y0) (y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.6分由题意知.由于点P在椭圆上，所以y1.所以.8分因为m，2x02，可得，所以mx0.因此m.10分(3)设P(x0，y0) (y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0).联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.12分由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.14分由(2)知，所以8，因此为定值，这个定值为8.16分温馨提醒对题目涉及的变量巧妙地引进参