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一、填空题1.(2016南京、盐城调研)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_.解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)(x2)ex0,解得x2.f(x)单调递增区间是(2,).答案(2,)2.若函数f(x)kxln x在区间(1,)单调递增,则k的取值范围是_.解析依题意得f(x)k0在(1,)上恒成立,即k在(1,)上恒成立,x1,01,k1.答案1,)3.已知yx3bx2(b2)x3在R上不是增函数,则b的取值范围是_.解析yx22bxb2,由题意知4b24(b2)0,解得b2或b1.答案(,1)(2,)4.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0,设af(0),bf,cf(3),则a,b,c从小到大的顺序为_.解析依题意得,当x0,f(x)为增函数;又f(3)f(1),且101,因此f(1)f(0)f,即有f(3)f(0)f,cab.答案ca0,b0,d0;a0,b0,c0;a0,b0,d0;a0,b0,c0,d0),f(x)x5.令f(x)0,解得x2或3.当0x3时,f(x)0,故f(x)的递增区间是(0,2),(3,);当2x3时,f(x)0,故f(x)的递减区间是(2,3).10.(2016苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)满足f(x)x3fx2xc(其中f为f(x)在点x处的导数,c为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)f(x)x3ex,若函数g(x)在3,2上单调递增,求实数c的取值范围.解(1)f(x)3x22fx1,令x,得f1,f(x)x3x2xc,f(x)3x22x13(x1),由f(x)0,得x或x1;由f(x)0,得x1,故f(x)的单调增区间是和(1,);单调减区间是.(2)g(x)(x2xc)ex,g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex.当函数g(x)在区间3,2上单调递增时,等价于h(x)x23xc10在3,2上恒成立,只要h(2)0,解得c11.故c的取值范围是11,).能力提升题组(建议用时:25分钟)11.设函数f(x)x29ln x在区间a1,a1上单调递减,则实数a的取值范围是_.解析f(x)x29ln x,f(x)x(x0),当x0时,有00且a13,解得1a2.答案(1,212.(2015青岛模拟)定义在(0,)上的单调递减函数f(x),若f(x)的导函数存在且满足x,给出下列命题:3f(2)2f(3);3f(4)4f(3);2f(3)3f(4);f(2)2f(1).则以上命题正确的是_(填序号).解析由x,得0,f(x)0,xf(x)f(x)0,构造函数F(x),则F(x)0,F(x)在(0,)上单调递增,F(2)F(3),即3f(2)2f(3).答案13.已知函数f(x)x24x3ln x在区间t,t1上不单调,则t的取值范围是_.解析由题意知f(x)x4,由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,由t1t1或t3t1,得0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)14.(2015重庆卷)设函数f(x)(aR).(1)若f(x)在x0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在3,)上为减函数,求a的取值范围.解(1)对f(x)求导得f(x),因为f(x)在x0处取得极值,所以f(0)0,即a0.当a0时,f(x),f(x),故f(1),f(1),从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(x1),化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0解得x1,x2.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数.由f(x)在3,)上为减函数,知x23,解得a,故a的取值范围为.
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