第四章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_3(x2a2)f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于_1由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.3曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_2xy10ycos xex，故切线斜率为k2，切线方程为y2x1，即2xy10.4(2017苏州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_2因为y3ln x，所以y.再由导数的几何意义，有，解得x2或x3(舍去)5已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.6曲线f(x)x3x3在点P(1,3)处的切线方程是_2xy10由题意得f(x)3x21，则f(1)31212，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y32(x1)，即2xy10.7若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_. 【导学号：62172091】因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，a.8如图161，在平面直角坐标系xOy中，直线yx，y0，xt(t0)围成的OAB的面积为S(t)，则S(t)在t2时的瞬时变化率是_图1612当xt时，yt，S(t)ttt2.S(t)t，S(2)2.9如图162，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.图1620由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.10(2017扬州期中)若x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，则k_. 【导学号：62172092】e2由题意可知f(x)k0有解，即x.fln 130，即ke2.11(2017苏州模拟)已知函数f(x)x1，若直线：ykx1与曲线yf(x)相切，则k_.1e设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可知f(x0)k.又f(x)1，故1k.又y0x01kx01，x011kkx01，(k1)(x01)0，k1或x01，当k1时，由k1，可得0(舍去)，当x01时，由k1，可得k1e.12(2017南通三模)已知两曲线f(x)cos x，g(x)sin x，x相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为_. 【导学号：62172093】由f(x)g(x)可知tan x，又x，所以A.又f(x)sin x，f，在点A处的切线l1：y.令y0，得x，即B.又g(x)cos x，g.在点A处的切线l2：y.令y0，得x，即C，BC.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017无锡期末)过曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.y1，y|xx01，AB：yy0(xx0)又y0x0，yx0(xx0)令x0得y；令y0得x，SOAB，解得x(负值舍去)2(2017南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是_由yx2得y2x，切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由yx3得y3x2，切线方程为yx3x(xx2)，即y3xx2x，由得.3(2016山东高考改编)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是_(填序号)ysin x；yln x；yex；yx3.若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于：ycos x，若有cos x1cos x21，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于：y，若有1，即x1x21，x0，不存在x1，x2，使得x1x21；对于：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.显然不存在这样的x1，x2；对于：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.4(2017启东中学高三第一次月考)若曲线yaln x与曲线yx2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则_.对曲线yaln x求导可得y，对曲线yx2求导可得y，因为它们在公共点P(s，t)处具有公共切线，所以，即s2ea，又taln ss2，即2ealn ss2，将s2ea代入，所以a1，所以t，s，即.5若函数f(x)ln xax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_f(x)a(x0)，故由题意可知方程a2在(0，)上有解a22.又y2x与曲线f(x)ln xax相切，设切点为(x0，y0)，则解得x0e，a2.综上可知，实数a的取值范围为.6(2017盐城期中)设函数f(x)|exe2a|，若f(x)在区间(1,3a)内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是_当x2a时，f(x)exe2a，此时f(x)是增函数；当x2a时，f(x)exe2a，此时f(x)是减函数；设两个切点分别为M(x1，f(x1)，N(x2，f(x2)，其中x1x2.由图象可知，若存在的两条切线互相垂直，必有x12ax2，12a3a，解得a1.f(x1)f(x2)ex1(ex2)ex1x21.则ex1x21，即x1x20.1x10,0x22a.2a1，解得a，综上可知，a.